数学论文探究圆锥曲线的某些性质.doc

探究圆锥曲线的某些性质河北省石家庄市正定中学高二零班 赵钊 指导教师：鲍军峰【摘要】圆锥曲线是高考的必考内容，其许多性质的论证与探究都体现着数学思考的价值，本文从一道习题出发，探索可能的一般结论，并给出该结论的一个应用。【关键词】圆锥曲线 光学性质 切线 垂足一、由特殊问题到一般结论。2014年河北正定中学期中考题有一道圆锥曲线的题，如下：22、已知椭圆C 。、为左右焦点，过椭圆上一点P做其切线,过 作M于M。求M的轨迹。本题中M的轨迹为以O为圆心，5为半径的圆。通过此题，证明此题中的结论是否具有普遍性。预期结论：过焦点作椭圆切线的垂线，垂足与中心距离为定值。二、一般结论的证明。 1、分析探索可行的证法。设出P点坐标，求出切线方程。用参数方程简化运算。 2、证明一般结论。 已知一椭圆（），、为其左右焦点。过椭圆上一点P作其切线。过作M于M。求M的轨迹。 证明：设P（，） 则切线方程为 即 且过 方程为 M为与M交点 2+2： （）（）=（） 显然0 故M轨迹为。 3、结论的另一证法。 思路：由于出现切线，有椭圆的光学性质。 出现垂直，有一系列几何关系。 已知一椭圆（），、为其左右焦点。过椭圆上一点P作其切线。过作M于M。求M的轨迹。 证明:连结、。延长交于N。 由椭圆的光学性质，有 又PM M为的中点。 O为的中点 =2= 即：M轨迹为。 综上所述：过焦点作椭圆切线的垂线，垂足与中心距离为定值，等于椭圆长半轴长。三、结论的应用。 有这样一道问题： 过椭圆C：（）上不同两点A和B的切线互相垂直。 证明：两切线交点M的轨迹方程为。 1、分析探索可行的证法。 找出焦点F1、F2并作切线的垂线，应用上述结论，简化证明。 利用三角形全等、勾股定理等表示出的长度。 2、结论的证明。 如图： 证明：过O作OA于A，OB于B。 = 即证=。 过作于C，于E 过作于D，于F 由上述结论，有= = = 在F1OE和OF2F中， 有 则F1OEOF2F。 又由勾股定理， 相加即得 即 即M轨迹为 得证。 注：本题结论有一些小瑕疵，由、两式可得、，故M的轨迹为。四、对结论的探究。 由于这个结论对于椭圆成立，那么它对于双曲线和抛物线来说是否成立呢？ 下面开始探究。 证明方法：类比椭圆，用参数方程和几何法。 1、双曲线。 已知一双曲线。、为其左右焦点，过双曲线上一点P做其切线，过作M于M。求M的轨迹。 如图 证明：设P 则切线方程为 即 且过 方程为 M为与M交点 两式平方相加，得 化简 显然 故M轨迹为。 2、抛物线。 已知一抛物线。F为其焦点。过抛物线上一点P作其切线。过F作FM于M。求M的轨迹。如图 证明：设 则切线方程为 即 且过F 方程为 M为与FM交点 ： 显然 则，代回得 则M的轨迹为直线。 3、几何法证双曲线。 已知一双曲线。、为其左右焦点，过双曲线上一点P做其切线，过作M于M。求M的轨迹。 证明：延长交于。 根据双曲线光学性质，有 。 又 为等腰，M为中点。 又O为中点。 即：M的轨迹为。 4、几何法证抛物线。 已知一抛物线。F为其焦点。过抛物线上一点P作其切线。过F作FM于M。求M的轨迹。 证明：如图 做抛物线的准线，交x轴于B。 设与y轴交于M，x轴交于N。连结AN。 过P作于A，连结MA，MF，MB。 由P在抛物线上，PF=PA,由抛物线光学性质，得。 四边形APFN为菱形。 在APM和FPM中 有 则APMFPM AM=MF 又OB=OF=，OMBF BM=MF=AM ， 由BM=AM得 ABOM ， AMF共线 FMPN 点M即为过F作垂线的垂足。 M的轨迹为直线。五、问题的总结。 通过对一道题的思考，挖掘出了圆锥曲线的一般形式，这种举一反三的研究方法