浙江2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第4讲利用导数研究函数的极值最值学案.docx

第4讲利用导数研究函数的极值、最值高考定位考查函数极值、最值的求法，综合考查与范围有关问题真 题 感 悟1(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a3 Ba Da0在R上恒成立，f(x)无极值点；当a0得a3，故选B.答案(1)(2)B热点二用导数解决函数的最值问题【例2】 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)(1)若函数f(x)在(0，2)上存在两个极值点，求3ab的取值范围；(2)当a0，b1时，求证：对任意的实数x0，2，|f(x)|2b恒成立(1)解法一f(x)x2axb.由已知可得f(x)0在(0，2)上存在两个不同的零点，故有即令z3ab，由图可知当目标函数经过点(4，4)时，zmin8，当目标函数经过点(0，0)时，zmax0，所以8z0，故3ab的取值范围是(8，0)法二f(x)x2axb，由已知可得f(x)0在(0，2)上存在两个不同的零点，设f(x)x2axb(xx1)(xx2)，其中x1，x2(0，2)且x1x2，3abf(3)9(3x1)(3x2)9(8，0)，即3ab的取值范围是(8，0)(2)证明f(x)x3bx(b1，x0，2)，所以f(x)x2b，当b0时，f(x)0在0，2上恒成立，则f(x)在0，2上单调递增，故0f(0)f(x)f(2)2b，所以|f(x)|2b恒成立；当1b0，f()b0，要证|f(x)|2b，只需证b2b，即证b(3)4.因为1b0，所以0b1，30得x1，令f(x)0得x1.所以函数f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增当m1时，f(x)在m，m1上递增，f(x)minf(m)(m2)em.当0m1时，f(x)在m，1上递减，在(1，m1上递增，f(x)minf(1)e.当m0时，m11，f(x)在m，m1上单调递减，f(x)minf(m1)(m1)em1.综上，f(x)在m，m1上的最小值为f(x)min1对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件2求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、选择题1已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2解析f(x)3x212，x0，2x2时，f(x)2时，f(x)0，x2是f(x)的极小值点答案D2(2018宁波联考)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1，2) B(，3)(6，)C(3，6) D(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180，a6或a0，故f(x)ex2x在1，2上是增函数，故f(x)ex2xe20，故f(x)exx2在1，2上是增函数，故e1exx2e24，故mf(x)m24恒成立可化为me1e24m24，故me.答案D4.(2018绍兴调研)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A.B.C.D.解析由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0，84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.答案C5(2018全国卷)函数yx4x22的图象大致为()解析当x0时，y2，排除A，B.由y4x32x0，得x0或x，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.答案D二、填空题6已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则a_，b_解析由题意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意答案697函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得f(x)x33x4，所以f(x)的单调递减区间是(1，1)答案(1，1)8已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为_解析当x0时，f(x)1，f(x)，当x(0，1)时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增x1时，f(x)取到极小值e1，即f(x)的最小值e1.又f(x)为奇函数，且x0在(0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，所以此时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)单调递增，当x(0，1)时，f(x)0得x1；由f(x)3x22x0得0x0，x(，2)时，f(x)0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以实数a的取值范围为a|0，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.15(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0