江苏省普通高等学校2017届高三数学招生考试模拟测试试题二.docx

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中i；2. 锥体的体积公式：VSh，其中S是锥体的底面面积，h是高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|1x1，则AZ_2. 若复数z(1i)(m2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为_3. 数据10，6，8，5，6的方差s2_4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x，y，则为整数的概率是_(第6题)5. 已知双曲线x21(m0)的一条渐近线方程为xy0，则m_6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是_7. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为_8. 在等比数列an中，若a11，a3a54(a41)，则a7_9. 已知|a|1，|b|2，ab(1，)，则向量a，b的夹角为_10. 直线axy10被圆x2y22axa0截得的弦长为2，则实数a的值是_11. 已知函数f(x)x22x，则不等式f(log2x)f(2)的解集为_12. 将函数ysin2x的图象向左平移(0)个单位，若所得的图象过点，则的最小值为_13. 在ABC中，AB2，AC3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若xy(x，yR)，则xy的值为_14. 已知函数f(x)ex1x2(e为自然对数的底数)，g(x)x2axa3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)g(x2)0，且|x1x2|1，则实数a的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b4，c6，且asinB2.(1) 求角A的大小；(2) 若D为BC的中点，求线段AD的长16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面PAC底面ABCD，E为棱PA上一点(1) 求证：BDOE；(2) 若AB2CD，AE2EP，求证：EO平面PBC.17. (本小题满分14分)已知数列an满足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1) 若k0，求数列an的前n项和Sn；(2) 若a41，求数列an的通项公式an.18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4 m，最低点B离地面2 m，观察者从距离墙x m(x1)，离地面高a m(1a2)的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB.(1) 若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？(2) 若tan，当a变化时，求x的取值范围19. (本小题满分16分)如图，椭圆C：1(ab0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OPAF.(1) 若点P坐标为(，1)，求椭圆C的方程；(2) 延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ的斜率的2倍，求椭圆C的离心率；(3) 求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)cosxax21，aR.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a1时，求函数f(x)在，上的最值；(3) 若对于任意的实数x恒有f(x)0，求实数a的取值范围.(二)1. 1，0，1解析：本题主要考查集合的运算本题属于容易题2. 2解析：z(1i)(m2i) m2(2m)i是纯虚数，则m2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识本题属于容易题3. 解析：平均数为7，由方差公式得方差s2.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式本题属于容易题4. 解析：本题的基本事件数为16，为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是.本题考查古典概型，属于容易题5. 解析：双曲线x21(m0)的一条渐近线方程为x0，与xy0是同一条直线，则m.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系本题属于容易题6. 1解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S，n2；第2次循环S1，n3；第3次循环S2，n4，第8次循环S1，n9.本题考查了算法及流程图的基本内容本题属于容易题7. 解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.本题考查了正四棱锥的体积公式本题属于容易题8. 4解析：由a11，a3a54(a41)，得q32，则a7 a1(q3)24.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系本题属于容易题9. 解析：由ab(1，)，得(ab)23，则142ab3，ab1|a|b|cos，cos，则.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系本题属于容易题10. 2解析：由圆x2y22axa0的圆心(a，0)，半径的平方为a2a，圆心到直线axy10的距离的平方为a21，由勾股定理得a2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题本题属于容易题11. (0，1)(4，)解析： 二次函数f(x)x22x的对称轴为x1， f(0)f(2)，结合二次函数的图象可得log2x2，解得0x4， 解集为(0，1)(4，)本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法本题属于中等题12. 