量子力学 中科大课件 Q9讲稿 第九章 电磁作用分析和重要应用.doc

第二部分 进一步内容第九章 电磁作用分析和重要应用电磁和弱作用是迄今了解得最为清楚的基本作用力。特别是电磁作用部分，在经典力学中对其基本规律就已有很好的研究和阐述。因此，量子力学对于电磁作用下单体、两体等可解问题的解答就成为检验量子力学正确性的试金石和支撑点。除已叙述过的库仑场束缚态问题之外，本章继续阐述在电磁场作用下，粒子的定态问题和某些含时问题。量子力学的确不负所望，继库仑场之后，在这类问题上再次给出了微观粒子电磁现象的正确、统一的理论描述。不仅如此，根据AB效应，量子力学还指出了经典电磁理论仅仅用场强描述（而不用势来描述）全部电磁现象的局限性，并以简明的方式丰富了规范理论关于位相物理学的内容。9.1, 电磁场中的方程1,最小电磁耦合原理及电磁场中的方程在建立方程的一次量子化中，使用了以下对应 (9.1)现在有电磁场情况下，记电磁势为。按经典QED的“最小电磁耦合原理”：对电荷为的粒子，其和之间的动力学关系如同无电磁场时和的动力学关系一样.朗道，E.M.里夫席茨，场论，高等教育出版社，1965。 。 这里为正则动量（广义动量）。由这个原理和正则量子化规则可知，为了得到有电磁场时的方程，量子化规则应当变更成为 （9.2）这就将电磁势引进了方程。原则上，（9.2）式应当是一个假设，它的正确性按照由其导出的结论与实验是否符合来决定。迄今的实验事实都证明（9.2）式是对的。于是，有电磁场时的方程为 (9.3)这里，V为其它（如引力势等）势能项，是机械（普通）动量算符，为正则动量算符 将和其正则动量量子化为满足对易子=的算符，称为正则量子化方法。设L为有电磁场下粒子的拉氏量，按Legendre变换，得哈密顿量H=，这里为正则动量。其中为粒子的机械动量，将（而不是）量子化为算符，即为正则量子化。这一量子化方法对任何非奇异的拉氏量系统（即Hessian行列式不等于零，Legendre变换可以进行），均普遍适用。这里已将电磁场作为经典的外场来处理，所以这里的量子系统拉氏量是非奇异的，可以实施正则量子化。现在需要注意，机械动量正则动量与此同时， 粒子的速度算符 （9.4）（对无电磁场情况，粒子机械动量=粒子正则动量，仍然是正则量子化。）2,方程的某些考察将方程（9.3）展开，为此先计算其中，为反对易子符号。这里第二步等号是因为已取定了横向规范条件。于是得到方程（9.3）的展开形式 (9.5a)其次，往求概率流密度的表达式并考察概率守恒问题。对方程（9.3）取复共轭，得 （9.5b）将这个方程和方程（9.3）分别乘以和并相减，即得令 ， （9.6a）前者为态中处的概率密度，后者为在电磁场中态的（态的平均）流密度。于是仍存在表征概率守恒的连续性方程(9.6b)这时表达式和以前不同，多出含电磁场矢势的第二项，它显示出磁势影响了带电粒子的机械动量，从而使概率流密度有相应的变化。其三，考察一下电磁场下方程的规范不变性。对任意可微函数(它具有磁通的量纲),可引导出对电磁势的一个规范变换 (9.7a)可以证明,在方程（9.3）中,当电磁势, 即经受（9.7a）式的规范变换时,只需波函数也同时经受如下位相变换(注意此相因子依赖于空间变数，是定域的) （9.7b）则方程（9.3）的形式将保持不变。这说明：电磁场中方程（9.3）具有定域规范变换不变性。 证明： 假定变换后的方程成立，即有这里分别由上面变换式（9.7a，b）表示， 往证由此可以导出原先方程（9.3）。注意有 由此即得规范变换之前的方程（9。3）：由于电磁势是不确定的,它们可以相差任一定域规范变换,因此这时粒子的波函数也就可以有一个局域的任意位相因子。最后,再考察一下时间反演问题。对于一个定态问题， (9.8)在时间反演下, ,于是只有同时也改变磁场，即令(由于,所以也即)，方程才可以保持不变，这与经典力学磁场中运动的情况相同。