特征值问题和二次型.ppt

第5章 特征值问题 二次 型 矩阵特征值理论在许多实际问 题的解决中起着重要作用.本章本章 着重介绍了矩阵的特征值和特征向 量的概念、性质，给出了矩阵与对 角矩阵相似的条件,并对实二次型的 有关内容进行了讨论. 1 第5章 特征值问题 二次 型 n特征值与特征向量 n相似矩阵 n二次型及其标准形 n正定二次型 2 第5.1节 特征值与特征向量 教学目的：掌握特征值与特征向量概念及其性质 教学重点：特征值与特征向量的求法 教学难点：特征值与特征向量性质 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下： 返回 3 1.特征值与特征向量概念 (1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 及非零向量x使 Ax = x 则称数 为A的特征值，x为A的对应于 的特征 向量. 例如 注：对应于同一特征值的特征向量不惟一 ； 一个特征向量不能对应于不同特征值. 所以1为A的一个特征值 ， 特征值1的特征向量. 4 (2)相关概念 将特征值与特征向量定义式 Ax = x 改写为 x Ax =0 即 ( E A )x = 0 称 5 (3)特征值与特征向量求 法 依据 ( E A )x = 0 知： 特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解 ； 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式EA =0,即A的特征值 为特征方程的根. 步骤如下 (i)求出特征方程EA =0的全部根 1,2, n, 即A的全部特征值； (ii)对每个i ,求方程组( iEA )x = 0 的所有非 零 解即为A的对应于特征值i 的特征向量. 分 析 6 例1 求矩阵A的特征值和特征向 量 解 (i ) (ii ) 7 例 2 解 (i ) 8 (ii) 9 例3 求矩阵A的特征值和特征向 量 解 (i) (ii ) 10 例2与例3中, 重特征值所 对应的线性 无关特征向 量的个数是 不相同的. 11 2.特征值与特征向量的性 质 (1)特征值的性质 n定理1 若1,2, n为方阵A的n个特征值，则 (i) 12n =A; (ii) 1+2+ n= a11+a22+ann=tr(A). 证 (i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有 EA = (-1)(-2)(-n) 令=0，得A = (-1)(-2)(-n)=(-1)n 12n , 即 A=12n . (ii)略. 12 n定理2 若为方阵A的特征值，则 (i) k为Ak(k为正整数 )的一个特征值; (ii) 若f(x)为x的多项式,则f()为f(A)的一个特征值 ； (iii)若A可逆,则-1为A-1的一个特征值; -1A为A*的 一个特征值; n定理3 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值. 证 由于 (EA)T= (E)TAT= EAT ,所以 EA = (EA)T = EAT 即A与AT 有相同的特征值. 13 定理2的证 明 14 例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求 (1) 2A的特征值；(2) A1的特征值; (3 tr(A),|A|; (4) A*的特征值; (5) A2的特征值; (6) B=A22A+E的特征值及|B|. 解 由特征值的性质 ，得 (1) 2A的特征值为2，4， 6； (2) A1的特征值为1，1/2， 1/3; (3) tr(A)=1+2+( 3)=0, |A|= 12 (-3)= 6; (4) A*的特征值为 6， 3，2; (5) A2的特征值为1，4，9; (6) B=A22A+E的特征值为2 2+1即0，1，16 ； |B|=0. 15 (2)特征向量的性 质 n定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线 性无关. 证 设1,2, m为方阵A的m个不同特征值, x1,x2, xm为相应的特征向量. 当m=1时,x10(单个的非零向量线性无关),定理 成立. 假设对m1不同的特征值定理成立，现证对m 个 不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+kmxm=0 (*) 用方阵A左乘上式两端,得 k1Ax1+k2Ax2+ks Axm=0 16 再利用 Axi=i xi ( i=1,2, ,m),得 k11x1+k22x2+kmmxm=0 (*) (*)- m(*),得 k1(1m)x1+k2(2m)x2+km-1(m-1m)xm-1=0 由归纳假设, x1,x2,xm-1线性无关.因而 ki (im)=0 i=1, 2, ,m-1 但(im)0(i=1, 2,m-1),于是ki=0(i=1, 2,m- 1). 此时式(*)变成 km xm=0, 而 xm0 ，所以 km=0. 这就证明了x1,x2,xm线性无关. 17 关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系， 有 n定理5 若0是方阵A的k重特征值，则对应于0 的 线性无关特征向量个数不超过k个. 当A为实对称矩阵时，有 n定理6 实对称矩阵A的k重特征值恰好有k个对 应 于此特征值的线性无关的实特征向量. 思 考 练 习 18 第5.2节 相似矩阵 教学目的：相似矩阵的定义，矩阵与对角矩阵相似的 条件，实对称矩阵的对角化定理 教学重点：相似矩阵的性质，矩阵与对角矩阵相似的 条件，实对称矩阵的对角化定理 教学难点：矩阵与对角矩阵相似的条件实对称矩阵的 对角化定理 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下： 返回 19 1.相似矩 阵 (1)相似矩阵定义: 设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使 P1AP =B 称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为AB. 