解析：易知ysin2(x)，即ysin(2x2)， 图象过点， sin， 22k或22k，kZ，即k或k，kZ. 0， 的最小值为.本题考查了三角函数的图象变换与性质本题属于中等题13. 解析： AO为ABC的角平分线， 存在实数(0)使，即， .若AB边上的中线与AB交于点D，则2xy. C、O、D三点共线， 2xy1，由得x，y， xy.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理本题属于难题14. 2，3解析：易知函数f(x)ex1x2在R上为单调增函数且f(1)0， x11，则|1x2|1解得0x2， x2axa30在x0，2上有解， a在x0，2上有解令tx11，3，则xt1，a，即at2 在1，2上递减，在2，3上递增，则当t2时a的最小值为2，当t1时a的最大值为3， a的取值范围为2，3本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用本题属于难题15. 解：(1) 由正弦定理，得asinBbsinA，(2分)因为b4，asinB2，所以sinA.(4分)又0A，所以A.(6分)(2) 若b4，c6，由余弦定理得a2b2c22bccosA163622428，所以a2.(8分)因为asinB2，所以sinB，从而cosB.(10分)因为D为BC的中点，所以BDDC.在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22ABBDcosB，即AD23672619，所以AD.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC底面ABCD，平面PAC底面ABCDAC，BDAC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC.因为OE 平面PAC，所以BDOE.(6分)(2) 因为ABCD，AB2CD，AC与BD交于O，所以COOACDAB12.因为AE2EP，所以COOAPEEA，所以EOPC.因为PC平面PBC，EO 平面PBC，所以EO平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以数列an是等差数列(2分)设数列an公差为d，则解得(4分)所以Snna1d2nn2n.(6分)(2) 由题意，2a4a3a5k，即24k，所以k2.(8分)又a42a3a223a22a16，所以a23.由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以，数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列所以an1an2n3.(10分)当n2时，有anan12(n1)3，于是an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加，得ana1212(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2)(13分)又当n1时，a12也适合所以数列an的通项公式为ann24n1，nN*.(14分)18. 解：(1) 当a1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD0.5 m，且ACDBCD，由已知观察者离墙x m，且x1，则tanBCD，tanACD，(2分)所以tantan(ACDBCD)，当且仅当x1时，取“”(6分)又tan在上单调增，所以，当观察者离墙 m时，视角最大(8分)(2) 由题意，得tanBCD，tanACD，又tan，所以tantan(ACDBCD)，(10分)所以a26a8x24x，当1a2时，0a26a83，所以0x24x3，即，解得0x1或3x4.(14分)因为x1，所以3x4，所以x的取值范围为3，4(16分)19. (1) 解：因为点P(，1)，所以kOP.因为AFOP，1，所以cb，所以3a24b2.(2分)又点P(，1)在椭圆上，所以1，解之得a2，b2.故椭圆C的方程为1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF的方程为1，与椭圆C的方程1联立消去y，得x20，解得x0或x，所以Q点的坐标为，(7分)所以直线BQ的斜率为kBQ.由题意得，所以a22b2，(9分)所以椭圆的离心率e.(10分)(3) 证明：因为线段OP垂直AF，则直线OP的方程为y，与直线AF的方程1联立，解得两直线交点的坐标.因为线段OP被直线AF平分，所以P点坐标为.(12分)由点P在椭圆上，得1，又b2a2c2，设t，得4(1t)2tt21.(*)(14分)令f(t)4(1t)2tt214(t3t2t)1，因为f(t)4(3t22t1)0，所以函数f(t)单调增又f(0)10，f(1)30，所以f(t)0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解，故存在椭圆C，使线段OP被直线AF垂直平分(16分)20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R，因为f(x)cos(x)a(x)21cosxax21f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3分)(2) 解：当a1时，f(x)cosxx21，则f(x)sinx2x，令g(x)f(x)sinx2x，则g(x)cosx20，所以f(x)是增函数又f(0)0，所以f(x)0，所以f(x)在0，上是增函数又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在，上的最大值是22，最小值为0.(8分)(3) 解：f(x)sinx2ax，令g(x)f(x)sinx2ax，则g(x)cosx2a， 当a时，g(x)cosx2a0，所以f(x)是增函数又f(0)0，所以f(x)0，所以f(x)在0，)上是增函数而f(0)0，f(x)是偶函数，故f(x)0恒成立(12分) 当a时，g(x)cosx2a0，所以f(x)是减函数又f(0)0，所以f(x)0，所