9.2 均匀磁场中库仑场束缚电子的运动1,均匀磁场中类氢原子基本方程的考查将上面方程用于均匀磁场中的类氢原子问题。此时无外加电场，而（） 注意，前面考虑磁场作用时，漏算了与自旋有关的两项作用：旋轨耦合能和自旋磁矩在外磁场中的附加能，它们的表达式分别为 和 于是补入这两项之后，此系统的更全面的Hamilton量应当为 （9.9）其中 此处含的项显然正是轨道磁矩在外磁场中的附加能。取，于是体系Hamilton量成为 （9.10）现来估算一下项和项的比值。原子的，对于磁场高斯，有可知，如果磁场不是非常强，和含的一次幂项相比可以略去项。总之，考虑到自旋及轨道磁矩对外磁场取向的附加能以及旋轨耦合能这三项附加能，并略去项，最后得到均匀外磁场下氢原子的Hamilton量为(9.11)如果将中的代以，方程（9.11）也可适当推广地用于非类氢原子。下面为书写简明，记 即得 (9.12)这里，角动量和均已无量纲化，而参量，的量纲均为能量。方程（9.12）是本节论述的出发点。2,基本方程的求解 由于上面中含有及项，于是，除能量之外，、及守恒，但，故不守恒,不是好量子数。这时好量子数为（），这允许我们在这几个好量子数均有确定值的任一个子空间中考虑问题。这时，将取两个可能的值。这里，作为径向半径 函数的只与好量子数有关，在此子空间中，它可代以平均值。这一定态问题（也包括给定初态的含时问题）实际上概括了Zeeman效应、反常Zeeman效应、Paschen-Back效应等磁场下谱线分裂现象。以往对它们的处理是在微扰论的不同近似下分别求解。下面对这几个效应及有关现象作统一的叙述张永德、张涵，各种强度均匀磁场下氢原子定态问题统一求解，大学物理，Vol.16，No.12，1997年。普遍的代数叙述参见 S.X. Yu, H. Rauch, Y.D. Zhang, Phys. Rev. A, Vol. 52, No. 4, 2585 (1995)。引入升降算符和，并注意这里为1/2自旋的升降算符。于是将改写为如下形式 （9.13a）这时定态方程 (9.13b)由于为守恒量子数，可取为某一固定值。注意，由于态中量子数并不固定，因此一般说它不是耦合表象中的某个基矢，而是耦合表象基矢的某种叠加态。若用无耦合表象基矢展开它，应当为 这里为两个待定系数。将此表达式代入方程(9.13b)，注意，即得方程(9.13b)的特征方程为令此联立方程的行列式为零，就得到决定体系能谱的公式如下 (9.14)由此又可得系数的表达式（已考虑） 对于：（9.15a）以及对于： （9.15b）这里计算中用到下面的等式。于是，给定的定态解为 (9.16)3,能级劈裂效应统一分析：正常Zeeman效应、反常Zeeman效应和Paschen-Back效应下面分几种情况对以上结果进行讨论。i,=0情况。这是无外磁场时，考虑电子旋轨耦合造成的谱线精细分裂。上面正负解的表达式简化为 （9.17a）相应的态展开系数则简化为 （9.17b）此时和Hamilton量可对易，定态解是量子数j的两个本征态。两组系数就退化为耦合表象基矢在无耦合表象中的展开系数。“+”解相当于自旋轨道平行耦合；“-”解相当于自旋轨道反平行耦合。实例就是前面说的钠黄光（）分裂为精细结构的两条（，；，）的情况。ii,反常Zeeman效应。这时 情况。这是在强磁场中考虑旋轨耦合精细结构分裂的情况。将对展开，保留到的一阶项，得这里结果和通常在=0（即略去旋-轨耦合项，只剩下项）基础上，选取无耦合表象基矢对旋-轨耦合效应作一阶微扰计算 两者结果相同。注意，这时情况仍为守恒，而并不守恒。v,Paschen-Back效应。 鉴于原子总自旋为零的情况较少，更多的是要考虑自旋的存在。