重庆市南开中学2015届高 三上学期9月月考数学试卷（文科）（解析版）.doc

重庆市南开中学2015届高 三上学期9月月考数学试卷（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合M=1，2，3，N=x|log2x1），则MN=（）A3B2，3C1，3D1，2，32（5分）已知等比数列an满足：a3a7=，则cosa5=（）ABCD3（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）ABCD4（5分）已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题5（5分）若x0，y0且2x=，则的最小值为（）A3B2C2D3+26（5分）函数f（x）=4lnxx2的大致图象是（）ABCD7（5分）若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=f（x）ex+1Dy=f（x）ex18（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA=（）ABCD9（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2xy的最大值是（）A6B0C2D210（5分）在ABC中，E，F分别在边AB，AC上，D为BC的中点，满足=2，=0，则 cos A=（）A0BCD二填空题：本大题共5小题，每小5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）已知=b2i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=12（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=8a6，则S9=13（5分）已知为单位向量，=（3，4），|2|=3，则=14（5分）设m，n，pR，且m+n=2p，m2+n2=12p2，则p的最大值和最小值的差为15（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为三解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值17（13分）某中学2014-2015学年高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86（）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S12、S22，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名求至少有1名来自甲班的概率18（13分）已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值19（12分）设函数f（x）=sin（x）cosx+cos2x（0）图象上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=（）求的值；（）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（nN*）（）证明：数列an+1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）数列an满足bn=anlog2（an+1）（nN*），其前n项和为Tn，试求满足Tn+2015的最小正整数n21（12分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3（）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（nN*）；（）若（2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x1，2）时f（x）=k|2x3|，求k的值及f（x）在区间1，2n）（nN*）上的最大值与最小值重庆市南开中学2015届高三上学期9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合M=1，2，3，N=x|log2x1），则MN=（）A3B2，3C1，3D1，2，3考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可解答：解：由N中不等式变形得：log2x1=log22，即x2，N=x|x2，M=1，2，3，MN=3故选：A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知等比数列an满足：a3a7=，则cosa5=（）ABCD考点：等比数列的通项公式；三角函数的化简求值 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用等比数列的性质结合已知求得则答案可求解答：解：在等比数列an中，由a3a7=，得，cosa5=故选：C点评：本题考查了等比数列的性质，考查了三角函数的值，是基础题3（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）ABCD考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：由诱导公式知sin（+a）=cos=，根据二倍角的余弦公式从而有cos2=2cos21=1=解答：解：sin（+a）=cos=，cos2=2cos21=1=故选：D点评：本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用，属于中档题4（5分）已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则（）A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题考点：全称命题；复合命题的真假 专题：常规题型分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论解答：解：由于x=10时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题pq是真命题，命题pq是假命题，q是真命题，进而得到命题p（q）是真命题，命题p（q）是真命题故答案为C点评：本题考查复合命题的真假，属于基础题5（5分）若x0，y0且2x=，则的最小值为（）A3B2C2D3+2考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：x0，y0且2x=，2x=212y，x+2y=1再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出解答：解：x0，y0且2x=，2x=212y，可得x=12y，即x+2y=1=（x+2y）=3+=3+2，当且仅当x=y=1取等号故选：D点评：本题考查了指数函数的单调性、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题6（5分）函数f（x）=4lnxx2的大致图象是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：先求导，从而可求得函数f（x）=4lnxx2的单调区间与极值，问题即可解决解答：解：f（x）=4lnxx2，其定义域为（0，+）f（x）=2x=由f（x）0得，0x；f（x）0得，x；f（x）=4lnxx2，在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；x=时，f（x）取到极大值又f（）=2（ln21）0，函数f（x）=4lnxx2的图象在x轴下方，可排除A，C，D故选：B点评：本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题7（5分）若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点（）Ay=f（x）ex1By=f（x）ex+1Cy=f（x）ex+1Dy=f（x）ex1考点：函数的零点 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据f（x）是奇函数可得f（x）=f（x），因为x0是y=f（x）ex的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断解答：解：f（x）是奇函数，f（x）=f（x）且x0是y=f（x）ex的一个零点，f（x0）=0，f（x0）=，把x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）1=1=0，故A正确；B、y=f（x0）+1=（）2+10，故B错误；C、y=ex0f（x0）+1=ex0f（x0）+1=ex0+1=1+1=0，故C正确；D、y=f（x0）1=11=2，故D错误；故选：A点评：此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证8（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bc=a，2sinB=3sinC，则cosA=（）ABCD考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理求得a=2c，b=c再由余弦定理可得 cosA= 的值解答：解：在ABC中，bc=a，2sinB=3sinC，利用正弦定理可得2b=3c，求得a=2c，b=c再由余弦定理可得 cosA=，故选：A点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题9（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2xy的最大值是（）A6B0C2D2考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），B（a，a），由，得a=2A（2，2），化目标函数z=2xy为y=2xz，当y=2xz过A点时，z最大，等于22（2）=6故选：A点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10（5分）在ABC中，E，F分别在边AB，AC上，D为BC的中点，满足=2，=0，则 cos A=（）A0BCD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据共线向量基本定理及已知的边的关系即可用向量表示：，根据，及即可求出cosA解答：解：如图，根据已知条件得：=；=；=0；把带入上式并整理得：cosA=故选：D点评：考查共线向量基本定理，向量的加法运算，向量的减法运算，向量的数量积的运算及运算公式二填空题：本大题共5小题，每小5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）已知=b2i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=5考点：复数相等的充要条件 