求极限的几种方法__相关论.docx

高 数 论 文 -求极限的几种方法 教师：张忠诚 班级：土木15-04班 学号：1501160412 姓名：林一军总结本学期高等数学中学习的极限，下面总结几点求极限的方法(1) 数列的极限：数列极限的定义1：对数列an，若存在常数a，对任意0，若存在NN+，对任意自然数nN,都有an-aNo时，其中NoN*，有YnXnZn，（2）当n+，limYn =a；当n+ ，limZn =a，那么，数列Xn的极限存在，且当 n+，limXn =a。证明 因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数N1，N2，当nN1时 ，有Yn-a，当nN2时，有Zn-a，现在取N=maxNo，N1，N2，则当nN时，Yn-a，Zn-a同时成立，且YnXnZn，即a-Yna+，a-Zna+，有 a-YnXnZna+，即Xn-aB,函数BC，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。夹逼定理的应用：1.设Xn，Zn为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列Xn，Zn的极限均为：a.若存在N，使得当nN时，都有XnYnZn,则数列Yn收敛，且极限为a.2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限 2单调有界性原理：单调有界数列必有极限，这里说的单调有界，对于单调递增数列有界是指由上界，对单调递减数列有界是只有下界。【单调有界定理】若数列an递增（递减）有上界（下界），则数列an收敛，即单调有界数列必有极限。【运用范围】（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；（2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变数列的极限。【证明】证: 不妨设为有上界的递增数列。由确界原理，数列有上确界，记为a=an.下面证明a就是的极限。事实上，任给0,按上确界的定义，存在数列中的某一项，使得,又由的递增性，当n=N时有.另一方面，由于a是的 一个上界，故对一切都有.所以当时有.这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限。且其极限即为它的下界。3.柯西收敛准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列Xn收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样正整数N，使得当mN,nN时就有|Xn-Xm|0，X0（a0）xX，有fx-A0，X0（-Xa），x-X 有fx-Aa（0）时有定义，A为常数。若0，X0（x0）xX，则有fx-A则称常数A为f（x）当x时的极限。记为：limnfx=A或f（x）A（x）. 洛必达法则：0/0型不定式极限 若函数和满足下列条件：； 在点的某去心领域内两者都可导，且；（可为实数，也可为 或），则/型不定式极限 若函数和满足下列条件：； 在点a的某去心领域内两者都可导，且；（可为实数，也可为或），则其他类型不定式极限 不定式极限还有，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。(1)型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。 例：求解：原式=(2)型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。例：求解：原式=(3)型可利用对数性质，将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。针对不同的问题，还可以利用等价无穷作替换，化简算式。例：求解：原式=上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成。(4)型同上面的化简方法例：求解：原式=(5)型同上面的化简方法例：求解：原式=利用函数的连续性求极限： 首先介绍连续的概念。定义（1）设函数y=f(X)在点X0的某领域内有定义，自变量改变量x=x-x0，函数的改变量y=fx0+x-fx0=fx0+x-x0，若limx0y=0，则（x）点x0处连续定义定义(2) 设函数f（x）在点x0的某领域内有定义，若limx0f（x）=f（x0）含具体点时运用该公式十.连续性求极限定理：一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有例1：求极限解：因为是函数的一个连续点，所以原式=.极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即例2：已知，求解：易证：数列单调递增，且有界（00时,0;当x0时,0;从而:f(x0)= f+(x0)=0;f(x0)= f-(x0)=0;于是f(x0)= 02. 罗尔定理:如果函数y=f(x)满足：f(x)Ca，b1) f(x)在闭区间a，b上连续2) f(x)在开区间a,b内可导3) f(x)在区间端点处的函数值相等即：fa=fb那么在（a，b）内至少存在一点 (am.由于f(a)=f(b),所以M和m中至少有一个不等于f(x)在a,b上的函数值.不妨设:Mf(a).则在a,b内必有使得f()=M.即x,a，b有f(x)f().有费马定理得:f()=0.二、 拉格朗日中值定理拉格朗日定理: 如果函数y=f(x)1） f(x)在闭区间a，b上连续2） f(x)在开区间a,b内可导那么在a,b内至少存在一点 (ab也成立.拉格朗日公式的其它形式:当x,x+xa,b时,则在区间x,x+x(x0)或区间x+x,x(x0)上有:f(x+x)-f(x)=f(x+x)x(01).或y= f(x+x)x(01).此公式表明当x有限时，y有精确值，定理也称为有限增量定理三、 柯西中值定理：柯西中值定理:如果函数f(x)和F(x)满足1） 在闭区间a,b上连续2） 在开区间a,b内可导3） 对于a,b内任一点x,F(x)0则在a,b内至少存在一点,成立等式:=.分析:在参数方程: (axb)表示的曲线上,弦AB的斜率为: .曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为: =.当x=时,则点C处的切线平行于弦AB.证明:因为F(b)-F(a)=F()(b-a)(ab),由假设:F()0,所以F(b)-F(a)0.所以AB的方程为:Y-f(a)= F(x)-F(a).于是:N点的纵坐标为:Y=f(a)+F(x)-F(a),M的纵坐标为f(x).于是:NM的方程为:(x)=f(x)-f(a)-F(x)-F(a)此函数满足罗尔定理的条件,即:存在(a,b),使得:f()-F()=0.即:=.当F(x)=x时,即为拉格朗日中值定理.例4. 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f(0)=