当磁场十分强，电子轨道磁矩及自旋磁矩和外磁场的作用明显大于自旋-轨道间的作用。这时，计入自旋磁矩对外磁场的附加能（这与完全不考虑自旋的iii不同），略去旋轨耦合能。于是就对应于iv中的情况。这时， 以及 说明对应能级的态为；为。例子是钠黄光（）。强磁场下钠外层价电子的能级分裂为三条，对应电子从产生三条谱线。如 无磁场 强磁场（注意，由于磁场很强，此处谱线间距远大于ii中谱线间距。）由于这时加入了自旋磁矩对外磁场取向附加能，量子数简并解除使能级分裂不止是三条。但由于遵守同样的电偶极跃迁选择定则（），此时谱线分裂特征和正常Zeeman效应相同，并未受到自旋磁矩对磁场取向能的影响。vi,在一般磁场情况下,对于m=l的能级，由的表达式知，并且这时分别为：表现出能移和及呈严格线性关系。而对于m= 则无此现象。总起来计算，在任意磁场下，能级分裂总数为2(2l+1)(对每一个m值存在两个能量值，不同m值有2l+1个)。9.3均匀磁场下中子自由飞行1,中子极化矢量在磁场中的进动。中子自旋为1/2,并有一反常磁矩，核磁子。于是，磁场中自由中子Hamilton量H（不计动能部分）为(9.15)设中子的自旋态为|，则中子极化矢量的运动方程为由于等式，现在矢量，即得在磁场中的进动方程 (9.16)这里是Larmor进动的频率，为磁场方向的单位矢量由这个方程可知，中子极化矢量将绕磁场方向作右手进动运动，其进动频率为Larmor频率。2, 旋量叠加与旋量干涉。 中子干涉量度学（Neutron Interferometry） Neutron Interferometry, edited by U. Bonse and H. Rauch, Clarendon, Oxford, 1979; H. Rauch, et.al., Physics Letters, 54A, No. 6, 425 (1975); J. Summhammer, et.al., Phys. Rev. A, Vol. 27, 2523 (1983)。讨论中子通过板状均匀磁场的问题。这时(9.17)设和分别代表射入和透出板状磁场时中子的状态矢量。若不记板状磁场界面上中子波反射损失，则态矢模长不变，得由于H的空间部分和自旋部分可交换，可以将态矢的空间部分分离掉，得到自旋部分为 （9.18）这里，为中子在板状磁场中穿行的时间，于是即为在磁场期间中子极化矢量进动转过的总角度。利用前一章中有关公式，上式即为值得注意的是这里的表达式中有个1/2因子。在自旋态矢如上变化的同时，极化矢量的变化可如下求得。因为 (9.19)可以证明，在和之间，由一个三维空间转动相联系 (9.20)这里表示绕方向转过角的空间转动变换，是一个的正交矩阵。证明1: 利用群论中常见的公式这里是绕方向转角的任一转动，是与其相应的三维空间转动。为任一矢量。于是可得 这里用到了的正交性质，即转置矩整等于逆矩阵。 证毕。证明2: 先证明考虑有限小转动，这时左边为如果转角为无穷小，则推导中几步近似等号将严格成立。接着，继续绕同一转轴不断进行无穷小转动。这些无穷小转动相乘时，指数可以相加，就得到有限转动的公式。 接着，再证极化矢量之间的关系证毕。 总之，当中子穿过板状磁场时，其自旋波函数经受一个变换，而同时极化矢量则经受与此相应的空间转动。举两个例子说明。其一为一单色热中子束，在中子干涉仪（由整块柱状单晶硅挖成“山”字形做成）的A点由于Laue散射而被分解成透射和衍射两束，然后分别在B和C点经过反射，交汇于D点。其中一束穿过一个横向板状均匀磁场区域，距离为。假定从A到D这两条路径除磁场外，程差完全相等。在入射中子的极化方向平行于磁场的情况下，求出点D的强度依赖于、和中子波长的关系。解：设AC束前进方向为y，按题设，于是。由于两条空间路径相同，且中子不带电荷，磁场对中子空间波函数不起作用，加之程差完全相等，故空间波函数对D点的干涉不起作用。