高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性导学案苏教版.docx

13.1三角函数的周期性课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+);（2）y=3sin(+).思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+,而sin(2+z)=sinz,即f(2+z)=f(z),f(2+x)+ =f(x+).周期T=2.(2)令z=+,则f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(+2)=3sin()=f(x+4).T=4.温馨提示 理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为.思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+)=cos2(x+)+sin2(x+)=cos(2+2x)+sin(2+2x)=cos2x+sin2x=f(x),y=cos2x+sin2x的周期是.(2)f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),y=|sinx|+|cosx|的周期是.温馨提示 “f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(xR).(1)当T时，令x=,得sin|+T|=sin|sin(+T)=sincosT=1;令x=-,得sin|-+T|=sin|-|sin(-+T)=sin-cosT=1cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T不可能.(2)当T-时,令x=x-T得,sin|x-T+T|=sin|x-T|sin|x-T|=sin|x|,即-T是函数的周期.但-T,由(1)知这是不可能的.(3)当-T时,令x=0得,sin|T|=sin|0|sinT=0T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示 进一步理解定义,存在一个常数T0;当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x;(3)f(x)=2sin().解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2)=f(x+2),函数的最小正周期为2.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+)=f(x+),函数的最小正周期为.(3)f(x)=2sin()=2sin(+2)2sin(x+)+=f(x+4),函数的最小正周期为4.变式提升1定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x0,时,f(x)=sinx,则f()的值为（ ）A. B. C. D.解析：由题意:f()=f(-)=f(-+2)=f()=sin=.答案：D类题演练2设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x1,2时，f(x)的解析表达式.解：当x-3,-2时，-x，3.f(x)是偶函数，f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)是以2为周期的周期函数，当x1,2时，-3x-4-2,f(x)=f(x-4)=-2（x-4）+32+4=-2(x-1)2+4.f(x)=-2(x-1)2+4(1x2).变式提升2定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x(-6,-2)时，f(x)=_.解析：偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x(-6,-2),x+4(-2,2).f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17.答案：x2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x3;(2)y=sinx2.证明：（1）因为y=x3在xR上单调，设y取到值a,方程x3=a不可能有两个不同的根，因此y=x3不是周期函数.（2）设函数y=sinx2是周期函数，周期为T，那么对所有的xR，sin(x+T)2=sinx2.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f（x)=1(xR)是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切xR恒成立,又当0x1时,f(x)=-x2+4.求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;求当1x2时,f(x)的解析式.证明：f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1),f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(nZ,n