特征值与特征向量(0808).ppt

第5章 特征值与特征向量 5.2 矩阵的相似关系 5.3 矩阵的相似对角化 5.1 特征值与特征向量 5.5 若当（Jordan）标准形简介 5.4 实对称矩阵的相似对角化 Date 1 先看一个例子：求二次齐次函数 在条件下的极值值。 5.1 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 Date 2 记其中 则条件限制为 作拉格朗日函数 令： 则有： （5.1） 或： （5.2） Date 3 这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。 定义义5.1 设设n阶阶方阵阵 （1） 称为A的特征矩阵； （2）称 （5.3） 为为A的特征多项项式； Date 4 （3）称A的特征多项式的根，即 的根 为A的特征值； （4）若 是的某个特征值，则称齐次线性方程组 （5.4） 的非零解为A的属于特征值 的特征向量。 Date 5 从定义中可以看出：行列式（5.3），即A的特征 多项式 是一个关于 的首项系数为1的n次 多项式，它的根（包括重数在内），也就是A的特 征值共有n个； 同时由（5.4）可知特征向量的概念是相对某个特征 值而言的概念，如果 是A的特征值，则A的属于 的特征向量就是以特征矩阵 为系数矩阵的齐 次线性方程组（5.4）的全部非零解，常称此齐次线 性方程组的任意一个基础解系为A的属于 的极大无 关特征向量组。 Date 6 上述定义实际上给出了求方阵的特征值与特征向量 的方法： 第一步：求出A的特征多项式 ； 第二步：求出代数方程 的n个根，即得A 的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内 共有n个）； 第三步：对每个特征值 ，求出齐次线性方程 组 的基础解系，即属于 的极大无 关特征向量组： ； Date 7 第四步：作线性组合 （ 不全为零），它就是A的属于 的全部特征向量 。 例1 求3阶方阵 的特征值与特 征向量。 Date 8 解：A的特征多项式为： 故A的特征值为： （二重）。 对于 而言，求解齐次线性方程组 即 Date 9 得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 Date 10 对于 而言，求解齐次线性方程组 即 得它的一个基础解系： 故A的属于 的所有特征向量为 （ 不全为零） Date 11 例 2 求3阶方阵 的特征值与特 征向量。 解：A的特征多项式为： Date 12 故A的特征值为： （三重）。 求解齐次线性方程组 ，即 得它的一个基础解系： 所以A的属于特征值2的所有特征向量为 （ 不全为零） Date 13 定义5.2 设A是n阶方阵，若存在数 及n 维非零向量 ，使得： （5.5） 则称 是A的特征值， 是A的属于特征值 的特征 向量. 上述定义5.1与定义5.2是等价的 事实上，若有（5.5）式，即 ， 则可将其改写为： Date 14 例3 设A为n阶方阵，则A与 有相同的特征多项 式，进而有相同的特征值。 证明：因为： 则A与 有相同的特征多项式 Date 15 例4 设n阶方阵A满足 （为正交矩阵）， 则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 对上式两边左乘 Date 16 再对其两边左乘 由此 但 ， 则 或 Date 17 定理5.1 设 ，且 是的n个特征 值（重根按重数算），则有： （1）A的n个特征值之和等于A的主对角线元素之 和，即： （5.6） （2）A的n个特征值之积等于A的行列式，即： （5.7） 二、特征值与特征多项式的关系 Date 18 证明：注意到A的特征多项式为： 易知特征多项式中 与 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中, 因此 前的系数必为： ； Date 19 而特征多项式的常数项为 即有 由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得： 推论 方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值 Date 20 例5 设A为三阶方阵，且满足： ，求 解：由定义5.1知，若 ， 则A有特征值 ； 同理： Date 21 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 分别有特征值： ，其中m为正整 数， 是A的伴随矩阵。 （1） 证明：因为A有特征值 ，故存在非零向量 ，使 得： ，于是： （2） ； 三、特征值与特征向量的性质 Date 22 （3）对 两边左乘 有： ， 即： （4）因为 ，则有： ， 即： 由此可见 分别有特值： Date 23 注意：由此例可知，若A有特征值 ，则A矩阵多 项式 有特征值： Date 24 定理5.3 设 是方阵的个互异的特征值 ，且 分别是属于的特征向量， 则 必定线性无关，即A的不同特征值 对应的特征向量必定线性无关。 证明：用归纳法证明， 时，一个非零向量必 定线性无关，结论成立。 