2010金融工程第03章.ppt

第三章 远期和期货的定价 主要内容 第一节 金融远期和期货市场概述 第二节 远期价格和期货价格的关系 第三节 无收益资产远期合约的定价 第四节 支付已知现金收益资产远期合约 定价 第五节 支付已知收益率资产远期合约定 价 第六节 期货价格与现货价格的关系 第一节 金融远期和期货市场概述 一、金融远期市场 第三章 远期和期货的定价 如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相 同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价 值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处 于远期合约的多头或空头状态。 金融远期合约（Forward Contracts）是指双方约 定在未来的某一确定时间，按确定的价格（即交割 价格）买卖一定数量的某种金融资产的合约。 远期价格与远期价值 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远 期价格(或远期理论价格)。 第三章 远期和期货的定价 但随着时间推移，远期理论价格有可能改变，而 原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合 约的价值就可能不再为零。合约到期时，合约的 价值就取决于标的资产的市价与交割价格。 远期价值是远期合约的价值。 在合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则 此时合约价值为零。 远期合约的优点 第三章 远期和期货的定价 远期合约是非标准化合约，因此灵活性较大。在 签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割 时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等细 节进行谈判，以便尽量满足双方的需要。 远期合约是适应规避现货交易风险的需要而产生的。 远期合约的缺点 最后，远期合约的履约没有保证，当价格变动 对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行 合约，因此远期合约的违约风险较高。 第三章 远期和期货的定价 其次，由于每份远期合约千差万别，这就给远 期合约的流通造成较大不便，因此远期合约的 流动性较差。 首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易 场所，不利于信息交流和传递，不利于形成统 一的市场价格，市场效率较低。 因此有：A（110）（1r）A（110.5）2 有（110）（1r）（110.5）2 r =11.00% 第三章 远期和期货的定价 远期利率 假设本金为A的资金要作2年期的投资，这里有两种方 法。这两种方法所获得的终值应该一样，否则会有无 风险套利机会。 若1年期的即期利率为10，2年期的即期利率为10.5 ，从现在看，1年后期限为1年的远期利率r是多少？ 远期利率指现在时刻的将来一定期限的利率。如12远 期利率，表示1年之后开始的期限为1年的远期利率。 第三章 远期和期货的定价 所以有 因为 当即期利率和远期利率均为连续复利时，远期利率的计 算如下： 注意：此式仅适应于每年计一次复利的情形。 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为 r，T*时刻（T*T）到期的即期利率为 r* ，则t时刻的 T*-T期间的远期利率 可以通过下式求得： 金融期货合约 （Financial Futures Contracts）是指协议双方 同意在约定的将来某个日期按约定的条件（包括 价格、交割地点、交割方式）买入或卖出一定标 准数量的某种金融工具的标准化协议。合约中规 定的价格就是期货价格(Futures Price)。 第三章 远期和期货的定价 二、金融期货市场 金融期货交易的特征 期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行 的，买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立专门 的保证金账户。 第三章 远期和期货的定价 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标准 化的，即在合约上有明确的规定，无须双方再商定。 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交 易以结束其期货头寸（即平仓），而无须进行最后 的实物交割。 期货合约在交易所进行，交易双方不直接接触，而 是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。 l金融期货合约的种类 外汇期货的标的物是外汇，如美元、德国马克、法 国法郎、英镑、日元、澳元、加元等。 第三章 远期和期货的定价 股价指数期货的标的物是股价指数。 利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货 合约，如长期国债期货、短期国债期货和欧洲美元 期货。 按标的物不同，金融期货可分为利率期货、股价指 数期货和外汇期货。 