2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺巧用12个解题技法文.docx

巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.例1(1)数列an中,a1=2,an+1=an+ln,则an=() A.2+ln nB.2+(n-1)ln nC.2+nln nD.1+n+ln n(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)g(x),那么下列情形不可能出现的是()A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值C.0是f(x)的极大值,不是g(x)的极值D.0是f(x)的极小值,不是g(x)的极值(3)在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a、b、c成等差数列,则=.答案(1)A(2)C(3)解析(1)不妨取n=1,则有a2=a1+ln 2=2+ln 2.选项A,a2=2+ln 2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln 2,也合题意;选项C,a2=2+2ln 2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln 2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln 3,选项B,a3=2+2ln 3,不合题意,排除B,故选A.(2)取f(x)=-x2与g(x)=-2x2,适合条件,且0是f(x)与g(x)的极大值,故A可能出现,排除A;取f(x)=2x2与g(x)=x2,适合条件,则0是f(x)与g(x)的极小值,故B可能出现,排除B;取f(x)=2|x|与g(x)=x满足题意,且0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值,故D可以出现,排除D,所以选C.(3)令a=3,b=4,c=5,则ABC为直角三角形,cos A=,cos C=0,从而所求值为.方法点睛(1)应用特例法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.跟踪集训1.(1)函数f(x)=cos xlog2|x|的图象大致为()(2)设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()A.-x=-xB.=xC.2x=2xD.x+=2x(3)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1S2=()A.1 B.2C. D.(4)AD,BE分别是ABC的中线,若|=|=1,且与的夹角为120,则=. 技法二估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例2(1)若a=20.5,b=log3,c=log2sin,则()A.abcB.bacC.cabD.bca(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角都是60,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面积为()A.12B.24C.6D.18(3)若M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为()A.B.1C.D.2答案(1)A(2)B(3)C解析(1)由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而00.51,所以a=20.5(1,2).由对数函数的性质可知y=logx,y=log2x均在(0,+)上单调递增,而13,所以b=log3(0,1);因为sin(0,1),所以c=log2sinbc.(2)若底面三角形的边长都是8,则底面积为82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面积为32,四个选项只有B选项的24与之最接近,选B.(3)动直线x+y=a扫过M中的那部分区域如图中阴影部分所示.阴影部分的面积比1大,比SOAB=22=2小,故选C.方法点睛估算法可以省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例(1)是根据指数函数与对数函数的单调性估计,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.本例(2)可以先求三角形ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;你也可以先求出三角形的面积为12,之后求出P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再利用等体积法求得结果.跟踪集训2.(1)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是()A.B.C.4D.(2)已知函数f(x)=2sin(x+)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为.若f(x)1对于任意的x恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.技法三图解法(数形结合法)数形结合法是一个将数学问题中数与形两个方面相互联系的一种思想方法.在解答选择题的过程中,可以先根据题意作出草图,然后参照图形的形状、位置、性质,综合所有的特征得出结论.例3(1)已知定义在R上的函数f(x),当x0,2时, f(x)=8(1-|x-1|),且对于任意的实数x2n-2,2n+1-2(nN*,且n2),都有f(x)=f,若函数g(x)=f(x)-logax有且只有三个零点,则a的取值范围为()A.2,10B.,C.(2,10)D.(,)(2)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=,(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值等于()A.B.C.D.1(3)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案(1)D(2)A(3)解析(1)f(x)的图象如图所示,易得a1,依题意得a(a-1)x的解集为A,且Ax|0xf(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在x0时, f(x)=|x-a|-2a,若f(x)为R上的“2 015型增函数”,则实数a的取值范围是.技法四换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.例4(1)函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调递增区间是() A.B.C.D.(2)已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+的值为.