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：先化简等式左边，再由复数相等的条件建立方程求出a，b的值，即可得出解答：解：=b2i，a=2，b=3，a+b=2+3=5故答案为5点评：复数相等即实部与实部相等，虚部与虚部相等，由此关系建立方程求参数的值是复数题中求参数常用的理论依据12（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=8a6，则S9=36考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知求得a5，代入S9=9a5得答案解答：解：在等差数列an中，由a4=8a6，得a4+a6=8，即2a5=8，a5=4则S9=9a5=94=36故答案为：36点评：本题考查了等差数列的前n项和，项数为奇数的等差数列的前n项和等于中间项乘以项数，是基础题13（5分）已知为单位向量，=（3，4），|2|=3，则=23考点：平面向量数量积的运算；向量的模 专题：平面向量及应用分析：利用向量的平方等于其模的平方，将|2|=3平方，得到的等式解之解答：解：为单位向量，=（3，4），|=1，|=5，|2|2=2+424=9，=23；故答案为：23点评：本题考查了向量的模的平方等于向量的平方以及向量的数量积的求法14（5分）设m，n，pR，且m+n=2p，m2+n2=12p2，则p的最大值和最小值的差为考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：根据条件求出mn的值，构造一元二次方程，利用判别式与方程根的对应关系即可得到结论解答：解：m+n=2p，m2+n2=12p2，（m+n）2（m2+n2）=44p+p212+p2=2p24p8，mn=p22p4，m、n是方程x2（2p）x+p22p4=0的两根，m，nR，=（2p）24（+p22p4）=44p+p24p2+8p+16=3p2+4p+200，即3p24p2002p，p的最大值和最小值差为（2）=，故答案为：点评：本题主要考查一元二次方程与判别式之间的关系，根据条件构造一元二次方程是解决本题的关键综合性较强，难度较大15（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为（4，2017）考点：分段函数的应用 专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用分析：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015（d1）=（）a1=t，由于0t1，即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围解答：解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，log2015（d1）=（）a1=t，由于0t1，则得到1a0，2d2016，则2a+d2015，即有4a+b+c+d2017，故答案为：（4，2017）点评：本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题三解答题：本大题6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）等差数列an足：a2+a4=6，a6=S3，其中Sn为数列an前n项和（）求数列an通项公式；（）若kN*，且ak，a3k，S2k成等比数列，求k值考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则数列an通项公式可求；（）求出S2k，结合ak，a3k，S2k成等比数列列式求k值解答：解：（）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2+a4=6，a6=S3，得，解得an=1+1（n1）=n；（），由ak，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题17（13分）某中学2014-2015学年高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86（）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差S12、S22，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名求至少有1名来自甲班的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：概率与统计分析：（）由题意知求出x=5，y=6从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S12和S22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛（）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率解答：解：（）由题意知，解得x=5，y=6乙班学生的平均数=83，S12=（7483）2+（8283）2+（8483）2+（8583）2+（9083）2=35.2，S22=（7383）2+（7583）2+（8683）2+（9083）2+（9183）2=73.2，甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，应该选派甲班的学生参加决赛（）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：P=1=0.7点评：本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用18（13分）已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a0时，f（x）0，函数在定义域（0，+）上单调递增，函数无极值，当a0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1（1）当a=2时，f（x）=x2lnx，f（x）=1（x0），因而f（1）=1，f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1）处的切线方程为y1=（x1），即x+y2=0（2）由f（x）=1=，x0知：当a0时，f（x）0，函数f（x）为（0，+）上的增函数，函数f（x）无极值；当a0时，由f（x）=0，解得x=a又当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=aalna，无极大值综上，当a0时，函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）在x=a处取得极小值aalna，无极大值点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题19（12分）设函数f（x）=sin（x）cosx+cos2x（0）图象上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=（）求的值；（）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，A=，求f（a）的值域考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（）先对函数f（x）进行化简，然后研究最高点与相邻最低点的坐标关系，根据条件，得出参数的值；（）利用余弦定理，得到边a的取值范围，再结合正弦函数的图象，研究f（a）的值域解答：解：（）f（x）=sin（x）cosx+cos2x=（sinxcoscosxsin）cosx+cos2x=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）y=f（x）的周期为，|AB|=，（）由（）知：f（x）=sin（x+），f（a）=sin（x+）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=，a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=（b+c）23bcb+c=2，1a2a+1sin（a+）sin（a+）f（a）的值域为，）点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式、两点间距离公式、三角函数的图象、周期、值域，本题容量适中，运算量大，属于中档题20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（nN*）（）证明：数列an+1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）数列an满足bn=anlog2（an+1）（nN*），其前n项和为Tn，试求满足Tn+2015的最小正整数n考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知得an=2an1+1，从而an+1=2（an1+1）（n2，nN*），由此能证明数列an+1为等比数列，从而an=2n1（）因为bn=anlog2（an+1）=（2n1）n=n2nn，由此利用错位相减法能求出Tn=（n1）2n+1+2由Tn+2015，得（n1）2n+12013，由此能求出满足不等式Tn+2015的最小正整数n的值解答：（）证明：因为Sn+n=2an，所以Sn1=2an1（n1）（n2，nN*）两式相减，得an=2an1+1所以an+1=2（an1+1）（n2，nN*），所以数列an+1为等比数列因为Sn+n=2an，令n=1得a1=1a1+1=2，所以an+1=2n，所以an=2n1（）解：因为bn=anlog2（an+1）=（2n1）n=n2nn，所以Tn=12+222+323+n2n（1+2+3+n），2Tn=22+223+324+n2n+12（1+2+3+n），得Tn=2+22+24+2nn2n+1+（1+2+3+n）=n2n+1+=2n+12n2n+1+，Tn=（n1）2n+1+2Tn+2015，（n1）2n+12013，n=7时，（n1）2n+1=6256=1536，n=8时，（n1）2n+1=7512=3584，满足不等式Tn+2015的最小正整数n的值是7点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最小正整数的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用21（12分）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3（）若（a，b