l期货市场的功能 转移价格风险的功能 价格发现功能 第三章 远期和期货的定价 三、期货合约与远期合约比较 标准化程度不同 交易场所不同 违约风险不同 价格确定方式不同 履约方式不同 合约双方关系不同 结算方式不同 第三章 远期和期货的定价 第二节 远期价格和期货价格的关系 相反，当标的资产价格与利率呈负相关性 时，远期价格就会高于期货价格。 第三章 远期和期货的定价 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货 价格高于远期价格。 当无风险利率恒定，且对所有到期日都不 变时，交割日相同的远期价格和期货价格 应相等。 第三章 远期和期货的定价 一、对本章符号的规定 第三节 无收益资产远期合约的定价 T：远期或期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：标的资产在t时刻的价格； ST：标的资产在T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值； F：远期价格或期货价格； r： t时刻的无风险年利率（以连续复利计算）， 其到期时间为T时刻。 对于无收益资产，远期价格等于其标的资 产现货价格的终值。 第三章 远期和期货的定价 二、无套利定价法 由于远期价格F是使合约价值f为0的交割价格K，即f0 时，K=F,所以有 F=Ser（Tt） （3.2） 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格 与交割价格现值的差额。 f+ Ke-r（Tt）=S 有 f=SKe-r（Tt） （3.1） 组合B：一单位标的资产。 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的 现金； 可以用反证法进一步的证明。 假设FSer（Tt），可构筑如下套利头寸，T时刻可获 得无风险利润F Ser(Tt)。 第三章 远期和期货的定价 S（FS套利头头寸 t时时刻现现金流 T时时刻现现金流 以无风险风险 利率r借入S现现 金购买购买 一单单位标标的资产资产 卖卖出一份远远期合约约 S S 0 Ser(Tt) ST （STF） 净现净现 金流0F Ser(Tt) FSe r（Tt） ，可构筑相反套利头寸，即卖空标的 资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为 T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割 价为F。 T时刻可获得无风险利润 Ser(Tt)F。 第三章 远期和期货的定价 例3.1 一份剩余期限为6个月、标的证券为一年期贴现 债券的远期合约多头，其交割价格为950美元，6 个月期的无风险利率为6，该债券现价为930美 元，计算远期合约多头价值。 f=SKe-r（Tt）930950e0.060.5 8.08（美元） 例3.2 假设一年期贴现债券价格为960美元，3个月期 无风险年利率为5，计算以该债券为标的证 券的期限为3个月的远期合约的交割价格。 F=Ser(Tt）960e0.050.25972（美元） 三、远期价格的期限结构 T*时刻交割的远期价格 第三章 远期和期货的定价 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远 期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的 无风险利率, 为T到T*时刻的无风险远期利率。 因为T时刻交割的远期价格 F=Ser（Tt） 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的 关系。 第三章 远期和期货的定价 我们可以得到不同期限远期价格之间的关系： 又因为前面的远期利率的计算 两式相除消掉S后, （3.3） （3.4） 第三章 远期和期货的定价 第四节 支付已知现金收益资产远期合约定价 组合B中，一单位标的资产在T 时刻所获现金收益为 Ier(T-t),正好归还本金为I、期限为T-t的负债。因此， 组合B在T时刻的价值也是一单位标的证券。 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（Tt） 的现金； 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债。 令现金收益的现值为I，其派发日期为T ，tTT。通 过构造以下组合来定价： 支付已知现金收益的资产指会产生完全可预测的现金流 的资产。 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式 。其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标 的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。 第三章 远期和期货的定价 F=(S-I)er（Tt） （3.6） 据无套利分析，t时刻两个组合的价值应相等。 根据F的定义，我们可从上式求得： 支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证 券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值 之差。 