答案(1)A(2)解析(1)采用换元法.f(x)=cos2x-2cos2=cos2x-cos x-1,令t=cos x,t-1,1,原函数可以看作g(t)=t2-t-1,t-1,1.其图象的对称轴为t=,对于g(t)=t2-t-1,当t时,g(t)为减函数,当t时,g(t)为增函数,当x时,t=cos x为减函数,且t,原函数在上单调递增,故选A.(2)由S=x2+y2联想到cos2+sin2=1,于是进行三角换元,设将其代入4x2-5xy+4y2=5中得4S-5Ssin cos =5,解得S=.-1sin 21,38-5sin 213,+=+=.方法点睛换元法的实质就是利用变量的替换将其转化为基本初等函数在给定区间上的最值、范围等问题.换元要注意“元”取值范围的限制,保持换元之后函数取值的等价性;若已知条件中有定义域的限制,要利用三角函数的性质确定“元”的取值范围,不要一见sin x就有-1sin x1,要根据x的范围确定.跟踪集训4.(1)函数f(x)=(0x2)的值域是()A.B.C.D.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中ba,且对任意xR都有f(x)0,则M=的最小值为()A.B.C.D.(3)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆+y2=1上的一个动点,则S=x+y的最大值为.技法五构造法构造法是指利用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来研究另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等.例5(1)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f (x),满足f (x)f(x),且f(x+2)为偶函数, f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为()A.(-2,+)B.(0,+)C.(1,+)D.(4,+)(2)已知m,n(2,e),且-nB.m2+D.m,n的大小关系不确定答案(1)B(2)A解析(1)因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.所以f(0)=f(4)=1.设g(x)=(xR),则g(x)=.又f (x)f(x),所以g(x)0(xR),所以函数g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)ex1,而g(0)=1,所以f(x)exg(x)0.故选B.(2)由不等式可得-ln m-ln n,即+ln n0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)f(m),所以nb0).由于e=,所以=,即a=2b.故椭圆的方程为+=1.又A在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|=2.整理得|x1-x2|=2,所以其最小正周期T=2|x1-x2|=4,即=4,解得=.又函数图象过点(0,-),所以2sin =-,即sin =-.又|-1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由已知,得f (x)=,当a-时,x2-2x-2a0,故f (x)0,函数f(x)在(-,+)上单调递增,当a-时,函数f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.当a-时,令x2-2x-2a=0x1=1-,x2=1+,列表:x(-,1-)(1-,1+)(1+,+)f (x)+-+f(x)由表可知,当a-时,函数f(x)的单调递增区间为(-,1-)和(1+,+),单调递减区间为(1-,1+).(2)f(x)-1-12ax2-ex,由条件知,2ax2-exx1恒成立.令g(x)=x2-ex,h(x)=g(x)=2x-ex,则h(x)=2-ex,当x1,+)时,h(x)=2-ex2-e0,h(x)=g(x)=2x-ex在1,+)上单调递减,h(x)=2x-ex2-e0,即g(x)-1在1,+)上恒成立,只需2ag(x)max=1-e,a,即实数a的取值范围是.方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.跟踪集训7.已知函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间;(2)当x0时,恒成立,求实数a的取值范围.技法八整体代入法整体代入法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值时,可以避免烦琐的求解过程,减少计算量.该种方法适用于等差、等比数列中求连续几项和的有关计算.例8等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为()A.1B.2C.3D.5答案C解析解法一:设等比数列an的公比为q,则a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4=.又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8=2,a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8=1,所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11=2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.方法点睛整体代入法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.跟踪集训8.(1)若等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=30,则a5=()A.54B.27C.81D.48(2)已知各项均为正数的等比数列an中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4技法九割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形(几何体)转化为规则图形(几何体),这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.例9(1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.6B.8C.10D.12(2)已知0k4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为.答案(1)D(2)解析(1)根据题中所给的三视图,可以还原几何体,如图,该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长方体,其中长方体的长、宽、高分别是3、2、2,所以该几何体的体积为322=12,故选D.