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文档简介
1.1 周期现象与周期函数课后导练基础达标1.今天是星期五,九天后的那一天是星期几 ( )A.五 B.六 C.日 D.一解析:每个星期有7天,97=12,故为星期日.答案:C2.下列函数是周期函数的是( )f(x)=x f(x)=2x f(x)=1 f(x)=A. B. C. D.解析:f(x+T)=x+Tx,f(x)不是周期函数,错误.只能从B、C中选,所以只需判断即可,f(x+T)=是周期函数,故正确.答案:C3.下列命题正确的是( )A.周期函数必有最小正周期B.只有y=sinx才是周期函数C.y=1的最小正周期为1D.周期函数的定义域一定是无限集解析:由周期函数的定义知A、B、C均错误.答案:D4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数,且f(1)=4,则f(5)等于( )A.3 B.2 C.1 D.4解析:y=f(x)中T=2,f(5)=f(22+1)=f(1)=4.答案:D5.下列四个函数为周期函数的是( )A.y=1 B.y=3x0C.y=x2 D.y=x解析:由周期函数定义知y=1是周期函数,对于y=3x0,不存在常数T,使f(0+T)=f(0).答案:A6.设f(x)(xR)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(1)=-1,则f(11)的值是( )A.-1 B.1 C.2 D.-2解析:f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-34)=f(-1)=1.答案:B7.若f(x)是以为周期的函数,且f()=1,则f(-)=_.解析:f(-)=f(-2)=f()=1答案:18.今天是星期一,158天后的那一天是星期几?解析:158=722+4,而今天是星期一,158天后的那一天是星期五.9.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+1)=f(-x)(xR),证明f(x)为周期函数.证明:由f(x+2)=f(x+1)+1=f-(x+1)=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得,f(x)是周期函数,周期为2.10.求证:若函数y=f(x)(xR)的图象关于x=a对称,且关于x=b对称,则f(x)为周期函数,且2(b-a)是它的一个周期.证明:设x是任意一个实数,因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,故f(a+x)=f(a-x),同理,f(b+x)=f(b-x).于是fx+2(b-a)=fb+(b+x-2a)=fb-(b+x-2a)=f(2a-x)=fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x).所以,f(x)是周期函数,且2(b-a)是它的一个周期.综合运用11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当2x3时,f(x)=x,则当-1x0时,f(x)等于( )A.4+x B.2+|x+1|C.-2+x D.3-|x+1|解析:当x-1,0时,-x0,1,-x+22,3,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x,f(x)=3-|x+1|.答案:D12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数,f(1)1,f(2)=a,则( )A.a2 B.a-2C.a1 D.a-1解析:f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,f(1)=-a1,a-1.答案:D13.函数f(x)的最小正周期为8,且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立,则f(x)是( )A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶 D.非奇非偶解析:T=8,且f(4+x)=f(4-x),f(x)=f(x+8)=f4+(4+x)=f4-(4+x)=f(-x),f(x)为偶函数.答案:B14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数,且f(x)为偶函数,在区间2,3上,f(x)=-2(x-3)2-4,求x1,2时,f(x)的解析式.解析:令x-3,-2,则-x3,2,从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数,故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x-3,-2.令x1,2,则x-4-3,-2,有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4,即x1,2时,f(x)=-2(x-1)2+4.15.设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,对任意的x1,x20,,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).(1)设f(1)=2,求f(),f();(2)证明f(x)是周期函数.(1)解析:由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f()0,x0,1,故f(1)=f(+)=f()f()=f()2.因此f(12)=2,又f(1)=2,故f()=f(+)=f()2=2.即f()=2.(2)证明:由y=f(x)关于直线x=1对称,得f(x)=f(1+1-x),f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x),故f(-x)=f(2-x),f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.拓展探究16.函数满足f(x+2)=f(x-2),且f(4+x)=f(4-x).若2x6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.解析:由已知f(4+x)=f(4-x),xR,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.又2x6,f(x)=x2-2bx+c,x=4是f(x)=x2-2bx+c,x2,6的对称轴,即=4,b=4.又f(x+2)=f(x-2),f(x)=f(x+2)-2=f(x+2)+2=f(x+4).f(x)是周期函数,周期为
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