高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案含解析.docx

二 一般形式的柯西不等式1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当bi0(i1,2,3)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时等号成立2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立利用柯西不等式证明不等式设x1，x2，xn都是正数，求证：.根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明(x1x2xn)2n2，.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键1已知a，b，c，dR，且abc1.求证：3.证明：根据柯西不等式，有()2(111)(3a13b13c1)18，3.2设a1，a2，a3均为正数，且a1a2a3.求证：1.证明：法一：由柯西不等式，得929，当且仅当()2()2()2，即a1a2a3时，等号成立，所以1.法二：因为339，当且仅当a1a2a3时，等号成立，又a1a2a3，所以29，所以1.利用柯西不等式求最值(1)已知x，y，zR，且xyz1，求 的最小值(2)设2x3y5z29，求函数的最大值(1)巧妙利用“1”的代换，构造柯西不等式来求最值(2)对原式变形、添项构造柯西不等式求最值(1)xyz1，(xyz)2(123)236.当且仅当x，即x，y，z时，等号成立所以的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(111)2(111)3(2x3y5z11)340120.故2，当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时，等号成立此时max2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件3已知：x，y，zR且xyz2，则2的最大值为()A2 B2 C4 D5解析：选C(2)2(12)2(1222()2)8(xyz)16.24.4把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形问：怎样截才能使围成的三个正方形面积之和S最小？请求出最小值解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则xyz12，三个正方形的边长分别为，均为正数，三个正方形面积之和S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.从而S483.当且仅当时，等号成立又xyz12，xyz4时，Smin3.故把绳子三等分时，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，最小值为3 m2.课时跟踪检测(十)1设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为()A18 B6 C18 D12解析：选C|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，当a，b反向时，a，b最小，最小值18.2已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2 C3 D4解析：选A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当1时取等号，a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知a2b2c2d25，则abbccdad的最小值为()A5 B5 C25 D25解析：选B(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，当且仅当abcd时，等号成立，abbccdbd的最小值为5.4已知x，y，zR，且x2y3z4，则x2y2z2的最小值为()A. B. C. D.解析：选A由柯西不等式，得2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)，所以x2y2z2.当且仅当x时，等号成立，即x2y2z2的最小值为.5已知2x3yz8，则x2y2z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)_.解析：由柯西不等式，得(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.当且仅当z时，等号成立又2x3yz8，解得x，y，z，所求点为.答案：6已知实数x，y，z满足x2yz1，则x24y2z2的最小值为_解析：由柯西不等式，得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时，等号成立，故x24y2z2的最小值为.答案：7已知a，b，cR且abc6，则的最大值为_解析：由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当，即2a2b12c3时，等号成立又abc6，a，b，c时，取得最大值4.答案：48在ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明：2R，(a2b2c2)236R2.9求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2取到最小值解：由柯西不等式，得(122212)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2.当且仅当，即x，y时，等号成立，此时有最小值.10已知不等式