f+ Ke-r（Tt）=S-I 有 f=S-I-Ke-r（Tt） （3.5） 第三章 远期和期货的定价 例3.3 假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9和 10，一种10年期债券现货价格为990美元，该债券1 年期远期合约的交割价格为1001美元，该债券在6个月 和12个月后都将收到60美元的利息，且第2次付息日在 远期合约交割之前，求该合约的价值。 则该合约空头的价值为27.39美元。 其次，据（3.5）式 f=S-I-Ke-r（Tt）计算远期合约 多头的价值： f990111.651001e0.1127.39 （美元） 首先，计算债券现金收益的现值： I60e0.090.560e0.11111.65（美元） 第五节 支付已知收益率资产远期合约定价 第三章 远期和期货的定价 组合B中，证券数量随获红利的增加而增加，合约到期 时，有e-q（Tt）eq（Tt）1，刚好是一单位标的资产。 组合A：一份远期合约多头加数额为Ke-r（Tt）的现金； 组合B：e-q（Tt）单位证券并且所有收入都再投资于该 证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。 支付已知收益率资产是指能产生与该资产现货价格成一 定比率的收益的资产 有 （3.7） 所以有 （3.8） 一、一般公式 第三章 远期和期货的定价 例3.4 A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4 ，无风险利率为10，若该股票6个月的远期合约的交 割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。 远期合约多头的价值为1.18美元，远期价格为： 二、外汇远期和期货的定价 这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明， 若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货 汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率 ，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。 第三章 远期和期货的定价 外汇远期和期货价格的确定公式： S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远 期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格 ，rf表示外汇发行国无风险利率。外汇远期合约的价 值： (3.10） （3.9） 第三章 远期和期货的定价 三、远期利率协议（简称FRA）的定价 远期利率协议是买卖双方现在（t时刻）同意从 未来某一时刻（T时刻）开始到未来另一时刻（ T*时刻）结束的T*T时期内按协议规定的利率 （又称合同利率）借贷一笔数额确定、以具体货 币表示的名义本金的协议。 是一种远期贷款合约。这种借贷是名义上的，不 发生实际的贷款本金的交付。 远期利率协议的买方（或多方）是名义上的借款 人，其订立协议是为了避免利率上升的风险，其 结果是现在就确定将来的借款成本。 远期利率协议卖方（或空方）是名义上的贷款人 ，其订立该协议的目的是规避利率下跌的风险。 远期利率协议到期时，据合同利率与参考利率的 差距，交易一方要向另一方支付一定的利息差额 。 *29 第三章 远期和期货的定价 成交日（又称交易日）：双方所签订的FRA的执行日， 也即协定生效日； 起算日：开始计时的日子，常常是交易日后的第二个交 易日开始； 基准日：确定参考利率的日子，参考利率是结算日的前 两个营业日（即基准日）的市场利率； 结算日：名义贷款的开始日，也是进行利息清算的日期 ，又称交割日或起息日。到期日：名义贷款的到期日。 成交日 起算日 基准日 结算日 到期日 时间 Tt 名义贷款期限 T*T 远期利率协议的时间图 第三章 远期和期货的定价 远期利率协议中买方并没有从卖方那里借款，他只 是想确定将来的借款成本，几个月以后买方还是要 到市场上去借款。 这样买方将来的借款成本如何固定？ 借款人从市场上以参考利率来借款，如果参考利率 超过合同利率，那么他的借款成本就会大于合同利 率，这时，名义借款人（买方）可得到名义贷款人 （卖方）支付的参考利率与合同利率的差价；通过 卖方支付这二者的价差给买方，他的借款成本仍然 是协议规定的合同利率。 反之则相反。 利息通常是贷款到期时才支付，而远期 利率协议中利息清算是在名义贷款的开 始日，因此，在结算日交割的利息差实 际是在到期日应该支付的参考利率与合 同利率之差的贴现值。 *32 第三章 远期和期货的定价 报价方式 银行在报价时使用简单的符号，如3月1日的报价为 ：FRA36美元8.808.75。3是指从现在（起算日 ）开始到结算日的时间长度，6是指起算日开始到 贷款到期日之间的时间。总体看，是3个月后才开 始（即6月1日开始）的期限为3个月的美元贷款的 协定利率，8.80是银行作为协议的卖方所提出的卖 价，即8.80，8.75是银行作为协议的买方所提出 的买价即8.75。买卖价差是银行的收益。近年来 ，该价差越来越低，说明该市场的交易成本越来越 低，市场效率越来越高。 第三章 远期和期货的定价 翰云公司在3个月后需要一笔1,000万美元的资金，为期 6个月。