矩阵的秩的若干等价刻画-学士论.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 矩阵的秩的若干等价刻画矩阵的秩的若干等价刻画 学生姓名 学 号 系 部 专 业 年 级 指导教师 完成日期 年 月 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 摘要 本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩 阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有 关的一些命题. 关键词:矩阵;秩;等价刻画 Several Equivalent Characterizations of Matrix Rank Abstract From the Determinant, Linear Space, Linear Equations, Linear Transformation, Offset Standard, Vectors, Matrices, equivalence and decomposition of various angles to characterize the Rank of Matrix, and thus to prove these propositions and Rank of the Matrix relating to a number of propositions. Key Words：Matrix; Rank; Equivalent Characterization; 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目目 录录 摘要 1 ABSTRACT 1 引言 2 1.预备知识 3 1.1 矩阵的基本概念.3 1.2 矩阵秩的求法.5 1.3 矩阵的相关定理.6 2.矩阵的秩的等价描述 7 3.关于秩的命题() .10 4.关于秩的命题() .12 5.应用 .20 参考文献 .24 致 谢 25 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 引言 矩阵的秩是线性代数的一个根本内容,它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵 的重要性质之一.在区分向量组的线性相关性,求矩阵的特征值,线性方程组有无解, 在多项式,维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗 山在论文1中写了矩阵的秩的等价描述的命题,并给出了相关的证明. 本文从行列 式、线性空间、线性方程组、线性变换、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解 等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题,并用这些命题来证实与矩阵的秩有关的一 些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解,对更好的掌握矩阵的秩的 这一层次的理解起到帮助,使之在以后的数学学习中得到启发. 1.预备知识 1.1 矩阵的基本概念 定义 1.1.12 数域中个数排列成的行列数表,记Pm n1,2,;1,2, ij aim jnm n 做 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 称为矩阵,还可以记成或等.m n ij m n a m n A 设是的一个矩阵,是一个的矩阵,将和的乘积 ij m s Aa ms ij s n Bb snAB 称为,其中 ij m n CABc 1 1222 1 s ijijijissikkj k ca ba ba ba b 1,2,;1,2,im jn 负矩阵 令,则的负矩阵为. ij m n Aa A ij m n Aa 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 矩阵减法 . ijij m n ABABab 定义 1.1.23 设,数与矩阵的乘积被记为,根据向量的数乘运 ij m n Aa AA 算,显然有 ij m n Aa = 注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算,它们与行列式的运 算定义区别很大. 矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设皆是同型矩阵,为数)., ,A B C O, (1)矩阵加法的交换律: ABBA (2)矩阵加法的结合律:ABCABC (3 右加零矩阵律: A OA (4)右加负矩阵律: AAO (5)1 乘矩阵律:1AA (6)数乘矩阵的结合律: =AA (7)矩阵对数加法的分配律:AAA (8)数对矩阵加法的分配律:ABAB 定义 1.1.34 阶子式:设在中任意取行列交错处的元素,然后k ij m n Aa Akk 按原来相应位置组成的阶行列式,被称为的一个阶子式.1min , kkm nAk 例 1.1 共有个二阶子式,并含有 4 个三阶子 123-1 4562 10-1-1 A 22 34 4 3 318 2 C C 式,矩阵的第一、三行,第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为A ,而为的一个三阶子式.