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1 第三节 2 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义义，可得以下结论结论 ： 充分性是显显然的；下面用反证证法证证必要性： 代入二次型，得 3 由上述两个结论结论 可知，研究二次型的正定性，只要 通过过非退化线线性变换变换 ，将其化为标为标 准形，就容易由以 下定理判别别其正定性。 4 定理 推论 实对实对 称矩阵阵A正定的充分必要条件是A的特征值 值 全为为正。 正定矩阵。 这是因为： 5 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 ,)14)(2( 2 +-=lll 6 全为为正， 因此二次型正定。 7 定理设矩阵A正定，则则 （1）A的主对对角元全为为正； 证明 8 上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。 定理 9 解 例2 判别二次型 是否正定。 二次型对应对应 的矩阵为阵为 它的顺顺序主子式为为： 因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。 10 解 例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式为为： 解得 11 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在 可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为 即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵C ，使 12 证因为 于是 13 2、其它有定二次型 定义 如果二次型不是有定的，就称为为不定二次型。 14 显显然，A是负负定（半负负定 ）的当且仅仅当-A是正 定（半正定）的。由此，容易得出以下结论结论 ： （2）A负负定的充分必要条件是A的特征值值全负负； （3）A半负负定的充分必要条件是A的特征值值非正； （4）A负负定的充分必要条件是A的奇数阶顺阶顺 序主子 式全为负为负 而偶数阶顺阶顺 序主子式全为为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值值非负负； （5）若A负负定，则则A的对对角元全为负为负 。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺顺序主子式全非负负， A也未必是半正定的。 15 例如，设矩阵 显然A的顺序主子式 但对角元有正有负，显然A是不定的。 16 例5判定下列二次型是否是有定二次型。 解（1）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是负负定的。 17 例5判定下列二次型是否是有定二次型。 解（2）f 的矩阵为阵为 顺顺序主子式 所以 f 是不定的。 18 练习： P222 习题五 19 END 20 选用例题 1、
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