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文档简介

第十二教时教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。过程：一、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、 例一、已知0 x 1, 0 a 1，试比较的大小。解一： 0 1 - x2 1, 解二： 0 1 - x2 1, 解三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0且a 1，其余条件不变。例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xyac + bd证一：（分析法）a, b, c, d, x, y都是正数 要证：xyac + bd 只需证：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，显然成立 xyac + bd证二：（综合法）xy = 证三：（三角代换法） x2 = a2 + b2，不妨设a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例三、已知x1, x2均为正数，求证：证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即： 再平方： 化简整理得： （显然成立） 原式成立证二：（反证法）假设 A B C D P M 化简可得： （不可能） 原式成立证三：（构造法）构造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当APB = DPC时，AP + PD为最短。 取BC中点M，有AMB = DMC, BM = MC = AP + PD AM + MD 即： 三、 作业： 2000版 高二课
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