高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案含解析.docx

31.5空间向量运算的坐标表示提出问题一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|3 000 N，|F2|2 000 N，|F3|2 000 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F(3 000,2 000,2 000)问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|5 000 N.导入新知1空间向量的加减和数乘的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)a(a1，a2，a3)(R)；(4)若b0，则abab(R)a1b1，a2b2，a3b3.2空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)aba1b1a2b2a3b3；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba1b1a2b2a3b30.3空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.化解疑难1空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，包括运算法则，仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算2空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例3空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似，仅多了一个基向量空间向量的坐标运算例1已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)求点P的坐标，使：(1)()；(2)()解(2,6，3)，(4,3,1)，(6,3，4)(1)(6,3，4)，则点P的坐标为.(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)，()，x5，y，z0，则点P的坐标为.类题通法(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用活学活用已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)，设p，q.求：(1)p2q；(2)3pq；(3)(pq)(pq)解：因为A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p(2,1,3)，q(2,0，6)(1)p2q(2,1,3)2(2,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)(2)3pq3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)(3)(pq)(pq)p2q2|p|2|q|2(221232)(220262)26.空间向量的垂直与平行的判断例2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)设a，b.(1)设|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解(1)(2，1,2)，且c，设c(2，2)(R)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.类题通法解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标例如，设向量a(x，y，z)(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数例如，已知ab，则引入参数，有ab，再转化为方程组求解(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的活学活用已知向量a(1,2，2)，b(2，4,4)，c(2，x，4)(1)判断a，b的位置关系；(2)若ac，求|c|；(3)若bc，求c在a方向上的投影解：(1)a(1,2，2)，b(2，4,4)，b(2，4,4)2(1,2，2)2a.ab.(2)ac，解得x4，c(2,4，4)，从而|c|6.(3)bc，bc0.(2，4,4)(2，x，4)44x160，解得x5.c(2，5，4)c在a方向上的投影为|c|cosa，c|c|0.利用坐标运算解决夹角、距离问题例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值解如图，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|，cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.类题通法在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单活学活用在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)(1)0(1)0，即EFB1C.(2)(0,1,1)，| |.又0(1)，|，cos，.即EF与C1G所成角的余弦值为.(3)F，H，| .典例已知向量a(5,3,1)，b.若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由已知，得ab5(2)3t3t，a与b的夹角为钝角，ab0.3t0，即t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，t.故t的取值范围为.多维探究1在本例条件下，若a与b的夹角为180，求t的值解：由本例的解法知t.2在本例条件下，若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围解：由已知，得ab5(2)3t3t，因为a与b的夹角为锐角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为0，则存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以52，3t,1，进而得t(舍去)故t的取值范围是.3若a(1，t，2)，b(2，t，1)，试求a和b夹角余弦值的范围解：cos ，当t0时，cos 0；当t0时，cos 1，0cos 1，即夹角的余弦值的取值范围是0,1)类题通法求解时，易误认为a，b的夹角是钝角与ab0等价，而ab0中包含着a，b180的情形，a，b180的情形可利用ab(0)，也可利用ab|a|b|，即cosa，b1求得，同样ab0也包含着a，b0的情形，解题时应把这种情况剔除随堂即时演练1已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为()A.B.C. D.解析：选C由题意知，2，设C(x，y，z)，则2(x4，y1，z3)(2x，5y,1z)，所以所以2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B.C. D.解析：选D由题意得：(kab)(2ab)(k1，k,2)(3,2，2)3(k1)2k40，所以k.3已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_解析：(2，1,3)，(1,3，2)，cos，120.答案：1204已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值为_解析：由a(2,4，x)，得|a|6，所以x4.又因为ab，所以ab224y2x0，解得x4，y3或x4，y1.所以xy1或xy3.答案：1或35已知向量a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4.这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，因此ac与bc所成角的余弦值cos .课时达标检测一、选择题1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab10D|a|6解析：选Dab(10，5，2)，ab(2,1，6)，ab22，|a|6，选项A，B，C错误2已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是()A0BC. D2解析：选B36363654，且|3，|6，cos，1.，0，0.，.3若非零向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则是a与b同向或反向的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选A若，则a与b同向或反向，反之不成立4已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，|，|，|，|2|2751489|2.ABC为直角三角形5已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120，则的值为()A B.C D解析：选C(1,0,0)，(0，1,1)，(1，)，()2，|，|.cos 120，2.又0，.二、填空题6已知向量a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab|，且0，则_.解析：a(0，1,1)，b(4,1,0)，ab(4,1，)|ab|，16(1)2229.260.3或2.0，3.答案：37若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.解析：因为(m1,1，m2n3)，(2，2，6)，由题意得，则，所以m0，n0，mn0.答案：08已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_解析：由已知，得ba(2，t，t)(1t,1t，t)(1t,2t1,0)|ba| .当t时，|ba|的最小值为.答案：三、解答题9空间三点A(1,2,3)，B(2，1,5)，C(3,2，5)，试求：(1)ABC的面积；(2)ABC的AB边上的高解：(1)(2，1,5)(1,2,3)(1，3,2)，(2,0，8)，12(3)02(8)14，|，|2，cos，sin， ，SABC|sin，2 3.(2)|，设AB边上的高为h，则|AB|hSABC3，h3.10.如图，已知正三棱柱A