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管 理 运 筹 学 层次分析法（AHP） 1 管 理 运 筹 学 层次分析法（AHP） 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)是由 美国运筹学家T.L.沙旦于20世纪70年代提出的，是一种解决 多目标复杂问题的定性与定量相结合的、系统化的、层次 化的决策分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析 法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系， 后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规 律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系 统分析的数学工具之一。 2 管 理 运 筹 学 层次分析法（AHP） 一、问题的提出 例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候 选的房子A、B、C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢 ？ 为简化问题，我们将评判房子满意程度的10个标准归纳为4个： 1、住房的地理位置 2、住房的交通情况 3、住房的附近的商业、卫生、教育情况 4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境 5、建筑结构 6、建筑材料 7、房子布局 8、房子设备 9、房子面积 10、房子每平方米建筑面积的价格 1、房子的地理位置与交通 2、房子的居住环境 3、房子的布局、结构与设施 4、房子的每平方米建筑面积的单价 3 管 理 运 筹 学 层次分析法（AHP） 选房的思维归纳过程： （1）将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P； （2）通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权 重。 （3）将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上 步骤，给出决策问题的定量结果。 4 管 理 运 筹 学 层次分析法（AHP） 二、层次结构图 该问题的层次结构图如下图所示： 满意的房子 每 平 方 米 单 价 结 构 、 布 局 、 设 施 居 住 环 境 地 理 位 置 及 交 通 购买房子A购买房子B购买房子C 目 标 层 标 准 层 决策方案层 5 管 理 运 筹 学 层次分析法 三、标度及两两比较矩阵 相对重要性标度 ：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求 得的相对权重。 设某层有 个因素 ，要比较它们对上一层某一准则 （或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。 上述比较是两两因素之间进行的比较，用 表示第 个因素相对于 第 个因素的比较结果，则 称为两两比较矩阵。 6 管 理 运 筹 学 层次分析法 标标度aij定义义 1i因素与j因素相同重要 3i因素比j因素略重要 5i因素比j因素较较重要 7i因素比j因素非常重要 9i因素比j因素绝对绝对 重要 2，4， 6，8 为为以上两判断之间间中间间状态态 对应对应 的标标度值值 倒数若j因素与i因素比较较，得到的 判断值为值为 aji=1/aij 三、标度及两两比较矩阵 Saaty等人提出19尺度 取值1，2， ，9及其互反数1，1/2 ， ，1/9。 表16-11 7 管 理 运 筹 学 层次分析法 由上述定义知，两两比较矩阵 满足以下性质： （1） （2） （3） 则称为正互反阵。 8 管 理 运 筹 学 层次分析法 四、两两比较矩阵一致性检验 为什么要进行一致性检验？因为两两比较矩阵的元素是通过两个 因素两两比较主观得到的，当因素较多时，很有可能得到不一致的结 论。 两两比较不一致的情况： 不一致 一致比较 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 9 管 理 运 筹 学 层次分析法 考察完全一致的情况： 满足 的正互反阵A称一致阵，如 一致性的性质： A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 由矩阵理论知： 为特征 向量， 为特征值。 10 管 理 运 筹 学 层次分析法 检验判断矩阵的一致性指标： 当，为完全一致情况；CI 值越大，判断矩阵的完全 一致性越差。一般只要 ，认为判断矩阵的一致性可以接受 否则重新进行两两比较判断。 当判断矩阵的维数越大，判断的一致性将越差，故修正值RI 见下表。 修正后的一致性指标为： 维数123456789 RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.45 11 管 理 运 筹 学 层次分析法 如我们用单一标准“房子的地理位置及交通状况”来评估三个方案， 从两两比较的方法得出两两比较矩阵，如下表所示。 房子的地理位置及交通 房子A房子B房子C 房子A 房子B 房子C 1 1/2 1/8 2 1 1/6 8 6 1 五、求各因素权重的过程 求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选 择房子的决策为例介绍规范列平均法。 第一步,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表16-13所 示。 正互反阵 12 管 理 运 筹 学 层次分析法 第二步,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商 称为标准两两比较矩阵，如表16-14所示。 第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是 各方案在地理位置及交通方面的权重，如表16-15所示。 地理位置及交通状况 房子A房子B房子C 房子A 房子B 房子C 1 1/2 1/8 2 1 1/6 8 6 1 列总总和13/819/615 地理位置及交通状况 房子A房子B房子C 房子A 房子B 房子C 8/13 4/13 1/13 12/19 6/19 1/19 8/15 6/15 1/15 地理位置及交通状况 房子A房子B房子C行平均 值值 房子A 房子B 房子C 0.615 0.308 0.077 0.631 0.316 0.053 0.533 0.400 0.067 0.593 0.341 0.066 表16-15 表16-13 表16-14 我们称0.593，0.341，0.066 为房子选择问题中地理位置及交 通方面的特征向量。 13 管 理 运 筹 学 层次分析法 同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方 米单价方面的两两比较矩阵如表16-16所示。 居住环环境结结构布局设设施每平方米单单价 房子A房子B房子C房子A房子B房子C房子A房子B房子C 房子A 房子B 房子C 1 3 4 1/3 1 2 1/4 1/2 1 1 4 6 1/4 1 3 1/6 1/3 1 1 3 1/4 1/3 1 1/7 4 7 1 表16-16 同样，我们可以从表16-16的两两比较矩阵求得房子A、B、C三个方案 在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这 三个方面的特征向量，如表16-17所示。 居住环环境结结构布局设设施每平方米单单价 房子A 房子B 房子C 0.123 0.320 0.557 0.087 0.274 0.639 0.265 0.655 0.080 表16-17 14 管 理 运 筹 学 层次分析法 另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程 度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的特征向量。四个标准的两两 比较矩阵如表16-18所示。 