运用二项式定理巧解数学问题论.doc

绵阳师范学院本科生毕业论文（设计）题 目 运用二项式定理巧解数学问题 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 1008020203 姓 名 彭晓 指 导 教 师 罗守双 讲师 答 辩 时 间 论文工作时间： 年 月 至 年 月 论文题目来源：国家自然科学基金项目编号：四川省自然科学研究项目编号：校级自然科学研究项目编号：运用二项式定理巧解数学问题 学 生：彭 晓指导老师：罗守双摘 要：二项式定理，又称牛顿二项式定理。它是初中所学乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值。中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。并且二项式定理在中学数学的解题中有着广泛的运用，如何灵活的运用却是一个难点。研究二项式定理，通过对构造二项式求极限以及证明整除性问题的分析，归纳出能运用二项式定理的常见类型，总结运用二项式定理的常见方法，使得相关题目的解题思路更加清晰。关键词：二项式定理；通项公式；二项式系数；Using the Binomial Theorem in solving mathematical problemsUndergraduate: Peng XiaoSupervisor: Luo ShoushuangAbstract: the Binomial Theorem, is also known as the Newton Binomial Theorem. It is the promotion of Multiplication Formula of junior high school study, a specific application of knowledge about Permutation and Combination, an important foundation for learning Probability. This part of knowledge has high application value and thinking training value. The Binomial Theorem in middle school textbook mainly includes: Theorem itself, General Term Formula, PascalsTriangle, the properties of Binomial Coefficient and so on.Though the Binomial Theorem is widely used in solving middle school mathematical problems, it is a difficulty to know how to use it flexibly.According to the research of The Binomial Theorem, the analysis on the structure of Binomial in getting Limit,and the analysis on proving the Divisibility problems, the common types in using the Binomial Theorem and the common methods in using the Binomial Theorem can be summerized making the thoughts of solving related problems more clearly.关键词：二项式定理；通项公式；二项式系数；Keywords: BinomialTheorem; General Term Formula, Binomial Coefficient;绵阳师范学院2014届本科毕业设计（论文）目录1 绪论22 二项式定理简介22.1 杨辉三角形32.2 用数学归纳法证明二项式定理32.3 二项式定理一般形式的证明53二项式定理的应用53.1在计算题中的应用53.1.1通项公式的运用63.1.2求数列极限问题63.1.3运用二项式定理求近似值73.2在证明题中的应用103.2.1证明整除性问题103.2.2证明不等式问题113.2.3二项式定理在综合题中的应用13结束语27参考文献28致 谢291 绪论二项式定理在数学中有着很重要的地位，它是排列组合的具体应用也是统计学的基础，在高等数学中更是许多公式的共同基础。而与二项式定理联系最紧密的是杨辉三角，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。二项式定理是中学数学的重要内容之一，它在实际的运用中很有价值。可以用来进行近求组合数的和；求展形式或者一些多项展开式中指定项；讨论整除性问题，证明某些不等式等。而且在中学数学中许多的证明题需要用到数学归纳法，而数学归纳法的证明过程有比较的繁琐。如果运用二项式定理不失为一个好办法，而且这样做会使解题过程更加简洁、明了。往往能起到事半功倍的作用。当然在运用二项式定理证明的关键在于构造二项式，还要借助于分析法、放缩法、构造法等来进行辅助证明。所以我们探讨如何运用二项式定理来巧解数学问题是非常有必要的2 二项式定理的简介二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年、1665年期间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。二项式定理可以用以下公式表示： 其中， 又有 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形2.1杨辉三角形杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。