因而,矩阵总共有个 2 2-1 0-1 D 3 123 456 101 D AmnA kk mn C C 阶子式. k 定义 1.1.45 令有 阶子式不为,任意阶子式(若存在的话)全 ij m n Aa r01r 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 为,则 被称为矩阵的秩,可记成或或秩.0rA R A rank A A 规定:零矩阵的秩为.0 注意:(1)例如,则中至少有一个 阶子式,全部阶子式等 R ArAr0 r D 1r 于,且更高阶子式均为,那么 是中不等于零的子式的最高阶数. 0 0rA (2). T R AR A (3). , R Aminmn (4)若且,则.反之,如,则因此,是 n n A 0A R An R Am0A R An 方阵可逆的充要条件.A (5) 矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩; 矩阵列向量的秩被称为矩阵的列秩. (6)向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩. 1.2 矩阵秩的求法 1.2.1 子式判别法(定义) 例 1.2 设阶梯形的矩阵,求. 1234 0270 0000 B R B 解 由于,存在一个二阶子式不等于,然而任何三阶子式都等于, 1 12 0 02 B 00 则. 2R B 结论:阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数. 例如, 1230 0101 0010 A 12 01 00 B 110 010 001 C 125 034 000 D . 2123 0815 0007 0000 E 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 3,2,R3,2,3R AR BCR DR E 一般地,行阶梯形矩阵的秩就是其“非零行的行数”也被称为“台阶数”. 例 1.3 设,如果,求 11 11 11 a Aa a 3R A a 解 . 3R A 2 a11 11 =210 11 Aaaa a 或.1a2a 1.2.2 用初等变换法求矩阵的秩 定理 16 矩阵初等变换不变更矩阵的秩,即则AB R AR B 注 1)只变更此行列式的符号. ij rr 2)是中对应行（或列）的倍. i krAk 3)是将行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的 ij rkrk 相对应元素上. 1.2.3 求矩阵的秩方法 A 1)矩阵可利用初等行变换化为阶梯形矩阵.AB 2)阶梯形矩阵非零行的行数被称为矩阵的秩.BA 例 1.4 求. 1024 213-6 -1-1-12 A R A 21 2 1024102-4102-4 213-601-1201-12 -1-1-120-11-20000 rr A 2R A 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 1.3 矩阵的相关定理 (1) Binet-Cauchy 定理7 设和分别为和矩阵,如果,则有ABn mm nnm , 1 12 1 12 12 | 12 n n iim n niii ABAB iiin 其中表示的第行和第列所决定的子式. 12 12 n n A iii A1,2, n 12 , , n i ii (2)Laplace 定理8 若为阶方阵,对任意选定的行,则有Ank 12 , , k i ii 11 1 1212 1 121212 12 |( 1) kk n kkiijj jjn kkn iiiiiin AAM jjjjjjiii 其中表示的余子式. 12 12 k k iii M jjj 12 12 k k iii A jjj (3)维数定理9 3121212 dimdim dimdim(d)imWWWWWWW 2.矩阵的秩的等价描述 设,那么的非零子式的最高阶数被称为矩阵的秩,用表示,以 m n AF A rA R A 下是矩阵秩的等价描写的一组命题1. 