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第四章 有限元法基础 一维单元 本章介绍一维单元和形函数的概念和其性质。 一）线性单元一）线性单元 二）二次单元二）二次单元 三）三次单元三）三次单元 4.1 线性单元 带有等截面的悬臂梁的温度分布 所研究单元的物理量和坐标X的关系为线性关系 单元的端点条件由节点的量值 和 给出， (4.1) 位移函数（ 温度函数） 将节点的值代入方程（4.1）中，产生两个方程 ： 求解 和 ，得到： 由节点的值表示的单元的物理量的值为 ： 对 项和 项进行分组，我们得到： (由节点的值和形函数表示单元的物理量) 定义形函数 和 : 式中， 为单元的长度。因此由形函数表示的单元的物理量值为： 写成矩阵形式： 形函数的性质： 的性质: 的性质: (1)(1)线性形函数在相应的节点上值为线性形函数在相应的节点上值为1 1， 在相邻的节点上为在相邻的节点上为0 0。 (2)(2)线性形函数的和为线性形函数的和为1 1。 (3) (3) 线性形函数对于线性形函数对于X X的导数和为零。的导数和为零。 例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置 。 求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。 解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示： （b）在X=8cm处的位移由单元(3)来表示： 整体坐标、局部坐标和自然坐标： 整体坐标X：描述每个节点、每个单元的方向。 局部坐标x和自然坐标：描述局部（单元）的行为 。 自然坐标：局部坐标的无量纲形式。 一维单元： 整体坐标与局部坐标的关系： 局部坐标与自然坐标的关系： 用局部坐标表达形函数 ： 用自然坐标表达形函数 ： 4.2 二次单元 以二次函数表示未知量的空间变化，所研究单 元的物理量和坐标X的关系为二次函数： 用三个节点来定义一个单元。节点的值分别为: 将节点的值代入以上方程中，产生三个方程： 求解 ， 和 ，整理后得到由节点的值（自由度） 和形函数表示的单元温度分布： 写成矩阵形式： 其中，形函数为 二次形函数的性质： （1） 形函数在相应节点上值为1，在另外一个相 邻节点上值为0； （2） 形函数之和为1； （3） 形函数关于X的导数之和不为零。 4.3 三次单元 所研究单元的物理量 和坐标X的关系为三次函数： 用四个节点来定义一个单元。节点的值分别为 （注：上图中T参数代表参数） 将节点的值代入上面方程中，产生四个方程： 求解 ， ， 和 ，整理后得到由节点的值（ 自由度）和形函数表示的单元温度分布： 写成矩阵形式： 其中，形函数为 对于（n1）阶多项式形函数，有普遍的函数形式 三次形函数的性质： （1 1） 形函数在相应节点上值为形函数在相应节点上值为1 1，在另外一个相邻节，在另外一个相邻节 点上值为点上值为0
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