D点干涉强度只决定于自旋波函数的相干叠加。它正比于 即 （9.21）值得注意的是，当ACD分支穿过这个磁场区时，若选择l（或）使极化矢量转过总角度=2，这时，但此分支自旋波函数并未完全还原，而是出一个的位相，使得D点的相干叠加呈现极小。这正是（此处为1/2自旋）波函数旋量性质的体现：波函数在空间转动2时会出负号，只当转过4时它才完全还原。中子干涉量度学利用这种旋量干涉实验证实了这一点：中子的波函数的确是个旋量波函数。例2非相对论中子的自旋回波共振（spin-echo）。在上例中子干涉仪中，如图放置两个方向平行或反平行的板状磁场，则D点的波函数为这里，（i=1,2）,为两个磁场区域中极化矢量的转动角矢量（方向分别为两个磁场方向），为矢量的单位方向矢量，为无磁场时态矢。注意，只和自旋有关的变换对空间局域态矢不起作用。于是，在D点处中子计数强度将正比于此式即为 （9.22）这里正比于无两个磁场时D点中子计数强度。如果两个磁场的强度、长度相同，但方向相反，就成为中子自旋回波共振装置（实践中，如l、不等，总可以调整产生磁场的线圈电流强度，使D点达到中子计数率的极大值即可），好象天平的两臂，达到了平衡。这时。由于这是位相平衡，十分灵敏，一旦在两臂之一施加某种影响（比如在一段路径上加入物质薄层，这相当于加入移动位相的相移器），平衡极易遭破坏，D点中子计数率将会明显变化。由这种（以及类似的）安排，在中子干涉仪上完成了大量有关检验量子力学基本原理的实验研究和实际测量，形成了具有高精密度的中子干涉度量学。详细情况可参见前面有关文献。3,均匀磁场下入射自由电子的运动 Landau能级这时，矢势，Hamilton量为 (9.23)注意这里没有略去项，即未做磁场的线性近似。由于H中不显含、，所以相应的正则动量分量、守恒。但要注意，守恒的是正则动量，不是机械动量。实际上，方向的机械动量并不守恒。只有既是正则动量又是机械动量。于是只有方向速度恒定并可连续变化，而方向速度并不恒定。因此，虽然波函数可写为此处指数上的不是守恒力学量的算符，而是其本征值，具体数值由自由粒子的初条件决定。注意，由规范变换导致的(9.7)式可知，此处波函数可以有一个任意(不含时间和变数的)相因子的不确定性。因此，即便初条件给定了值，进入磁场后也不再确定。与此相应，将此表达式代入定态方程，化简为关于y的谐振子方程，便求得能量表达式为 （9.24）此式也不含的初值，只含的初值。由（9.24）式知道，自由带电粒子在垂直于磁场的平面内（面）能谱是分立的，呈现为谐振子能谱，称为Landau能级。这是磁场中带电粒子作平面回旋波动自身干涉的结果。而沿磁场方向（轴）仍为自由运动。另外，的表达式还表明，磁场中自由带电粒子的磁附加能为正值，因此具有反磁性。9.4Aharonov-Bohm(AB)效应经典力学中,描述电磁场和带电粒子运动的Maxwell方程和Lorentz力公式都是用场强表达的。电磁势的引入只为数学上的方便,并不具有物理意义，只有在规范变换下不变的场强才有物理意义。在量子力学中，电磁场下的方程虽然用电磁势来表示，但由于电磁势经规范变换后仅仅导致波函数多一个定域相因子(方程定域规范变换不变性), 因此人们一直认为在量子力学中，也如同在经典力学中一样, 只有电磁场的场强才具有可观测的物理效应，电磁势不具有直接可观测的物理效应。但是，1959年Aharonov和Bohm提出 Y.Aharonov, Q.Bohm, Phys. Rev., 115, 485 (1959)。, 在量子力学中，电磁势有直接可观测的物理效应。现在对此现象的原理给以简明解释和分析张永德, 大学物理, 第6期, 第1页, 1992年。1,磁AB效应为节省篇幅，这里只讲述磁AB效应，关于电AB效应参见所引文献。