设,则, m n AF r Ar 中不为零子式的最大阶数是 ;Ar 中有一个 阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;Ar+1r 中有一个 阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;Ar+1r 等价于;A 0 00 r E 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得mPnQ 0 00 r E PAQ 的行向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;Ar 的列向量组的极大线性无关组所含的向量个数是 个;Ar 是的行空间的维数; rA 是的列空间的维数; rA 方程组含有 个独立的方程,剩下的方程是这些方程的线性组合; 0AX r 方程组的解空间的维数为; 0AX nr 设维线性空间的一个基为,维线性空间的一个基为nV 12 , n mW ,从到的线性映射的矩阵为, 12 , m VWTA 即 ,则的像空间的维数是 ; 1212 , , , nm TAT m I Tr 设有线性映射 ; A,dim nm m FFXAXI Ar， 存在型的列满秩矩阵和型的行满秩矩阵,使成立. m rPrnQ APQ 存在 个线性无关的, 个线性无关的r 1 12 , n r F r ,使得. 1 12 , m m F 1122rr A 证明:由秩的定义易知(1)(2)(3)(4). (1)(5).因为,故可将经过一系列的初等变换可化成.然而 R ArA 0 00 r E 这一系列的初等变换可以用阶初等矩阵和阶初等矩阵m 12 , t P PPn 表示,使得, 12 , s Q QQ 2112 0 00 r ts E PP PAQQQ 令,由初等变换矩阵可逆知:可逆. 2112 , ts PPP PQQQQ,P Q (1)(5).由为可逆矩阵,使得,得,这相当,P Q 0 00 r E PAQ 11 0 00 r E APQ 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 于由经过一系列的初等变换而得;又因为矩阵的秩不会由初等变换而改变,A 0 00 r E 所以. R Ar (1)(6).设,为行向量,由于,由命题(2)知存在 阶子式 1 2 T T T m A T i R Arr ,且所有,即有所在的 行线性不相关,且任意个行向量都线性相0 r D 1 0 r D r Dr1r 关,因此的行向量组的一个极大无关组就是所在的 行,从而的行向量组的秩为A r DrA .r (1)(6).由的行向量组的秩为 ,依据向量组线性无关的条件可知,这 个行Arr 向量所在的行的 阶子式不为零,且全部阶子都为零,故.r1r R Ar (1)(7)的证明和(1)(6)的证明类似. (1)(8)设的行向量组为,由它们所生成的行空间为: A 12 , TTT m 1 12212 , TTT mmm LR 显然从以上可得:行向量空间的维数与行向量组的秩相等. 12 , TTT m (1)(9)的证明和(1)(8)相似. (1)(10).矩阵的初等变换的过程实际上可以看作是解方程组的过程,0AX 等价性显然成立. (1)(11).由方程组的解空间的一个基就是方程组的基础解系可0AX0AX 知命题是成立的. (1)(12).设的列向量组是,那么有线性方程组A 12 , m m I T 有解,这的说的是的生成空间.AX 12 , m 12 , m 12 , m 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 因此,从而的维数与的维数相等.而由(9)知 12 , mm I T m I T 12 , m 的维数与一样,故命题成立. 12 , m R A (1)(13)由,则的行向量组有一个极大无关组,不妨设为 , m n R Ar AFA ,从而 12 , TTT iiir 11121 111112211 21222 221122222 12 1122 TTTTT r iiiriri TTTTT r iiiriri TTTTT mmmr irmimimririr aaaaaa aaaaaa A aaaaaa 令. 11121 1 21222 2 12 , T r i T r i T mmmr ir aaa aaa PQ aaa 显然为行满秩 的矩阵,下面证明为列满秩 的矩阵,即证就可以QrPr R Pr 了.注意,由于被线性表示出的系数是惟一的,且 12 , TTT m12 , TTT iiir 被表示出的系数恰好是阵的第行,且分别为 12 , TTT iiir12 , TTT iiir P 12 , , r i ii 即有 行线性无关,剩下的各行都可以由这 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,0,1Pr 行线性表出,所以.r R Pr (1)(13)由,且,所以,APQ ,R Pr R Qr min,R AR PQR PR Qr 只需证即可.而此时只需利用一个结果就可以了;设分别是和 R Ar,A Bm r 型矩阵,则有,由此可知.rn R ABR AR Br R Ar 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 3.关于秩的命题() 设为阶矩阵,Am n (1). T r Ar A (2). 0 00 kr A r kA k (3). r Ar A (4). 1-1 0-1 当 当 当 k nr An r Ar An r An (5)设是阶可逆阵,是阶可逆阵,则.PmQn r PAr AQr A (6);特别地,当时,有. T r Ar A m n AR T r A Ar A (1)(5)的证明略10 证明:方法 1,运用 Binet-Cauchy 公式.设,设, n m AF r Ar 那么存在,然而所有 阶子式都为零.