例如 注: AA； 若AB，则B A ； 若 AB ,B C 则AC . AB A与B等价. 20 (2)相似矩阵的性 质 (i) 若AB,则|A|= |B|； (ii) 若AB,则E A E B,从而| E A|=| E B| , 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii) 若AB,则Am Bm, kA kB; (iv) 若AB, f(x)为多项式,则f(A)f(B); (v) 若AB,且均可逆，则A1 B1； (vi) 若AB,则r(A)=r(B). 21 证 设矩阵A与B相似,即有P1AP=B,则 (i) |B| = | P1AP |= | P1| |A| |P|= |A| ； (ii) E B= E P1AP= P1( E A )P,即 E A E B；再由(i)得 | E A |= | E B|； 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii)Bm=( P1AP ) m=(P1AP )(P1AP ) (P1AP ) =P1AmP, 即Am Bm ； P1 (kA)P =k (P1AP )=kB , 即 kA kB; (iv) 由(iii)及矩阵的运算性质即得f(A)f( B); (v) B1 =(P1AP ) 1 =P1A1(P1)1 =P1A1P ； (vi) AB时，A与B等价，从而r(A)=r(B). 22 例 1 解 因相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的 特征值 2, y, 1. 由特征值的性质，有 2+0+x=2+y +(1) 2= |A|= 2y (1) = 2y 得 y=1，x=0. 23 2.矩阵与对角矩阵相似的条件(矩阵可对角化的条 件) (1) A可对角化的定义 若A与对角矩阵相似，称A可对角化. (2) A可对角化的条件 定理 证 () 24 25 ( ) 26 推论 若A有n个互不相同的特征值, 则A可对角化. n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的代 数 重数与几何重数相等. 线性无关特征向量的个数 特征值的重数 (3)矩阵对角化的实施步 骤 (i) 求出A的全部特征值 1, 2, n ； (ii)对每个i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量; (iii) 若A有n个线性无关特征向量 p1, p2, , pn,则 A与对角矩阵相似.令 P=(p1, p2, , pn)，则 27 例1 矩阵 能否对角化？若能，求可 逆 矩阵P, 使P1 AP=为对角阵. 解 ( i ) (ii ) 28 29 例2 矩阵 能否对角化?若能, 求可 逆 矩阵P, 使P1 AP=为对角阵. 解 (i) (ii ) 30 由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩 阵不能对角化. 31 (4)可对角化矩阵的简单应 用 (i)由特征值和特征向量反求矩阵A: A=P P1 (ii) 求方阵的幂: Ak=Pk P1 例3 3阶方阵A有三个不同的特征值1=1, 2=2, 3 , 对应的特征向量分别为 32 解 (2)令 P=(p1, p2, p3) 则 P1AP= 33 34 思考练习 35 3.实对称阵的对角 化 (1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数; (ii)实对称 矩 阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;(iii) 实 对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相 等. 证 (ii)设1,2为A的两个不同特征值,1,2为对应 的 特征向量,即 Ai= i i ( i=1,2) 因 2TA1= 2T11= 12T1 2TA1= 2TAT1= (A2)T1= (22)T1 =22T1 故 12T1=22T1即 (1- 2 )2T1=(1- 2 )2,1=0 ， 但1 2，因此 2,1=0，即2与1正交. 36 (2)实对称矩阵的对角化 定理 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使 Q1AQ= QTAQ = 为对角阵, 的对角线上的元素为A的n个特征值.(证 略) 用正交矩阵化A为对角阵的步骤： (i) 由 | E A |=0求出A的全部特征值 1, 2, n; (ii)对每个i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量; (iii) 将线性无关特征向量正交化、单位化，令 Q=(q1, q2, , qn) 则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ = 为对角阵. 37 例 1 解 ( i ) (ii) 38 39 (iii) 正交化、单位 化 40 令 Q=(q1, q2, q3) 则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ = 实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组 的取法不唯一，故Q不唯一； 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量 必正交，故只须对属于同一特征值的线性无关的向 量正交化即可. 41 第5.3节 二次型及其标准 形 教学目的：掌握二次型概念，利用可逆线性变 换把一个二次型化成标准形. 教学重点：化二次型为标准形的方法，惯性定 理 教学难点：化二次型为标准形的方法，惯性定 理 教学方法：讲授 讲学步骤：如下： 返回 42 称为n元二次型，简称二次型. 称为二次型的系数. 1.基本概 念 (1)二次型定 义 43 (2)二次型的标准 形 只含有平方项的二次型，即 称为标准形. 例如 ： 一般二次型 标准型 44 (3)二次型的矩阵表 示 二次型f 与实对称矩阵是一一对应的. 