AB效应是个表面上看去很奇异的量子效应。它表明，在某些电磁过程中，电磁场场强(注意，它们都是对势函数空间坐标的导数，所以只能体现势函数的空间局域性质)不能有效地描述带电粒子的量子行为。这可用如图的理想实验来说明。在电子双缝实验的缝屏后面两缝之间放置一个细螺线管。通电后管内0；但管外=0，矢势0。这个细螺线管产生一细束磁力线束，称为磁弦。下面理论分析表明, 相对于未通电的情况来说，通电后，接受屏上干涉花样在包络(图中虚线所示轮廓线)不变情况下，所有极值位置都发生了移动；电流变化峰值位置跟随变化；电流反向峰值位置也反向移动。下面对此作相应的理论分析。由于电子Young氏双缝实验装置总是应当保证两个缝，处电子波函数的分解是相干的，所以在两缝处电子波函数位相差必定是固定的。不失一般性，可以假设它们相同，将其简化为下图，通电之前，C点的合振幅为。 通电之后， 。于是有直接验算即知，此方程的解为 (9.25)注意，此处相因子在0的区域与路径有关（不仅与两端点有关），因而是不可积的;只在=0的区域与路径无关(这正说明，磁场毕竟是一种物理的实在，不能通过数学变换将其仅仅只转化为某种相因子)。这个相因子存在表明，即使粒子路径限制在电磁场场强为零的区域，粒子不受定域的动力学作用，但电磁势（沿粒子路径的路径相关积分）仍会影响到粒子的位相。于是，在通电情况下，C点的合振幅成为 （9.26）这里，指数上线积分的脚标1和2表示积分分别沿路径1和2进行。大括号外的相因子是新增加的外部相因子，没有可观测的物理效应，可以略去;但是大括号内前的相因子为新增加的内部相因子,它改变了两束电子在C点的相对位相差，从而改变了双缝干涉的极值位置。这个内部相因子还可改写为 (9.27)这里是由路径1和2所包围面积内的磁通。由于这个相因子并不改变单缝衍射的强度分布，所以在条纹移动时，诸条纹极值的包络曲线仍不变。这些结论很快即为实验所证实 R.G.Chamber, Phys. Rev.Lett., 5, 3(1960).。2,向电磁AB效应的推广众所周知，电磁现象是Lorentz变换不变的，磁的和电的现象经过Lorentz变换可以相互转换。因此上面磁AB效应应当扩充，成为包括电AB效应在内的Lorentz变换协变的形式。这时，由于和，上面关于相因子的路径积分应当扩充成为于是，这个不可积相因子就成为如下形式 (9.28)注意，由于在Lorentz变换下是个标量，总的电磁AB效应是Lorentz变换不变的。同时，总的电磁AB效应也是规范变换不变的。因为，对于任一可微函数所引导出的规范变换上面的闭曲线积分相应为。3,几点讨论i,关于场强表述和势表述哪个基本的问题。 AB效应表明，用场强不能完全描述全部可观测的微观电磁现象，或者说，就量子力学所描述的微观世界而言，所提供的信息不足。但是，势是规范变换可变的，因此它们虽然能描述全部微观电磁现象，却提供了过多的信息，就是说，也包括了非物理的信息。只有在规范条件约束下的势既能描述全部电磁现象，又很少（并非完全没有！）提供多余的非物理的信息。更准确地说，电磁现象正是不可积相因子(9.29)的规范不变的表现 T.T. Wu, C.N. Yang, Phys. Rev. D, 12, 3845 (1975)。ii,电磁场的局域性与整体性问题。按一般考虑，一个物理的事物应当是Lorentz变换协变的和规范变换不变的。以前宏观电磁场现象描述中所使用的场强张量(9.30a)的确能满足这两个不变性的要求，可以作为物理量。但它们都是一些关于电磁势场函数的微分量，只表征了势场的局域性质。细心分析即知，满足这两个一般要求的数学结构并非只有这种微分的形式。现在，AB效应中不可积相因子上的闭合回路积分 (9.30b)也能满足这两个不变性要求。于是它也可以作为一种物理的事物，而表现出可观测的物理效应。