高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质同步指导练习新人教A版.docx

四 弦切角的性质一、基础达标1.已知，如图，PA切O于点A，BC是O的直径，BC的延长线交AP于P，AEBP交O于E，则图中与CAP相等的角的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析如图所示，连接OA，OE，则AOE为等腰三角形.OCAE，OC垂直平分AE，ACE为等腰三角形，EACAECCAPABP.答案C2.如图所示，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则P等于()A.15 B.20C.25 D.30解析如图，连接BC，PC是O的切线，PCBCAB35.又PBCCABACB3590125，P1801253520.答案B3.如图，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC的长为()A.2 B.3C.2 D.4解析如图，连接BC，由AB是直径，得ACBC，由弦切角定理可知，ACDABC，ABCACD，AC2ABAD6212，AC2.答案C4.如图所示，已知AB和AC分别是O的弦和切线，A为切点，AD为BAC的平分线，且交O于D，BD的延长线与AC交于C，AC6，AD5，则CD_.解析由AC为切线，得CADB.由题意知CADBAD，DABB，ADBD5.又CADB，CC，ACDBCA，即CDBCAC2，CD(BDCD)AC2，即CD(5CD)36，解得CD4(负值舍去).答案45.如图所示，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，D是优弧BC上的点，已知BAC80，那么BDC_.解析连接OB，OC，则OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDCBOC50.答案506.如图所示，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于点E，求证：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.二、能力提升7.如图所示，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，C是上的一点，已知O半径为r，PO2r，设PACPBC，APB.则，的大小关系是()A. B.C. D.不能确定解析如图，连接OA，OB，则OAPA，又PO2r2OA，APO30，APB60，POAPOB60，又PACPBCAOB60，.答案B8.如图，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为点D，则线段CD的长为_.解析因为圆O的直径AB6，C为圆周上一点，则ACBC，从而cosCBA.又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得DCACBA，从而cosDCAcosCBA.又因为ADCD，所以CDACcosDCA.答案9.如图，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC，PAB30，则线段PB的长为_.解析如图，连接OA，又PA为O切线，OAP90，CPAB30，OBAOAB60，PPAB30，PBAB.又AC，BC为O直径，CAB90，AB1，PB1.答案110.如图，AD是ABC的角平分线，经过点A，D的O和BC切于D，且与AB，AC相交于E，F.求证：EFBC.证明如图所示，连接DF.DC是O的切线，42.又AD平分BAC，12，41.又由圆周角定理得13，34，EFBC.11.如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.三、探究与创新12.如图所示，点P在O外，PC是O的切线，切点为C，直线PO与O相交于A，B两点.(1)探索BCP与P的关系；(2)若A30，则PB与PA有什么关系？(3)A可能等于45吗？为什么？解(1)PC为O的切线，BCPA.在PCA中，APACBBCP180，又AB是O的直径，ACB90，BCP.(2)若A30，则BCPA30，P3