称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩. 二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的. 二次型的矩阵表示 45 例1 写出二次型的矩阵表 示 解 46 问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线 性变换化为标准形？即通过怎样的线性变换将一 个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简 为只含有平方项的二次齐式 (标准形). 2.化二次型为标准形 (1)正交变换法 由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上 一节的结果知,存在正交矩阵Q ，使 Q1AQ= QT AQ = 为对角阵. 将此结论应用于二次型，有如下结论 47 定理 任意n元实二次型 f=xTAx，都可经正交变 换 xQy化为标准形 用正交变换化二次型为标准形的步骤： 写出二次型 f 的矩阵A； 求正交矩阵Q，使得QT AQ =为对角阵； 正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT y . 48 解 (i)二次型 f 的矩阵为 例2 求一个正交变换xQy把二次 型 (ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量 化为标准形. 49 得对应的一个线性无关的特征向量 当1=0,时解方程组 (0E- A)x=0. 当2 =3=2,时解方程组 (2E-A)x=0. 得对应的线性无关的特征向量为 (iii)将所求特征向量正交化、单位化 因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化. 50 正交化 单位化 51 则正交变换xQy将二次型化为标准形 (iv)写出正交变换 令 52 (2)配方 法 定理 任何实二次型，都可经过可逆线性变换化 为 标准形. 例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线 性 变换. 解 (1)由于f 中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并 起来进行配方，得 53 则可逆线性变换xCy化二次型为标准形： 54 解 (2)由于f 中不含有平方项,首先令 55 所求可逆线性变换为xCz，这里 配方法化二次型为标准形（小结） 利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）. (1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中, 再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项； (2)若在二次型中没有平方项,但aij0(i j),则首先 作可逆线性变换： 化二次型为(1)的情形，再配方. 56 (3)初等变换 法 n定理 对任何实对称矩阵A ,一定存在初等矩阵 P1,P2 Ps,使 PsTP2TP1T AP1,P2 Ps= 为对角矩阵. 证 A为实对称矩阵, 故存在可逆线性变换xPy 使 f(x1,xn)=xTAx=(Py)TA(Py)= yTPTAP y = yT y 为标准形. 由于P为可逆矩阵，因此可以写成一系 列 初等矩阵的乘积,即 P=P1,P2 Ps 从而 PTAP=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps= 定理表明：对A的行每作一次初等变换的同时，也 对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双 变换就可把A化为对角矩阵.57 n初等变换化二次型为标准形的步骤： (1)构造2n n矩阵 (2) 58 例3 用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的 可逆线性变换. 解 二次型f 的矩 阵 于是 59 则可逆线性变换x=Py化二次型为标准形 60 对实二次型 f=xTAx，用不同的可逆线性变换 均可将其化为标准形，因此其标准形不惟一.但需 要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非 零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩r， 且含正号的项的个数（称为正惯性指数）和含负 号的项的个数（称为负惯性指数）都唯一确定.这 就是实二次型的惯性定理. 3.惯性定理 设实二次型f(x1,xn)=xTAx 的秩为r,可逆线性 变换xBy和xCz分别把它化为标准形 则p=q.(证明略) 61 第5.4节 正定二次型 教学目的：掌握正定二次型定义及判定定理，负定 、半正定、半负定二次型定义及判定定理 教学重点：正定二次型定义及判定定理，负定、半 正定、半负定二次型定义及判定定理 教学难点：正定、负定、半正定、半负定二次型判 定定理 教学方法：讲授 教学步骤：如下： 返回 62 1.基本概 念 定义：设有实二次型f(x1,xn)=xTAx，如果对任意 的 x0，都有 f(x1,xn)=xTAx0 称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记 为 A0; ；若对任意x0都有f)的充分必要 条 件是标准形的n个系数均为正. 证明 若可逆线性变换x=Cy使 f =xTAx=yT(CTAC)y=yTy = 由于C可逆，所以x0与y0等价.而y0时， 即标准形的n个系数均为正. 65 推论1 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是 正 惯性指数等于n. 推论2 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是 A 的特征值都大于零. 推论3 f=xTAx正