然而，现在的这种（具有不变性的）形式并非是微分量而是积分量，因而体现了势场的整体性质。所以说，AB效应正是电磁势作为空间场的整体拓扑性质的物理体现（缝屏后面的矢势场不是曲面单连通区域，而是曲面多连通区域）。以前全部宏观电磁现象只是电磁势场局域性质的物理体现（也就无法表现势场的非平庸的拓扑性质） 事实上，现在这个不可积相因子是更一般的Berry相因子在最简单的Abel规范场电磁场下的表现，体现了缝屏之后这个场的非平庸的拓扑性质。Berry相因子的显著特点是其不可积性质。虽然表面上看它们来自动力学方程，但实质上却是来自系统哈密顿量中辅助空间的整体几何性质，并非显示方程的动力学性质。参见李华钟著，简单物理系统的整体性，上海科学技术出版社，1998。iii,AB效应并不证明微观世界有超距作用存在 以下推导借鉴E. Merzbacher, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons. Inc., 1970, P. 596。设磁场中带电粒子，此时Hamilton量为(9.31)于是速度算符为 （9.32）而量子Lorentz力算符为其中，第i分量方程为(重复指标求和)这里 最后得.即(9.33)这个关于磁场中Lorentz力的量子化算符公式表明，量子的Lorentz力公式可以直接由经典的Lorentz力公式经一次量子化得到。和经典物理学一样，此处方程右边的力的表达式中，当时当地的力只和当时当地的参量（即当时当地的和）有关，这说明微观世界也不存在超距作用力。9.5超导现象的量子理论基础1,超导体中的流密度与London方程低温下，许多金属与合金中的导带电子由于长程相干而大量耦合成Cooper对，构成无相互作用的玻色气体。它们的流动形成超导电流，这一电流不服从欧姆定律 当然，一般也存在未配对的电子，它们的行为服从欧姆定律，即。对于Cooper对组成的玻色气体，其概率幅可以记为 (9.34)这里为Cooper对玻色子的密度，由于超导体的均匀性，下面推导中假定它为常数。将它代入流密度表达式中，这里为此玻色子的有效质量，并且为它的电荷，得于是超导电流密度为对此式取旋度，注意梯度的旋度为零，以及，得到 (9.35)这就是早期超导唯象理论中的London方程。2,Meissner效应这个实验效应是说：块形超导体在外磁场中是个相当理想的抗磁体，其内部（除表面薄层以外）。由London方程出发，用Maxwell方程消去，即可解释这一效应。因为根据Maxwell方程，第二个方程中为电磁场中的外电流和电荷。对，有考虑到现在是稳定情况，有代入London方程，利用，即得 （9.36）称为London穿透深度，约为量级。这样称呼是因为，对于一维情况，按照这个方程，块体外部的磁场穿入超导体时应呈现如下衰减的规律 (9.37)数值正是这种衰减的度量。由此，除表面薄层外，在超导体内部应有。3,磁通量量子化（及磁荷）设有一细环状超导体，环内有一磁场。取超导体内部离开表面的一条回路,在这条回路上处处有于是在绕一圈后波函数的位相变化为这里为超导环中的磁通量。由于在当前Cooper对近似中，和都是可观测的量，因此必须是单值函数。这要求上式左边位相变化只能是的整数倍，即 (9.38) （9.39）这里。结果说明，超导环中的磁通是量子化的，它最小单位为。由这里磁通最小数值，可以导出磁单极子即磁荷的最小单位g假定它存在的话。因为这时有设g位于坐标原点，取g上方的半个球面，通过半个球面的磁通就将是这个最小磁通。即有 于是得到 或 （9.40）这就是Dirac早在1931年预言的关于磁荷与电荷关系的著名公式（Proc.Roy.Soc., A133,60(1931)）。但迄今实验上并未找到磁荷，所以以上论断在物理上是有问题的。4,超导Josephson结的AB效应i,直流和交流Josephson效应及单结磁衍射现象。