当 时 (5.8) Date 25 将（5.8）式两边左乘A 又将（5.8）式两边乘以 ，得： 则： Date 26 由归纳假设知 线性无关，故有： 而 ，故只有 ， 再由（5.8）式知： 但 ，从而 ，则 由此 线性无关 据归纳法知结论对任意m都成立 Date 27 定理5.4 设 是方阵A的m个互异特征 值， 是A的属于 的 个线性无关的特 征向量（ ），则 必定线性无关。 推论 设方阵A有个m互异特征值 ， A的属于 的极大线性无关特征向量组中含有 个 向量，则： ， 且等号成立的充要条件是A有n个线性无关的特征向 量。 Date 28 矩阵的相似关系是矩阵间的一种极为重要 的关系，对于简化矩阵的讨论起着重要作用 ，而矩阵的特征值在相似关系中扮演了重要 角色。本节将引入相似的概念及性质，并讨 论方阵相似于对角阵的条件。 5.2 矩阵的相似关系 Date 29 定义5.3 设A,B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵 P，使得： 则称A与B是相似的矩阵，记为 。 相似是一种等价关系 性质1 反身性 性质2 对称性 性质3 传递性 Date 30 定理5.5 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似， 即 ，则 (1) (2)（k为正整数） 。 （3）若 是m次多项式，则 证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得 (1) Date 31 （2） 即 （k为正整数） Date 32 （3） 从而 Date 33 定理5.6 设A,B 都是n阶方阵，且A与B相似， 即 ，则 (1) (2) （3） A与B相同的特征多项式、相同的特征值 证明：由 知，存在可逆矩阵P，使得 （1）由于用可逆矩阵左乘或右乘A，不改变其秩， 故 Date 34 （2） 则A与B有相同的行列式。 （3） 故A与B有相同的特征多项式，进而有相同的 特征值 Date 35 注意：若 （ ）， 即是A的属于 的特征向量， ，由于： 从而 是 的属于 的特征向量。 由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量 往往是不同的 Date 36 矩阵的相似关系的重要特性就是两个相似的矩 阵之间具有许多相同的性质，在研究矩阵的许 多问题时，人们常利用相似关系将A的讨论通 过 转移到B的讨论上去。 可以理解为将矩阵A进行了分解（常 叫相似分解），分解的目的是为了简化对的讨论 。于是人们当然希望B越简单越好，例如是最简 单的对角阵。 5.3 矩阵的相似对角化 一、矩阵与对角阵的相似 Date 37 若A能与对角阵相似，则称A能对角化，即存在可 逆的矩阵P，使得 此时 ，这样对A的讨论转移到了对对角 阵 的讨论上去了 Date 38 并非任何方阵都能对角化，那么当方阵A满 足什么条件时能对角阵化呢？下面给出方阵能 相似于对角阵的充要条件，即A都能对角化的充 要条件。 二、矩阵对角化的条件 Date 39 定理5.7 n阶方阵A能与对角阵相似的充要条 件是：A有n个线性无关的特征向量 证证明充分性： 设A有n个线性无关的特征向量 ，它 们对应的特征值分别为 ，于是 （ ），记矩阵： Date 40 由于 线性无关，故P可逆，所以 Date 41 故A能与对角阵相似 Date 42 必要性： 设A能与对角阵 相似，则存 在可逆矩阵P，使得 将P按列分块，记 ， Date 43 显然 ，这说明 是A的属于 的特征向量， 且由P的可逆性知 线性无关 Date 44 注意：从上面定理的证明过程可知：若A能与对 角阵 相似，则 （1）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好 就是A的n个特征值 （2） 中的各列 恰好就是A 的属于 的特征向量 Date 45 特别的，若A的特征多项式都是单根，则有如下 推论： 事实上，对n个互异的特征值各取一个特征向量 ，由定理5.3知，A的不同特征值对应的特征向量 线性无关，故A有n个线性无关的特征向量，从而 A必能与对角阵相似。 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论1 Date 46 对于A有重根的情况，由定理5.4的推论，有 推论2 若n阶方阵A有m （mn）个互异的特征值 ， A的属于 的极大无关特征向量组中所含向量的个 数为 个（ ）则能对角化的充要条件是： Date 47 推论3 若n阶方阵A有m （mn）个互异的特征值 ,且它们分别是 重特征根 （ )，则A能对角化的充要条件是： 事实上： 就是齐次线性方程组 基础解系所含向量的个数，也就是A的属于 的 极大无关特征向量组中所含向量的个数，由 Date 48 知 A能对角化的充要条件是A的所有特征值的几 何重数等于代数重数。 