[高三数学]81数列的概念与简单表示法——讲义.doc

8.1 数列的概念与简单表示法【考纲要求】1. 了解数列的通项公式；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2. 了解数列的前项和，理解与之间的转化关系；会前项和与之间的转化.3. 会由数列的前几项求通项；会由递推公式求通项；会由前项和求通项；会由数列的通项公式求数列的前项和；会由通项公式判断数列的单调性.【考情分析】 高考试题对本课时内容的考查主要关注以下几个方面:一是用函数的观点认识数列，如研究数列的单调性、周期性、数列图像等；二是以考查通项公式为主，同时考查与的关系；三是以递推公式为载体，写出数列的前几项，或考查合情推理。考查形式则在填空题、解答题中均出现。若考查数列的通项公式常以填空的形式出现，若考查前项和与通项相结合的题目，往往以解答题形式出现，若与函数、不等式相结合，则可能会出现难度较大的试题。题型比较全面，难度以中档题为主，重点考查学生的运算能力及抽象概括能力；另外，递推关系与算法中的循环结构有着密切的联系，是一个很好的知识交汇点，高考中也可能在此处有所作为.【知识回顾】一、 数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为简记为.二、 数列的通项公式1. 定义：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.2. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.3. 注意事项(1) 通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：的通项公式可写为 ，还可以写成(2) 若已知通项公式，可将代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.三、 数列与函数的关系在数列中，对于每一个正整数都有一个数与之对应，因此，在函数的意义下，数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值为，简记为.四、 数列的分类1. 根据项数是有限还是无限来分 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列.2. 根据项的增减规律来分递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项.递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项.常数列：各项均相等的数列.摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如： 递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等.3. 根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分有界数列：若为常数）无界数列：若使得.五、 数列的表示法1. 列举法：如2，4，6，8，.2. 图像法：用表示函数图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可是有限的.3. 解析法：用通项公式表示，如4. 递推公式法：用表示数列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如，；六、 数列的前项和公式前项和与通项的基本关系为:七、 数列的单调性1. 根据定义：若，则为递增数列；若，则为递减数列；2. 作商比较：（前提是各项均为正数，），若，则递增（或减）.3. 转化为函数或求导：数列作为特殊的函数，其某些性质可借助函数性质的判断方法来判断数列的性质.八、 数列的最值1. 若为最大项；若为最小项.2. 构造函数，先确定单调性，再求最值.【复习建议】对本课时的学习，一是要正确理解相关的基本概念，二是要掌握一些基本的数