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第五章 相似矩阵及二次型 5 二次型及其标准型 二次型及其标准形的概念:矩阵对角化应用 称为二次型. 的二次齐次函数个变量含有定义 n xxxn, 1 21 L ; , 称为 是复数时当faij复二次型 . ,称为是实数时当faij实二次型 1用和号表示 对二次型 二次型的表示方法 2用矩阵表示 ; 的矩阵叫做二次型对称矩阵fA 二次型与对称矩阵 矩阵一一对应。 解 例 若要求上述二次型用矩阵记号表示出来，则应如何表示。 . 的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA 化二次型为标准形（法一） 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线 性变换，将二次型化为标准形（法式） ax2bxycy21 选择适当的坐标变换 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个 二次齐次多项式 使它只含有平方项 把方程化为标准形mx2ny21 设 仿照如上思路 就是要使 , 变成标准形经可逆变换要使二次型 Cyxf () 化为标准形使正交变换 总有任给二次型 定理 fCyx aaxxaf jiij n ji jiij , , 1, ( )., 21的特征值的矩阵是其中ijn aAflll L 用正交变换化二次型为标准型 二次型一定可以 化成标准型 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解: 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 2求特征向量 当 由 取对应的基础解系为对应的特征向量 对应的齐次线性方程组的解为 当 由 对应的齐次线性方程组的解为 取对应的基础解系为对应的特征向量 3将特征向量正交化 得正交向量组 对 进行施密特正交化 4将正交向量组单位化，得正交矩阵 5写出正交变换的形式，并写出二次型的标准型 矩阵合同的定义 设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使 ，则称矩阵 A和B合同。 矩阵合同的性质（合同关系的不变量） 若A为对称阵，B也为对称阵。 R(A)=R(B)：二次型化标准型时秩不变 对称阵A，B对应的正惯性指数和负惯性指数相等。 对称阵A，B对应的二次型的规范形相同。 二次型化标准形的过程就是将二次型矩阵化为对角阵的过程。且 把这一过程称为将对称阵A合同对角化。 二次型的规范型 v推论 任给n元二次型 fxTAx 总有可逆变换xCz 使 f(cz) 为规范形 定义 如果二次型的标准形中，其平方项的 系数为1，-1 或0，即 则称为实二次型的规范形 证明： 设二次型的秩为r，则(n-r)个特征值为零，不妨设 不等于0， 取 令y=kz 而 规范型的1、-1、 零主要取决于特 征值的正、负、 零。 求相似变换阵分两步： 先求正交阵P，再求K阵 记C=PK，即知可逆变换x=Cz,把二次型变成规范二次型。 （1）先通过正交变换P将二次型化为标准形。 （2）再取可逆阵K，即可求得将二次型化为规范二次型的可逆变换阵 C=PK 将二次型化为规范形的步骤 例3 ., 844141417 323121 2 3 2 2 2 1 化成规范形通过正交变换 将二次型 Pyx xxxxxxxxxf - 步骤：（1）先将二次型变成标准型，过程同例2 此例的标准型为： 在此基础上选取K阵 （2）在标准型的基础上将规范型变成规范二次型 正交变换阵 即做相应的可逆变换 可得到二次型的规范形 小结 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇 到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系 ，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而 这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的 思想方法 2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据 二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下 一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日