公司经理预测届时利率将会上涨，因此他想锁 定借款成本，因此从银行买入一份远期利率协议，银行 目前所提供的FRA的报价为： FRA39美元8.808.75 是3个月后开始的期限为6个月的美元贷款的合同利率， 8.80是银行作为协议的卖方所提出的卖价，即8.80， 8.75是银行作为协议的买方所提出的买价即8.75。买 卖价差是银行的收益。 翰云公司是远期利率协议的买方（或多方），是名义 上的借款人，银行是卖方，则翰云公司购买该远期利 率协议就相当于在3个月后以8.80的利率借入期限为 6个月的名义本金为1,000万美元的资金。 第三章 远期和期货的定价 3个月后市场利率果然上涨，6个月期的市场利率为9.00（ 即在基准日确定的参考利率），此时，作为银行的卖方应支 付利息差额给翰云公司。在结算日交割的金额为： 翰云公司实际的借款成本固定在8.80。为什么？ 那么，实际情况如何呢？ 若3个月后市场利率下降，6个月期的市场利率为8.60，则 结算日应如何交割？具体交割金额是多少？ 远期利率协议是卖方现在（t时刻）承诺从未来某一时 刻（T时刻）开始，将一定数额的名义本金（A）按约 定的合同利率（rK）在一定期限T*T贷给多方（协议 买方）的远期协议。本金A会产生固定收益率r，因此远 期利率协议属于支付已知收益率资产的远期合约。 第三章 远期和期货的定价 远期利率协议的定价就是要定出远期价格，即资金的远 期价格（也即远期利率），而远期价格或远期利率就是 使远期合约价值为0的交割价格，对于远期利率协议来 说，交割价格就是合同利率rK。 远期利率协议多方的现金流为： T时刻：A T*时刻： 这些现金流的现值之和即远期利率协议多头的价值f。 先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率 贴现到T 时刻，再将T时刻的现金流贴现到现在时刻t，则远期 利率协议多头的价值： 第三章 远期和期货的定价 据定义，远期利率rF就是使远期合约价值为0的交割价 格（此处为rK），因此f0时，有 而 因此理论上的远期利率 (3.12) (3.11) 第三章 远期和期货的定价 例3.5 假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5，3 年期的为11，本金为100万美元的2年3年远期利率协 议的合同利率为11，请问该远期利率协议的价值以及 理论上的合同利率等于多少？ 据公式（3.11），该合约的价值为： 据公式（3.12），该合约理论上的合同利率也就是远期 利率： 四、远期外汇综合协议的定价 远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定 ，买方在结算日（T时刻）按照合同规定的直接远期汇 率K用本币从卖方买入一定名义金额A的外币，然后在到 期日（T*时刻）再按合同规定的直接远期汇率K*把一定 名义金额（仍假定为A）外币出售给原卖方的协议。 第三章 远期和期货的定价 根据该协议，多头（买方）的现金流为： T时刻：A单位外币AK本币 T*时刻：AK*本币A单位外币 现金流的现值之和为远期外汇综合协议多头的价值f。 第三章 远期和期货的定价 为此，要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币 无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按t时刻 的汇率（S）折成本币。令rf代表在T时刻到期的外币即 期利率，r*f代表在T*时刻到期的外币即期利率，r和r* 分别为T和T*时刻到期的本币的即期利率，则： 由于远期汇率就是合约价值为零的交割价格（这里 为K和K*），因此T时刻交割的理论远期汇率（F）和 T*时刻交割的理论远期汇率（F*），由f0可求得 第三章 远期和期货的定价 所以 （3.16） （3.14） （3.13） 第三章 远期和期货的定价 例3.6 设美国2年期即期年利率为8，3年期即期年利率为8.5，日本2 年期即期年利率为6，3年期即期年利率为6.5，日元对美元即 期汇率为0.0083美元/日元。本金1亿日元的2年3年远期外汇综合 协议的2年合同远期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远期汇率为 0.0092美元/日元，计算该合约多头价值及理论上的远期汇率。 2年期、3年期的理论远期汇率F和F*分别为： 一、期货价格和现在的现货价格的关系 期货价格和现货价格的关系可以用基差(Basis)来描 述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之差，即 ： 基差 = 现货价格 - 期货价格 第三章 远期和期货的定价 第六节、期货价格和现货价格的关系 基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日 ，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛于标的资 产的现货价格，是由套利行为决定的。 根据前面的定价公式，当标的证券没有收益，或者已 知现金收益较小、或者已知收益率小于无风险利率时 ，期货价格应高于现货价格，见图1。当标的证券的已 知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时 ，期货价格应小于现货价格，见图2。 现货价格 期货价格 第三章 远期和