(2)直线l1的方程可以化为k(x-2)-2y+8=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是A,B(0,4-k);直线l2的方程可以化为(2x-4)+k2(y-4)=0,该直线过定点M(2,4),与两坐标轴的交点坐标分别是C(2k2+2,0),D.结合0kx2的区域内,则-,整理得(2k+1)(6k2-2k+1)0,解得k-.因此当k-时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k-时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.所以实数k的取值范围为.故选D.(2)f (x)=2ax-1+.若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f (x)0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+0,得a.(*)令t=,因为x(1,2),所以t=.设h(t)=(t-t2)=-+,t,显然函数y=h(t)在区间上单调递减,所以h(1)h(t)h,即0h(t).由(*)可知,a.若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,则f (x)0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+0,得a.结合可知,a0.综上,若函数f(x)在区间(1,2)上单调,则实数a的取值范围为(-,0.所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.方法点睛利用补集法解题时,一定要准确找出所求问题的对立事件.跟踪集训12.(1)某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况,从高一、高二、高三年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查,若再从中任意抽取两个班级进行测试,则两个班级不来自同一年级的概率为.(2)将半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为.答案全解全析技法一特例法跟踪集训1.(1)B函数的定义域为(-,0)(0,+),且f=coslog2=-cos, f=coslog2=-cos,所以f=f,排除A,D;又f=-cos4r2=.(2)A因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为可得,该函数的最小正周期为T=,所以=,解得=2.故f(x)=2sin(2x+)+1.由f(x)1,可得sin(2x+)0.又x,所以2x.对于选项B,D,若取=,则2x+,在上,sin(2x+)0,不合题意;对于选项C,若取=,则2x+,在上,sin(2x+)0时, f(x)=当a0时,函数f(x)的图象如图(1)所示,考虑极大值f(-a)=2a,令x-3a=2a,得x=5a.所以只需满足5a-(-a)=6a2 015,即0a.当ax,所以满足f(x+2 015)f(x).综上可知,实数a的取值范围是.技法四换元法跟踪集训4.(1)C令=t(1t3),则sin2x=.当0x时,sin x=,=,当且仅当t=时取等号,即当0x时, f(x);同理可得当0,b2-4ac0,即c,因为ba,所以M=.令=t,则t1,于是M=(t-1)+,当且仅当t-1=,即b=(1+)a,c=a时等号成立.所以M=的最小值为.故选D.(3)答案2解析+y2=1+y2=1,利用三角换元解决.令=cos ,y=sin ,则x=cos ,故可设动点P的坐标为(cos ,sin ),其中02.因此S=x+y=cos +sin =2=2sin,所以当=时,S取得最大值,为2.技法五构造法跟踪集训5.(1)答案abc解析令f(x)=ln x-x,则f (x)=-1=.当0x0,即函数f(x)在(0,1)上是增函数.10,abc.(2)答案160解析如图所示,把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各棱分别是长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,由已知可得解得x=6,y=8,z=10.从而V三棱锥P-ABC=V长方体AEBG-FPDC-V三棱锥P-AEB-V三棱锥C-ABG-V三棱锥B-PDC-V三棱锥A-FPC=V长方体AEBG-FPDC-4V三棱锥P-AEB=6810-46810=160.故所求三棱锥P-ABC的体积为160.(3)答案解析将函数变形为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.设点A(1,1)关于x轴的对称点为A,则A(1,-1),连接AB交x轴于点P,则线段AB的长就是所求的最小值,即为|AB|=.技法六待定系数法跟踪集训6.(1)答案3n2-2n解析设等差数列an的前n项和为Sn=An2+Bn.由已知可得化简得解得故Sn=3n2-2n.(2)答案y=或y=解析将函数y=变形为(y-m)x2-4x+y-n=0.因为xR,则y-m0,=(-4)2-4(y-m)(y-n)0,即y2-(m+n)y+mn-120.(*)又由函数y=的最大值为7,最小值为-1,可设(y+1)(y-7)0,即y2-6y-70.(*)比较两个一元二次不等式(*)(*)的系数,可得解得或于是所求函数的解析式为y=或y=.技法七分离参数法跟踪集训7.解析(1)由已知得f (x)=+ax-(a+1),则f (1)=0.而f(1)=ln 1+-(a+1)=-1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-1.- -1=-2,解得a=2.f(x)=ln x+x2-3x, f (x)=+2x-3.由f (x)=+2x-3=0,得0x1,由f (x)=+2x-30,得x1,f(x)的单调递增区间为和(1,+), f(x)的单调递减区间为.(2)因为,所以+x-(a+1)+-,即-0,得0x,因而h(x)在(0,)上单调递增,由h(x),因而h(x)在(,+)上单调递减,h(x)的最大值为h()=,故a2-1.从而实数a的取值范围为a|a2-1.技法八整体代入法跟踪集训8.(1)C设等比数列的公比为q,则q=3,故a1+a3=a1(1+q2)=10a1=10,解得a1=1.所以a5=a1q4=134=81.故选C.(2)Aa1a2a3=5=5,a7a8a9=10=10,又=a2a8,所以=50,因为数列an的各项均为正数,所以a4a5a6=5.故选A.技法九割补法跟踪集训9.(1)D由三视图可知,该几何体如图所示,它是一个长方体被切割后的几何体,其中长方体的底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,AE=2,BF=1.将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,于是该几何体的体积V=224=8.故选D.(2) 答案解析如图所示,连接DG,BD.由平面ABCD平面BCEG,平面ABCD平面BCEG=BC,BCD=BCE=,可知CD平面BCEG,EC平面ABCD,又CEGB,所以GB平面ABCD.又BC=CD=CE=2,AD=BG=1,所以V五面体EGBADC=VD-BCEG+VG-ABD=S梯形BCEGDC