这是超导电子对从一个超导体穿过薄绝缘层进入另一超导体的隧道贯穿现象。两块超导体和中间薄绝缘夹层构成一个Josephson结。实验表明，当结的两端不加任何电磁场时，有直流电流通过，称为直流Josephson效应；当结上加了直流电压时，有射频交流电流通过，称为交流Josephson效应；当结上存在恒定磁场时，出现电流强度随磁通变化的单结磁衍射现象。它们的物理机制统一简述如下。设结的左、右方超导体中电子对的概率幅分别为；用唯象地表示结的特征常数，即，表示结两边电子对由于耦合作用造成的隧道效应。由于绝缘层很薄，这种量子作用只与一次方有关，的量纲是频率。设结上加有电压V和磁场（见图），和的方程为 (9.41)这里q是电子对的电荷。由于横向穿过结，绝缘层以及两边超导体相邻的薄层内有存在，这使电子对穿过结时获得附加相因子。令,代入第一个方程，并乘以，得这里。分开方程的实部和虚部，得对第二个方程作类似计算，得假定结两边的超导体相同，可令，得积分即得，将它代入上面表达式，得由于分别正比于从2贯穿到1和从1贯穿到2的隧道电流，将两个的方程相减，即得流过结的总电流密度和位相差的关系 (9.42)下面对计算结果(9.42)式做些讨论：第一， 当V=0时， （9.43）说明此时结上有直流电流流过。这即是直流Josephson效应。第二， 当结上加了直流电压V时，结上流过交流电流，其频率为。这就是交流Josephson效应。当 V=1微伏时，=3039兆周，是微波频率范围，伴有相同频率的电磁波从结上辐射。说明Cooper对穿过薄绝缘层时，势能降低了V，一对（或多对）Cooper对所降低的能量将以1个（或多个）光子的能量（或n）放出。通过测量直流电压V和交流频率，可以得到非常精确的数值。第三， 当结上只有磁场时，流过结的电流密度为 （9.44）而流过结的总电流是此式对（x-y）截面的积分。由于，可取，于是，流过结的总电流为 （9.45）这里sinc(f)=(sinf)/f为单缝衍射因子。在对积分时已考虑了紧贴绝缘层的导体表面磁通透入深度约为一个London穿透深度。于是 =（d+2）aB是结的有效截面积内的磁通。（9.45）式表明，总电流I对磁通的振荡关系类似于光学中的单缝衍射花样，所以称为单结磁衍射现象。ii,Josephson结的AB效应。其实，上面单结磁衍射现象中已含有AB效应。这里再研究两个并联Josephson结中间有磁弦通过的情况（如图），此时AB效应更为明显。按前面AB效应的论述，环绕磁弦一周将出现一相因子，这里。于是流过每个结的电流为 （9.46）这里已假定两个结完全一样，从而两个单结的位相差相同。由此得到这两个并联结的总电流 （9.47）sin正比于单结衍射因子，代表双结干涉因子，这已为实验所证实。值得指出，利用Josephson结的AB效应，可以制成各种高灵敏度的超导量子干涉器件（Superconducting Quantum Interference Device, 缩写为SQUID）。9.6电磁场真空态的能量和Casimir效应 以上各节详细阐明了非相对论量子力学范围内的电磁相互作用，讨论了非相对论的各类粒子在电磁场中的束缚和非束缚运动，给出了超导体的一些基本电磁效应以及电磁场的整体拓扑效应。本节继续贯彻量子逻辑，将它用于电磁场本身，指出电磁场的另一个重要量子性质：电磁场的真空态具有无穷大能量。在一般情况下，这个无穷大能量无法直接观测，但在某些特殊情况下它能表现出可观测的效应。1, 电磁场的真空态及其能量 由Planck对黑体腔内电磁场的处理，和其后大量工作可以知道，量子力学观点是处理腔内电磁场的唯一正确观点。这就是，腔内电磁场是一系列各种频率量子谐振子的集合，集合整体便是量子电磁场。