记,则 1 1 0 r r ll A jj ssr（）CA A 的 阶子式Cr 11 11111 11 11111 0 rr rrrrr llmllm rrrrr lljjllllll CAAAA jjlljjjjjj 因此.对于的任意 阶子式 r CrCssr（） 1 111 1 111 0 s sss llm sss iiiill CAA jjlljj 所以,故. r Cr r Cr 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 方法 2,设,那么存在可逆矩阵,使得 m n AF T r Arr AQ ;其中,且所以,0AQC 111 1 r mmr aa C aa r Cr 0 C Q A 故 0 ,0() 000 TT TT CC C r A ACrr C C 11 111 11 1 1 0 111 rr rrrTT llmllm r rllllll C CCCAA llrrr 所以. TT r A ArC Cr 方法 3,记的解空间是,的解空间是,那么.0AX V0A AXWVW 设,则.记,XW0X A AX 12 , m AXYy yy 则.所以.所以.这样 1122 0= mm YYy yy yyy 0,1 i yim XV .VW 故. dimdim T r A AnWnVr A 4.关于秩的命题() (1) 0 = 0 A rr Ar B B (2) 0 A rr Ar B CB 证明: (1)(2)证明见文献11. (3)设,则. m nn l AFBF ()min,r ABr Ar B 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 证明：方法 1,设,当时, r Arsr 1 111 1 111 0 s ssS iin sss iiiill ABAB jjlljj 所以.同理 () r ABrr A () r ABr B 方法 2,设, r Ar 00 , ()() 0000 rs EE APQ r ABrQBr 设, r Bs 111 00 , ()() 0000 ss EE BPQ r ABr APs 方法 3,设,.那么存在可逆矩阵,使, r Ar r Bs,P Q r 0 C PA 成立. s 0BQD 所以 r s 0 ()()0= (), 000 （） CCD r ABrPABQrDrr s 方法 4,设. 12n , ij ns AA AABb 则.所以的列向量可以由的列向量 nnn 11121 111 , lljl lll ABb Ab Ab A ABA 线性表现,故. () r ABr A 考虑的行向量,可得.AB () r ABr B 方法 5,记的解空间是,的解空间是,则.故0BX V0ABX WVW . dimdim()rank BlVlWrank AB 同理,考虑与,可得. 0B A X 0A X r Ar AB 方法 6,12取 维线性空间的一个基,维线性空间的一个基lV 12 , l nU ,维线性空间的一个基.设线性映射对,线性映射 12 , n mW 12m , ，AAB ,即B 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 14 , 12 , n A 12m ,， A B 12 , l12 ( ,) n B 因为,所以. mm IABI A dimr A(I AB) m dim(I A) m r A 另一方面,因为,所以KerBKer AB dimr B(I) mB dimlKerBdimlKer ABdim m I AB r AB 方法 7,用块的初等变换 00 00 AAABAB EBEE 又由于,事实上的列向量可由的列向量线性表示,所 00 ()（） AA rr EBEE BE 以列向量可用线性表示. 0 A EB 0 A EE 因此, 00 () 0 ABA r ABnrrr An EEE 故,同理可证 r ABr A r ABr B 方法 8,因为,0, 0 EB AA AB E 所以. ,0r ABr A ABr Ar A 因为,所以. 0 0 EBB AEAB ()()r( ) 0 BB r ABrrB AB (4). ,r A Br Ar B 证明:方法 1,设,即的列向量的极大无关组含 个向量 .所以,做列的 r ArAr 初等变换可使除去 列外都为零;设.Ar r Bs 同理可用列的初等变换使除 列外都为零 .所以,做列的初等变换可使Bs 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 15 除列外全为零 .故.,A Brs ,r A Brsr Ar B 方法 2,设,为的列向量的极大线性无关组. r Ar 12 , iiir AAAA 设,是的列向量的极大线性无关组,则的列向量可 r Bs 12 , jjjs BBBB,A B 用,线性表出,故. 12 , iiir AAA 12 , jjjs BBB ,r A Brsr Ar B 方法 3,设,则齐次线性方程组含有 个独立的方程. r Ar0A Xr 设,则齐次线性方程组具有 个独立的方程. r Bs0B Xs 这样的独立方程的个数至多为个.0 A X B rs 所以 ., A r A Brrs B 方法 4,设的解空间为,的解空间为,的解空间为0 A X B V0A XW0B X ,则.UWU 因为,所以 dimdimdimdimWUWUWU ,dimdimdim A r A BrmWUmUWUm B . dimdimmWmUr Ar B 方法 5,. 