全国通用2018届高考数学二轮复习第26练概率与统计练习文.docx

第26练概率与统计明考情概率与统计是高考的必考题，古典概型与统计的结合是命题的热点，难度中档，一般在18题或19题的位置.知考向1.随机事件的概率.2.古典概型与几何概型.3.概率与统计的综合问题.考点一随机事件的概率要点重组(1)“互斥事件”与“对立事件”：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.(2)若事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)；,若事件A，B对立，则P(A)P(B)1.1.某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解(1)设中靶为事件A，则不中靶为，则由对立事件的概率公式，可得P()1P(A)10.950.05.(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少命中8环为事件E，由题意知，P(B)0.27，P(C)0.21，P(D)0.24，则P(E)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.270.210.240.72.记至少命中9环为事件F，则P(F)P(BC)P(B)P(C)0.270.210.48.故不够9环为，则P()1P(F)10.480.52.2.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买.(1)由题意得P(A)0.5，P(B)0.3，又CAB，所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)1P(C)10.80.2.考点二古典概型与几何概型要点重组(1)古典概型的两个特征：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.3.一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；(2)若第一次抽取一张卡片，放回搅匀后再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.解(1)设A表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于7”，抽取三张卡片，三张卡片上的数字的所有可能的结果是1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，其中数字之和大于7的是1，3，4，2，3，4，所以事件A的概率P(A).(2)设B表示事件“两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片”，第一次抽一张，放回后再抽取一张卡片的所有可能的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个.事件B包含的基本事件有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，共7个.所以事件B的概率P(B).4.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球.(1)用有序数对(i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；(2)甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.你认为此规则是否公平？请说明理由.解(1)甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种不同的情况.(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共6种情况，故甲胜的概率P1，乙获胜的概率为P21.因为，所以此游戏不公平.5.(2017山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.6.已知集合A2，2，B1，1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y).(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线xy0的距离不大于的概率.解(1)集合M内的点形成的区域面积S8.因为圆x2y21的面积S1，故所求概率为P1.(2)由题意得，即1xy1，形成的区域如图中阴影部分所示，阴影部分面积S24，所以所求概率为P.7.花园小区内有一块三边长分别是5 m，5 m，6 m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑小花猫的大小，求在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m的概率.解如图所示，分别以三角形ABC的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC的三边分别交于点D，E，M，N，Q，P.由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5 m，底边长为6 m的等腰三角形.底边AB上的高为h4(m)，故ABC的面积S6412(m2).而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC除去三个以顶点为圆心，2为半径的扇形部分.因为ABC，所以三个扇形的面积之和为222.故阴影部分的面积SS2(122)(m2).所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m”的概率为P11.8.已知关于x的一元二次方程9x26axb240，a，bR.(1)若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从区间0，3内任取的一个数，b是从区间0，2内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.解设事件A为“方程9x26axb240有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x26axb240有实数根”.(1)由题意知，基本事件共9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.由36a236(b24)36a236b23640，得a2b24.事件A要求a，b满足条件a2b24，包含6个基本事件，即(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，则事件A发生的概率为P(A).(2)a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0a3，0b2.构成事件B的区域为(a，b)|0a3，0b2，a2b24(如图中阴影部分)，则所求的概率为P(B)1.考点三统计与概率的综合问题方法技巧对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.9.(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100，所以Y的所有可能值为900，300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.10.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民.现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查，则前两位均为B类市民的概率是多少？解(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，则P(A).所以当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低.(2)由题可知，A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2，设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种.同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4624(种).设“抽取的4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种，所以P(N).所以抽取的4人中前两位均为B类市民的概率是.11.(2017北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下频率分布直方图.(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40，50)内的人数为1001000.955，所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为40020.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为6030，所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，所以样本中男生和女生人数的比例为604032，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为32.12.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n名学生的成绩(满分100分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中a，b的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；(2)规定大赛成绩在80，90)的学生为厨霸，在90，100的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.解(1)由题意可知，样本容量n40，所以a0.007 5.所以10b1(0.1250.1500.4500.075)0.200，所以b0.020 0，平均成绩为0.125550.2650.45750.15850.0759573.5.(2)由题意可知，厨霸有0.015 010406(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有0.007 510403(人)，分别记为b1，b2，b3，共9人，从中任意抽取2人共有36种情况：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)，(a6，b1)，(a6，b2)，(a6，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，其中至少有1人是厨神的情况有21种，所以至少有1人是厨神的概率为.例(12分)广场舞在全国各地都非常地流行，但是人们对广场舞也有不同的看法，有些人认为广场舞“很好”，能促进人们锻炼身体，有些人认为广场舞“不好”，影响其他人的休息，实践课上老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区25，55岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：组数分组频数频率“很好”占本组比例125，30)500.0530%230，35)1000.1030%335，40)1500.1540%440，45)2000.2050%545，50)ab65%650，552000.2060%(1)求a，b的值，并估计本社区25，55岁的人群中“很好”所占的比例；(2)从年龄段在35，45)的“很好”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自35，40)与40，45)两个年龄段的概率.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)n1 000.1分b1(0.200.200.150.100.05)0.30.2分所以a1 0000.30300.3分因为样本中的“很好”人数为500.301000.301500.402000.503000.652000.60520，5分所以样本中的“很好”所占的比例为52%.6分(2)年龄段在35，40)的“很好”的人数为1500.4060，年龄段在40，45)的“很好”的人数为2000.50100，采用分层抽样方法抽取8人，年龄段在35，40)的“很好”有3人，在40，45)的有5人，记35，40)中的3人为A1，A2，A3，40，45)的5人记为B1，B2，B3，B4，B5，则选取2人做领队有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)，共28种.10分其中分别来自35，40)与40，45)两个年龄段的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，共15种.11分所以分别来自35，40)与40，45)两个年龄段的概率P.12分构建答题模板第一步定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型.第二步列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图).第三步算概率：计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P(A).第四步规范答：要回到所求问题，规范作答.1.某市举行职工技能大比武活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工.(1)若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率.解记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.(1)从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，不同的结果有A1，B1，A1，B2，A1，b1，A1，b2，A2，B1，A2，B2，A2，b1，A2，b2，a，B1，a，B2，a，b1，a，b2，共12种不同的选法.其中选出的2名职工性别相同的选法有A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，a，b1，a，b2，共6种不同的选法.故选出的2名职工性别相同的概率为P1.(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有A1，A2，A1，a，A1，B1，A1，B2，A1，b1，A1，b2，A2，a，A2，B1，A2，B2，A2，b1，A2，b2，a，B1，a，B2，a，b1，a，b2，B1，B2，B1，b1，B1，b2，B2，b1，B2，b2，b1，b2，共21种不同的选法.其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有A1，A2，A1，a，A2，a，B1，B2，B1，b1，B1，b2，B2，b1，B2，b2，b1，b2，共9种不同的选法.所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P2.2.已知向量a(2，1)，b(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1，6上取值，求满足ab0的概率.解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636.由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个.故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1，6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6，1y6，满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6，1y6且2xy0.画出平面区域如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.3.某厂商调查甲、乙两种不同型号的电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；(2)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求ab的概率；(3)若a1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值.(只需写出结论)解(1)根据茎叶图，得甲组数据的平均数为24，由茎叶图知，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5.(2)记事件A为“ab”，因为乙组数据的平均数为26.7，所以26.7，解得ab8.所以a和b的取值共有9种情况，它们是(0，8)，(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)，(8，0)，其中ab有4种情况，它们是(5，3)，(6，2)，(7，1)，(8，0)，所以ab的概率P(A).(3)当b0时，s2达到最小值.4.(2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 k