2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.1.1平均变化率学案苏教版.docx

3.1.1平均变化率学习目标1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负.知识点一函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V).思考1当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？答案平均膨胀率为0.62 (dm/L).思考2当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？答案平均膨胀率为.梳理函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率为，其中yf(x2)f(x1)是函数值的改变量.知识点二平均变化率的意义思考如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案如图，表示A，B之间的曲线和B，C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.如用比值近似量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在xB，xC上的平均变化率.梳理平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率.1.函数yx21在2,3上的平均变化率是5.()2.甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元.因此我们认为乙的经营效果较好.()3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.()4.函数f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线AB的斜率.()类型一求函数的平均变化率例1(1)已知函数f(x)2x23x5.求：当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；求：当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率.(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点平均变化率的概念题点求平均变化率解(1)因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.2x4x13.当x14，x25时，x1，y2(x)2(4x13)x21921，21.当x14，x24.1时，x0.1，y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.2x4x1319.2.(2)在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2，甲企业的生产效益较好.1.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量y与自变量取值增量x的比值.涉及具体问题，计算y很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法.2.函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的.一、填空题1.函数f(x)在2,6上的平均变化率为_.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案解析.2.在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24h内发现水位从102.7m上涨到105.1m，则水位涨幅的平均变化率是_m/h.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案0.1解析0.1 (m/h).3.已知某质点的运动规律为S(t)5t2(单位：m)，则在1s到3s这段时间内，该质点的平均速度为_m/s.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案20解析20 (m/s).4.函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率为2，则t_.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案5解析函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2，即t2t62t4，t23t100，解得t5或t2(舍去).所以当函数f(x)x2x在区间2，t上的平均变化率是2时，t的值是5.5.假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)x36x215x(元)，而售出x台的收入是r(x)x33x212x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是_元.考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案87解析由题意，得生产并售出x台机器所获得的利润是L(x)r(x)c(x)(x33x212x)(x36x215x)3x23x，故所求的平均利润为87(元).6.在x1附近取x0.3，在四个函数yx；yx2；yx3；y中平均变化率最大的是_.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案解析由平均变化率的定义计算可得最大.7.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h2t22t，则下列说法正确的是_.(填序号)前3s内球滚下的垂直距离的增量为h24m；在时间2,3内球滚下的垂直距离的增量为h12m；前3s内球的平均速度为8m/s；在时间2,3内球的平均速度为12m/s.考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案解析前3s内，t3s，hh(3)h(0)24(m)，此时平均速度为8(m/s)，故正确；在时间2,3上，t321(s)，hh(3)h(2)12(m)，故平均速度为12(m/s)，所以正确.综上，都正确.8.如果函数yf(x)axb在区间1,2上的平均变化率为3，则a的值为_.考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案3解析根据平均变化率的定义可知，a3.9.汽车行驶的路程S和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为_.(用“”连接)考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案123解析1kOA，2kAB，3kBC，由图象知，kOAkAB0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围.考点平均变化率的概念题点函数因变量的增量解函数f(x)在区间2,2x上的平均变化率为3x，由3x1，得x2.又x0，x的取值范围是(0，).13.巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB，山路从B到C比从A到B要陡峭得多.三、探究与拓展14.如图所示是物体甲、乙在时间0到t1范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是_.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度.考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v，故错；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为S2S0S1S0，t1t00，所以.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，又S2S1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填.15.很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.试从平均变化率的角度，比较气球容量V从0增加到1L及从1L增加到2L时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)，当气球