0 , 00 ABA r A Brrr Ar B BB 方法 6,. ,00,A BAB 利用结论“”. r ABr Ar B 方法 7,设,.对的任意阶子式,必至少有列来 r Ar r Bs,A B1 rs1r 自或至少有列来自.对这些列用 Laplace 定理展开即可得到此子式为零.A1sB 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 16 (5). r ABr Ar B 证明:方法 1,设为的列空间的基,为的列空间的 12 , iiir AAAA 12 , jjjs BBBB 基.则的列向量都可以用他们线性表示,故.AB r ABrsr Ar B 方法 2,的每个列向量都可以由线性表出,AB,A B 故 . ,r ABr A Br Ar B 方法 3,.故存在可逆矩阵,使得 r Ar r Bs 1212 ,P P Q Q .这里. 1122 ,APCQ BP DQ 00 , 0000 rr EE CrDr 则 .AB 12 1 2 0 , 0 QC QD P P 所以. 1 2 00 () 00 QCC r ABrrr Ar B QDD 方法 4,设,., m n A BF rank Ar rank Bs 故存在使得. 1 , m r PF 122 , r mm ss m QFPFQF 1122 ,APQ BPQ 因而. 1 12 2 Q A Q PPB 所以. 12 ,r ABr P Pr Ar B 方法 5,. 0 00 AABA r ABrrr Ar B BB 方法 6,. 0 00 ABAB r ABrrr Ar B AA 方法 7,因为., E ABA B E 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 17 所以. ,r ABr A Br Ar B 方法 8,. ,r ABr AB Br A Br Ar B 方法 9,13取维线性空间的一个基.维线性空间的一个基nV 12 , n mW .设线性映射对应,线性映射对应,即 12m , ，AABB A 12 , n 12m ,， A B 12 , n 12m ,， B 因为. mmm IIABIAB 所以.dim m IABdim mm IAIBdim m IAdim m IB 故. r ABr Ar B 方法 10,设的解空间为,的解空间为,的解空间为=0AB XV=0AXW0BX ,则.UVWU 因为. dimdimdimdimWUWUWU 所以 ndimdimdimdimdimr ABVWUWUWU . n(n)r Ar Bnnr Ar B 故. r ABr Ar B (6)、,这里. r ABr Ar Bn, m nn l AFBF 证明:方法 1,设,则存在可逆矩阵,使得 .所以 r Ar,P Q 0 00 r E APQ . 0 ()() 00 r E r ABrQBr QBnrr Ar Bn 方法 2,设,则存在可逆矩阵,使得 r Ar r Bs 11 ,P P Q Q 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 18 , 11 00 , 0000 rs EE APQ BPQ 所以 1 00 () 0000 rs EE r ABrQP 设,这里 .则有 1112 1 2122 CC QP CC 11 r s CF 11 1 0 ( 00 C r ABrr QPnrnsrsn 方法 3,取 维线性空间的一个基,维线性空间的一个基lV 12 , l nU ,维线性空间的一个基 .设线性映射对应,线性映射 12 , n mW 12m ,， AA 对应,即BB ,B 12 , l 12 , n B A 12 , n 12 ,， m A 考虑在的限制映射.则.A m I B: m AI BW m , mm IKerAKerABAIIAB 因为.所以dim m I Adim KerAdim m I B dimr AB m I ABdim m I Adim m I Bdim m KerAI B . dimr BKerA r Br An 方法 4,取 维线性空间的一个基,维线性空间的一个基lV 12 , l nU ,维线性空间的一个基 .设线性映射对应,线性映射 12 , n mW 12 ,， m AA 对应.BB 因为.dimKer ABdimKerAdimKerB 所以 . ()()nr ABnr Anr B 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 19 方法 5, 00 00 r AAABAB EBEE 所以. 0 () n A rr ErABnr AB EB 但是 0 () A rr Ar B EB (7). r ABCr ABr BCr B 证明:方法 1,设,则存在可逆矩阵,使得.所以 r Bs 11 PQ 0 00 s E BPQ .