标标 准 地理位置及交通居住环环境结结构布局设设 施 每平米单单价 地理位置及交通 居住环环境 结结构布局设设施 每平米单单价 1 1/2 1/3 1/2 2 1 1/2 2 3 4 1 4 2 1/2 1/4 1 表16-18 通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示： 0.398，0.218，0.085，0.299。即地理位置及交通相对权重为0.398， 居住环境相对权重为0.218，结构布局设施相对权重为0.085，每平米单价 相对权重为0.299。 15 管 理 运 筹 学 层次分析法 五、两两比较矩阵一致性检验 我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表16-12 中由“地理位置及交通”这一标准来评估房子A、B、C三个方案所得的两 两比较矩阵。 检验一致性由五个步骤组成： 第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量称之 为赋权和向量，在此例中即： 16 管 理 运 筹 学 层次分析法 第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，即 第i个赋权和向量的分量除以第i个特征向量的分量，在本例中有： 第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为 在本例中有： 第四步：计算一致性指标CI: n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为3.在本例 中，我们得到： 第五步：计算一致性率CR: 17 管 理 运 筹 学 层次分析法 在上式中，RI是自由度指标，作为修正值，见表16-19。 维维数 (n) 123456789 RI0.000.000.580.961.121.241.321.411.45 表16-19 在本例中可算得：CR=0.01/0.58=0.017。 一般规定当CR0.1时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就 认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断。在本例中， CR=0.0170.1，所以“地理位置及交通”两两比较矩阵满足一致性要求， 其相应求得的特征向量为有效。 同样，我们可以通过计算“居住环境”、“结构布局和设施”、“每 平米单价”以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率CI值，可知他们 都小于等于0.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有 效。 18 管 理 运 筹 学 层次分析法 六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序 在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下 的三个购房方案的特征向量，如表16-20所示。 四个标标准的特征向量单单一标标准下的三个购购房方案的特征向量 地理位置及交通0.398 居住环环境0.218 结结构布局设设施0.085 每平米单单价0.299 地理位置及交 通 居住 环环境 结结构布 局设设施 每平米 单单价 房子A0.5930.1230.0870.265 房子B0.3410.3200.2740.655 房子C0.0660.5570.6390.080 表16-20 各方案的总得分为： 房子A方案：0.398*0.593+0.218*0.123+0.085*0.087+0.299*0.265=0.349 房子B方案：0.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.425 房子C方案：0.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.226 19 管 理 运 筹 学 层次分析法 通过比较可知房子B的得分（权重）最高，房子A的得分 次之，而房子C的得分最少，故应该购买房子B，通过权衡知道 这是最优方案。 20 管 理 运 筹 学 七、层次分析法的基本步骤: 1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标 方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立 。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵 。 3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通 过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。 层次分析法 21 管 理 运 筹 学 八、层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题 ，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。 层次分析法 22 管 理 运 筹 学 国家综合实力 国民 收入 军事 力量 科技 水平 社会 稳定 对外 贸易 美、俄、中、日、德等大国 工作选择 贡 献 收 入 发 展 声 誉 关 系 位 置 供选择的岗位 例1 国家 实力分析 例2 工作选择 23 管 理 运 筹 学 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节 省 时 间 C1 收 入 C2 岸 间 商 业 C3 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 自 豪 感 C8 舒 适 C9 进 出 方 便 C1 0 美 化 C1 1 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （1）过河效益层次结构 例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择 24 管 理 运 筹 学 过河的代价 A 经济代价 B1 环境代价 B3 社会代价 B2 投 入 资 金 C1 操 作 维 护 C2 冲 击 渡 船 业 C3 冲 击 生 活 方 式 C4 交 通 拥 挤 C5 居 民 搬 迁 C6 汽 车 排 放 物 C7 对 水 的 污 染 C8 对 生 态 的 破 坏 C9 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D2 （2）过河代价层次结构 例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择 25 管 理 运 筹 学 待评价的科技成果 直接 经济 效益 C11 间接 经济 效益 C12 社会 效益 C13 学识 水平 C21 学术 创新 C22 技术 水平 C23 技术 创新 C24 效益C1水平C2 规模C3 科技成果评价 例4 科技成果 的综合评价 26 管 理 运 筹 学 九、层次分析法的优缺点 系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、 综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、 测试分析并列）； 实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题； 简洁性计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握。 层次分析法 （1）层次分析法的优点： 27 管 理 运 筹 学 层次分析法 （2）层次分析法的局限： 囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案； 粗略该法中的比较、判断以及结果的计算过程 都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。 主观建立层次结构模型到给出成对比较矩阵， 人主观因素对整个过程的影响很大，这就 使得结果难以让所有的