Date 49 上面的讨论实际上告诉了我们寻找对角阵与可逆阵 的方法，即对角化的方法： 第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出A的 所有特征值 ，设它们的重数分别是 （ ）； 三、方阵对角化的实现 Date 50 第二步：针对每一个特征值 ，求解齐次线性方 程组 ，得基础解系 ， 它们就是属于 的 个线性无关 的特征向量（ ）； 第三步：如果 ，则A没有n个线性无关 的特征向量，故A不能对角化； 如果 ，说明A有n个线性无关的特征向 量，故A能对角化，将n个线性无关的特征向量按 列排成可逆阵P，即 Date 51 Date 52 注意：由于齐次线性方程组 的 基础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外 ，由于P中的列向量依次是属于对角阵 中对 角线上相应元素的特征向量，如果将这种对应 换个次序排列，也可以得到不同的P及对角阵。 Date 53 例6 设 ，问A能否对角化？ 解 即 是的三重特征值，考虑齐次线性方程 ， Date 54 故： （几何重数 代 数重数）， 因此A不能与对角阵相似 Date 55 例 7 设 ，问A能否对角化？ 解：A的特征多项式 Date 56 A的特征值分别为 ， 它们都是单特征值，故A能对角化 Date 57 例8 设 ，将A对角化，并求 （k为正整数）。 解：A的特征多项式： 故A的特征值为： （二重） Date 58 对于 而言， 齐次线性方程组的基础解系 （ 即属于 的极大无关特征向量组）为 对于 而言， 齐次线性方程组的基础解系 （即属 于 的极大无关特征向量组）为 Date 59 因此A有三个线性无关的特征向量，故可对角化， 令 Date 60 又 Date 61 Date 62 例9 设 ，且已知A有三个线 性无关的特征向量， 是A的二重特征值，试 求可逆的P，使得 为对角阵 解：由假设知A能对角化，而 是A的二 重特征值, 由 Date 63 而 Date 64 又设 是A的另一个特征值 对于特征值 ，求解 得属于 的两个线性无关的特征向量 Date 65 对于特征值 ， 得属于 的一个特征向量： 于是令 ： 有 Date 66 在上一节讨论了一般方阵的相似对角化问题， 并看到了并非所有方阵都能与对角阵相似。本 节将讨论一类特殊的矩阵实数域上的对称 阵（简称为实对称阵）的相似对角化问题，并 说明实对称阵总是可以对角化的。 5.4 实对称矩阵的相似对角化 Date 67 定理5.8 对称矩阵的特征值为实数. 证明：设 是A的特征值， 是A属于 的特征 向量，则 对上式两边取共轭向量，有 即 再对上式求转置 一、实对称阵的特征值与特征向量的性质 Date 68 由于A为实对称阵，故 ， 从而 但 ，故 ，于是 ，这说明 必为实数。 Date 69 定理5.9 实对称阵A的属于不同特征值的特征向量 必定正交。即若 是A的互异特征值， 分 别是对应的特征向量，则必有 。 证明：因为 （ ）， 且 则有 Date 70 但 ，故有 所以 与 正交 Date 71 定理5.10 设A是n阶实对称矩阵， 是A 的n个特征值（包括重数在内），则必存在正交 矩阵P，使得 下面的定理表明了任意一个实对称矩阵总是可 以对角化的，并且可以通过正交矩阵来实现， 这是一个非常重要的结论。 二、实对称矩阵的对角化 Date 72 证明：对矩阵的阶数n应用数学归纳法 当 时，定理显然成立 假定定理对 阶实对称矩阵成立，下面证 明定理对n阶实对称矩阵也成立 设 是A的任意一个特征值， 是属于 的一个 特征向量，并假定 为单位向量， 又设 是以 为第一列的n阶正 交矩阵，则 Date 73 Date 74 由于 是实对称矩阵，则 必为n阶实对 称矩阵 由归纳假设知：存在 阶正交矩阵 ，使得 Date 75 令 故 也是正交矩阵 Date 76 令 由于 及 都正交，则P必然是正交矩阵 显然， 其中的就是A的n个特征值 Date 77 注意（1）若 是实对称矩阵A的r重特征值， 则必有 ，也就是说，对于实对 称矩阵A而言，几何重数总是等于代数重数的 （2）若设 ，由于P是正交 阵，则 ，即 Date 78 且由 （ ） P的第j列恰好就是特征值 对应的特征向量 故 形成一个两两正交的单位特征向 量组（即标准正交向量组） 综合（1）与（2）知，实对称矩阵总是能对角 化的，并且可以通过正交矩阵来实现 Date 79 实对称矩阵对角化的具体步骤如下： 第一步：首先求出A的特征多项式，进而求出A 的所有特征值 第二步：对于每一个特征值 ，求解齐次线性方 程组 ，得基础解系 ， 它们就是属于 的 个线性无关 的特征向量（ ）； Date 80 第三步：将 利用施密特方法正交 化，得 （ ） 第四步：再将 单位化， 得到 （ ） Date 81 第五步：将正交化、单位化后的n个标准正交特 征向量按列排成正交矩阵P，即 Date 82 例10 设 ，求正交矩阵，使得A 成为对角阵 解：A的特征多项式为 Date 83 故A的特征值为 对于 而言， 齐次线性方程组 的基础解系为 正交化得： Date 84 单位化得： 对于 而言， 齐次线性方程组 的基础解系为 只需单位化 Date 85 令 （正交矩阵 ） 则 Date 86 例11 设三阶实对称阵A的特征值为 （二重），且A的属于特征值 的特征向量 是 ， （1）求A的属于特征值 的特征向量； （2）求矩阵A 解：（1）设A的属于特征值 的特征向 量