()(0) 0 s s E ABCAPEQC 所以()(0) 0 s s E r ABCr APrEQCs . 00 ()() 0000 ss EE r APQr PQCsr ABr BCr B 方法 2,. 00 000 EBBCECB AEABEABC 所以. 0 BBC r Br ABCrr ABr BC AB 方法 3,设是有限线性空间,是线性映,V W U L:A,VW:B,WUC :UL 射,分别对应矩阵.考虑在和上的导出映射,我们有, ,A B CC m I AB m I B ,dim m I CBAdim m KerCI BAdim m I BA ,dim m I CBdim m KerCI Bdim m I B 因为,故有 mm I BABI 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 20 dim m I CBAdim m I BAdim m KerCI BA ,dim m I BAdim m KerCI Bdim m I BAdim m I Bdim m I CB 所以. r CBAr CBr BAr B (8)设,则.0AB r Ar Bn 证明:方法 1,设的解空间为,的列空间是的子空间,0AXVBV 所以. dimr Ar Br AVn 方法 2,由“”直接得出. r ABr Ar Bn 方法 3,设,则存在可逆矩阵使得. r Ar,P Q 0 00 r E APQ 又设,这里是 行矩阵 .由题设,知即. 1 2 C QB C 1 Cr 0 0, 00 r E QB 1 0C 所以. 2 r Br QBr Cnr (9)设且,则. n n AF 2 AEr AEr AEn 证明:方法 1,因为,所以. 2AEEAE2r AEr AErEn 因为,所以.0AEEAr AEr AEn 方法 2,用块的初等变换 22 02 020 1 0000 2 E AEAEAEAEEE AEAEAEAEAEAE 5.应用 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 21 1.设 n n AF 且 2 AA.求证 . r Ar AEn 证明:因为,所以 .AEAE r Ar AEr En 因为,所以,所以.所以 2 AA 2 0AA0A AE r Ar AEn 2.设都是方阵,而且 .证明.,A Bn 1 ABABrank EABrank EABn 证明:因为,所以 1 ABAB . 0EABEABEABABABABEE 所以r EABr EABn 又因为. 2 nrErEABEABr EABr EAB 所以.r EABr EABn 3.设都是阶方阵,且,证明 12 , m A AAn 12 0 m A AA . 12 (1) m r Ar Ar Amn 证明:因为,所以 12 0 m A AA 1212 , mm r A AAr Ar AAn . 12312 2(1) mm r Ar Ar AAnr Ar Ar Amn 又.所以. 12 ,0 m r A AA 12 (1) m r Ar Ar Amn 4.设都是级矩阵,证明:如果,且,那么,A Bn0ABBA () r Ar A 14. r ABr Ar B 证明:利用维数公式可得 然 dim()dim()dim()dim()Ker AKer BKer AKer BKer AKer B 后只需验证 以及即可得结论. 0Ker AKer BKer Ker AKer BKer AB 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 22 由得到,. () r Ar A ()Ker AKer A () RangeRa ge AnA 任取一个向量,必存在使得x () Axr Ar A () AxRange ARange Ay .AxA y 这样可以拆分成.其中,x()xAyxAy ,yKer BxAyKer A 从而. 0 KerKer AKer B 反过来当然有,所以 0Ker AKer BKer 0Ker AKer BKer 任取,满足,所以,xKer ABx 2 ()0A xA AB x 2 xKer AKer A 进一步又有,从而. xKer B Ker ABKer AKer B 反过来是显然的, Ker AKer BKer AB 因此. Ker AKer BKer AB 5.设都是阶方阵, .证明., ,A B Cn r Ar BAr ACr BAC 证明:因为,且齐次线性方程组的解是是的解,所以方 r Ar BA0AX0BAX 程组与同解.0AX0BAX 要证,只要证明方程组与同解即可.显然方程r ACr BAC0ACX0BACX 组的解是的解.0ACX0BACX 反之,设是的解,则,记,则, 0 X0BACX 0 0BACX 1 0BAX 故也是的解,即,也即,所以是的解,故 1 X0AX 1 0AX 0 0ACX 0 X0ACX 与同解,从而,.0ACX0BACXr ACr BAC 10 XCX 6.设都是阶方阵,而且.证明 15 ,A BnABBA r ABr Ar Br AB 证明:记分别为的行向量组生成的向量空间,易知包 1234 ,W W W W, ,A B AB AB 3 W 含在中. 由维数