排列如下 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1、性质（1）、每个数等于它上方两数之和。（2）、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。（3）、第n行的数字有n项。（4）、第n行数字和为。（5）、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即（组合数性质之一）（6）、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即（7）、第n行的m个数可表示为，即为从n-1个不同杨辉三角的组合数表示元素中取m-1个元素的组合数。组合数计算方法：（8）、的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项。2、应用性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，即第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即以此类推。n行的m个数可表示为，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形的联系非常密切。2.2用数学归纳法证明二项式定理当，假设二项展开式在时成立。若， 将乘入取出的项设取出项 两者加起套用帕斯卡法则2.3二项式定理一般形式的证明通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式令. 注意只有当时上述两个函数才收敛首先证明收敛于1。之后易得满足微分方程:. 用求导的一般方法就能得到这个结论,再证明亦满足上述微分方程: 于是令, 由于和满足同样的微分方程, 于是是一个常数, 即代入的情况, 证明3 二项式定理的应用3.1在计算题中的应用3.1.1 通项公式的运用运用通项公式可求二项式的指数，求满足条件的各项的项数，求展开式的某一项。在使用时要注意区分项和项数，系数的概念应与多项式中某一项的系数统一，在使用通项公式时应分清r与r+1 。 （1） 用赋值法求部分项系数，二项式系数和例 求与奇数项的系数和与偶数项的系数和。解： 例 若求解： 令，有 令，有 又因为：所以原式= （2） 求二项式的指数例 已知的展开式的系数和比展开式的系数和小240求 m.解：因为的展开式的系数和为，又 的展开式的系数和为 依题意 （舍）（3） 求二项展开式中的常数项例 求二项式的展开式中的常数项？解：令，得，（4） 两个二项式相乘问题 例 解： (5) 构造逆用问题例 已知，求n.解：等号左边可以变形为 再逆用二项式定理=6534 即：=6534 得 n=83.1.2 求数列极限问题数列极限的存在性有一个两边夹的判别法则：若且则.运用这个判别法求极限的关键在于建立不等式链，而有时建立不等式链比较困难，运用构造二项式来建立会使问题简化。例 设，求 解：显然，当时，.令 又 3.1.3 运用二项式定理求近似值例 计算的近似值（精确到0.001）解：根据精确度的要求，第三项后的各项都可以删去，所以3.2在证明题中的应用3.2.1证明整除性问题（1）观察的展开式中的n+1项，前n项中都含有a，唯最后一项不含a，去掉最后一项，剩下的前n项和必是a的倍数。例 求证：。 证明： 上式n-1项中的每一项都含有这个因子所以（2）因为的展开式中的前n项之和能被a整除，而第n+1项是，所以 和 被a除时，其余数相同例 求证：。 证明： 若，则得证于是所以3.2.2证明不等式问题（1） 在二项式中，若a、b都是正数，则其展开式中的n+1项都是正数，如果去掉若干项则其和必小于，用此方法可以技巧解不等式证明中的一些问题。例 设 x、y为不相等的正数，试证不等式 。证明： 不访设，令则于是上式括号中每一项都为正数，保留第一项，去掉后面的项得： 即 （2）简单构造二项式和直接应用二项式定理 例 求证： 证明： 例 求证：对于任意的正整数,不等式 证明 ： ，（3）适当变形再用二次定理 例 当 证明：要证即要证明且 因为所以前面一个式子成立， (4) 配凑新的二项式再用二项式定理 例 已知a,b为不相等的正数,n是大于1的整数，求证： 证明： = ，3.2.3二项式定理在综合题中的应用例 已知数列并且 求证. 证： 两式想减得到 即 所以 再相加 即 所以，数列是等差数列. 则 结束语通过二项式定理巧妙运用的探讨能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题。研究二项式定理，通过对构造二项式求极限以及证明整除性问题的分析，归纳出能运用二项式定理的常见类型，总结运用二项式定理的常见方法，使得相关题目的解题思路更加清晰。文中就讲解了运用二项式定理巧解求值、整除、求解不等式等方面的内容。当然本文介绍的深度广度还不够，有待于在今后学习中来进一步完善。 参考文献1 曹耿 分类解析二项式定理的新颖题型 2012 .12 何式高 二项式怎样巧解数学问题 中学教研：数学版（金华）.1996.6.25-283 冯俊 用二项式定理证明不等式的几类问题 中学数学 20064 孙幸荣 曹学锋 二项式定理的推广及其应用 广西教育学院报 2004.55 邓家齐 关于n阶矩阵m次幂的通项公式问题 数学通报 1984.1（23-24）6 季林波 浅谈高中的二项式定理通项公式 中学数学高中版 2012.97 张建业 田志良 二项式定理的一个应用 河北工程技术高等专科学校学报 2005.38 张端平 张尊好 源于二项式定理的一类探索性问题 中学数学杂志 2006.19 苏改琴 二项式定理的妙用 陕西教育 2009.1010褚现中 活用二项式定理的推导方法 2006.5 绵阳师范学院2014届本科毕业设计（论文）致 谢 本课题在选题及研究过程中得到罗守双老师的悉心指导.从课题的选择到项目的最终完成,万老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.罗多次询问研究进程,并为我指点迷津,帮助我开拓研究思路,精心点拨、热忱