2019届江苏高考数学二轮复习解答题专项练5函数与导数理.docx

5.函数与导数1.设函数f(x)xln xax，aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数yf(x)在上的最小值；(3)若g(x)f(x)ax2(2a1)x，求证：a0是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解由f(x)xln xax，得f(x)ln xa1.当a1时，f(x)ln x2，f(1)1，f(1)2，求得切线方程为y2x1.(2)解令f(x)0，得xe(a1).当e(a1)，即a0时，x时f(x)0恒成立，f(x)单调递增，此时f(x)minf.当e(a1)e，即a2时，x时f(x)0恒成立，f(x)单调递减，此时f(x)minf(e)aee.当e(a1)e，即2a0时，x时f(x)0，f(x)单调递增，此时f(x)minf(e(a1)e(a1).(3)证明g(x)f(x)ax(2a1)ln xaxaln xa(x1)，当a0时，x(1,2)时，ln x0，a(x1)0，g(x)0恒成立，函数yg(x)在x(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a时，代入g(x)ln xa(x1)ln xx.设h(x)g(x)ln xx，x(1,2)，则h(x)0(x(1,2)恒成立，当x(1,2)时，h(x)单调递增.又h(1)0，当x(1,2)时，h(x)0恒成立.而h(x)g(x)，当x(1,2)时，g(x)0恒成立，函数yg(x)单调递增，必要条件不成立.综上，a0是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数f(x)ln x1，aR.(1)若关于x的不等式f(x)x1在1，)上恒成立，求a的取值范围；(2)设函数g(x)，证明：当a时，g(x)在1，e2上不存在极值.(1)解由f(x)x1，得ln x1x1.即axln xx22x在1，)上恒成立.设m(x)xln xx22x，x1，则m(x)ln x2x1.x1，)，ln x0，2x10.当x1，)时，m(x)ln x2x11，即a的取值范围是(1，).(2)证明g(x)，x.g(x).设h(x)2xxln x2a，x1，e2，则h(x)2(1ln x)1ln x.令h(x)0，得xe.当1x0；当exe2时，h(x)0得0x1，由g1；若0时，由g0得x1或0x，由g0得x1，即0a0得x或0x1，由g0得1x；若1，即a时，在上恒有g0.综上得，当a0时，函数g在(0,1)上单调递增，在上单调递减；当0a时，函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.4.已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数).(1)当a5时，求函数g(x)的图象在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e，所以切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)函数f(x)的定义域为(0，).因为f(x)ln x1，所以在(0，)上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时，在区间t，t2上，f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t；当0t0，则h(x)1.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2，h(e)e2，h(1)4，所以h(e)h42e0，所以h(e)0，即a1时，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，0x0恒成立，h(x)的单调递增区间为(0，).当a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，h(x)minh(e)ea0，a，e1，a；当a11，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，h(x)minh(1)11a0，a2；当1a1e，即0ae1时，h(x)minh(1a)2aaln(1a)0，0ln(1a)1，0aln(1a)2，此时不存在x，使h(x)0成立.综上，实数a的取值范围为(，2.6.已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a0，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线yf(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1，x2，x30,1，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围.(1)解函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa).因为a0，由f(x)0，解得xa.所以函数yf(x)的单调递减区间为.(2)证明当a0时，f(x)x32.设在点A(x1，x2)，B(x2，x2)处的切线交于直线x2上一点P(2，t).因为y3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3x，所以在点A处的切线方程为y(x2)3x(xx1).因为切线过点P，所以t(x2)3x(2x1)，即2x6x(t2)0.同理可得2x6x(t2)0，两式相减得2(xx)6(xx)0，即(x1x2)(xx1x2x)3(x1x2)(x1x2)0，因为x1x20，所以xx1x2x3(x1x2)0，即(x1x2)2x1x23(x1x2)0.因为x1x22，且x1x2，所以x1x22.从而上式可以化为(x1x2)223(x1x2)0，即(x1x2)(x1x24)0.解得0x1x24，即A，B两点的横坐标之和小于4.(3)解由题设知，f(0)f(1)f(1)，即22(a2a3)，解得1a0，所以0a2.因为f(x)3(xa)，所以