分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.ppt

第 一节 分类 加法 计数 原理 与分 步乘 法计 数原 理 高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步 第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列 返回 考纲点击 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用它们 分析和解决一些简单的实际问题 返回 返回 1从3名女同学2名男同学中选一人，主持本班的“勤俭 节约、从我做起”主题班会，则不同的选法种数为( ) A6 B5 C3 D2 解析：从3名女同学2名男同学中选一人共分两类：选一 名女生有3种方法，选一名男生有2种方法，故不同的选 法种数为325种 答案：B 返回 25位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限 报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 ( ) A10种 B20种 C25种 D32种 解析：每位同学都有2种不同的报名方法，故不同 的报名方法有2532种 答案： D 返回 答案：D 返回 4书架上原来并排着5本不同的书，现要再插入3本不同的 书，那么不同的插法共有_ 解析：将3本不同的书依次插入，分别为6、7、8种不同 的插法，故将3本不同的书插到原来并排的5本不同的书 中共有678336种不同的排法 答案：336 返回 5如图用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分 开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共 有_种 解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、 A同色1种，D、A不同色3种， 不同涂法有654(13)480种 答案：480 返回 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N 种不同的方法 mn 返回 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的 方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件 事共有N 种不同的方法 mn 返回 返回 返回 自主解答 以m的值为标准分类，分为五类第一类：m 1时，使nm，n有6种选择；第二类：m2时，使nm ，n有5种选择；第三类：m3时，使nm，n有4种选择； 第四类：m4时，使nm，n有3种选择；第五类：m5 时，使nm，n有2种选择 共有6543220(种)方法，即有20个符合题意的 椭圆 返回 解：当m2时，n1，有1种选择； 当m3时，n1,2，有2种选择； 当m4时，n1,2,3，有3种选择； 当m5时，n1,2,3,4，有4种选择； 共有123410种方法，即有10个符合题意的椭圆 若将“焦点在y轴”改为“焦点在x轴”呢？ 返回 悟一法 利用分类加法计数原理解决问题应注意以下两点： (1)所谓完成一件事有几类办法，指的就是完成这件事情的 所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点 确定一个适合于它的一个分类标准，然后在这个标准下 进行分类； (2)分类时要注意满足一个基本要求，完成这件事的任何一 种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种 方法是不同的方法 返回 通一类 1在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位 数共有多少个？ 解：一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一 个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十 位数字有几种可能一个两位数的个位数字可以是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成10类：(1)当个 位数字为0时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有9个 满足条件的两位数；(2)当个位数字为1时，十位数字 返回 可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数；(3)当个 位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条 件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时 ，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个由分类加法计 数原理可知，满足条件的两位数共有987654 321045个. 返回 做一题 例2 已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平 面上的点(a，bM)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线yx上的点？ 返回 自主解答 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点共有6636个 返回 (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法； 第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是326. (3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必 须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上 的点有6个结合(1)得不在直线yx上的点共有366 30(个) 返回 悟一法 应用分步乘法计数原理解决问题应注意以下两点. (1)明确“完成的一件事”是什么事，必须要经过几步才 能完成这件事，这几步的先后顺序怎样； (2)只有每个步骤都完成了，才算完成了这件事，缺少 任何一步，这件事都不可能完成 返回 通一类 2已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则 (1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数； (2)yax2bxc可以表示多少个图像开口向上的二次 函数 解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值 有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不 同的二次函数 返回 (2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况 ，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以 表示26672个图像开口向上的二次函数. 返回 例3如图所示，将一个四棱锥的每一 个顶点染上一种颜色，并使同一条棱 上的两端异色，如果只有5种颜色可 供使用，求不同的染色方法总数 做一题 返回 自主解答 法一：可分为两大步进行，先将四棱锥侧 面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数， 用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥S ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共 有54360(种)染色方法 返回 当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2， 则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2 种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A 、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607 420(种) 法二：以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法： 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法； 返回 第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、 C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色 时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、 B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方 法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共 有543(1322)420(种) 返回 返回 悟一法 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类 或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时， 每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方 法数可能会采取分类的思想求分类的关键在于要做到“ 不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即 合理分类，准确分步 返回 通一类 3(2012佛山模拟)对一个各边不等的凸五边形的各边 染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种， 但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方 法共有_种 返回 解析：本题考查了分类计数原理和分步计数原理，在应 用这两个原理时，注意要分清类和步，要充分体会分步 和分类的意义如图，染五条边总体进行分五步，染每 一边时为一步当染边1时有3种染法，则2有2种染法 当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染 法总数为3212112(种)；当3与1不同色时，3有1 种，当4与1同色时，4有1种，5有2种，当4与1不同色时 ，4有1种，5有1种，则此时有321(1211)18(种) 综上由可得染法的种数为30种 返回 答案：30 返回 返回 热点分析 从近两年的高考试题来看，两个计数原理在高考中单 独命题较少，一般与排列组合问题相结合，多为选择、填 空题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论 思想的应用 考题印证 (2011北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都 出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答) 返回 答案 14 返回 15位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路 过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序 一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为 ( ) A6 B20 C30 D42 返回 解析：因为五位学生已经排好，第一位老师站进去有6种选 择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以两位老师与学生站成一排的站法共有6742种 答案：D 返回 2如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面 构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线 面组”的个数是 ( ) A60 B48 C36 D24 返回 解析：长方体的每一个面对应6个“平行线面组”，共有66 36个； 长方体的每一个对角面对应2个“平行线面组”，共有62 12个 共有361248个 答案：B 返回 3新学期开始，某校新招聘了6名教师，要把他们安排 到3个宿舍去，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿 舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种 数为 ( ) A6 B9 C12 D18 返回 答案：B 返回 4集合A含有5个元素，集合B含有3个元素从A到B可 有_个不同映射 解析：A中的任一元素在B中都有3种对应方法，且要 完成一个映射应该使A中的每一个元素在B中都能找 到唯一的元素与之