具有各种频率和量子数的量子态就是量子电磁场在该频率下的各种激发态，而便是相应的场量子。构成电磁场的振动模数目量子谐振子的数目有无穷多，也即量子电磁场（即便场分布是局域的）的自由度有无穷多。而这个量子电磁场的基态没有任何场量子的态（构成场的全体量子谐振子的基态的直积），称之为量子电磁场的真空态，这便是从量子力学观点所理解的经典电磁学的真空。这个真空态显然不是一无所有的“虚无”，它只是表明不存在各种场量子而已（仿佛是一段紧绷未经激励的琴弦，其上虽无任何振动模存在，但并非是一无所有的“虚无”，而是一个物理系统最低能量状态）。然而，量子谐振子基态是存在零点振动和零点能的。因此，合理的预期是，量子电磁场的真空态也存在着零点振动和零点能。量子电磁场全体模的这种零点振动总和称为量子电磁场的“真空涨落”。虽然这种涨落的平均值为零，所以表观上看不出空间中各点有电磁场存在，但涨落的均方值并不为零，应当有“真空涨落”存在。就这样，经典电动力学中的真空，按量子力学的观点来看，其实具有涨落的能量，这便是全体量子谐振子零点能之和。即 量子电磁场真空态能量 （9.48）这个数是无穷大，因为振动模（自由度）的数目为无穷多（何况还有高频的模存在）。虽然如此，由于零点能并不参予量子电磁场状态变化的任何物理过程，因此，一般情况下可以把它当作一个恒定的“本底”事先予以减除，即“定义”它为零，从而不必去理会它究竟是多少。但这并不排除在某种特定情况下，它会表现出可以观测的效应，因为它毕竟是客观存在着的物理事实。2, Casimir效应这是关于量子电磁场真空态能量的一个可观测效应。真空态能量本身不可观测，但它的变化是可以观测的。考虑两块平行并足够大的方形理想导体板，板间距板边长。现在来研究两块板之间体积内振动模的数目。设轴垂直两板。由于很大，在方向几乎无空间区域的限制，对应于波数从到近似连续变化；而两板表面应当为分量波的波节，于是只能取分立值。由于每种波均存在两个横向极化状态，计算模数目应乘以2 实际上当时，不应当乘2，但这不影响下面的计算，因为对的微商消去了的所有波。 注意，一个振动模的零点能为 ，而在附近内的模数目为。于是，放入两块平行板前后，在体积内真空态能量的相对变化为 （9.49） 由此可得两板之间每单位面积上的作用力为 （9.50）令，于是有，代入上式得 （9.51）大括号中的两项都是发散的，但它们之间的差可以是不发散的。为看清这一点，采用Coulomb 场积分中常见的计算技巧（参见第十章第三节）：在被积函数中引入衰减因子，再作积分、求和与相减，完成全部计算之后令，以求得这个有限的差数。于是成为 （9.52）利用展开式 参见 M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook for Mathematical Functions, Dover Publications Inc., New York, 1965, P. 804。 其中为Bernoulli数：，, 。代入表达式，微分之后，令取极限，最后得： （9.53）这里的单位为微米。结果为达因/厘米平方。这是一个十分微弱的吸引力，表明由于两板之间的允许模数目随增大而增大，导致随增大而增大。3，Casimir效应实验与讨论 显然，Casimir效应发源于：两板之间虚光子敲击所产生的光压要小于两板外部虚光子敲击所产生的光压。正是这种压差，造成两板之间的一个吸引力。事实上，Casimir效应有一个完全经典的模拟。它和造成海轮相撞中的吸力有某种相似点。两艘海轮平行航行着，即使没有风，但有汹涌海浪时，如果相距较近，发现有一种相互吸力，使两艘船舷相互靠拢而可能发生碰撞。1996年，Boersma就建议将这种力称作Casimir力的“海事模拟” S.L.Boersma, American Journal of Physics, 64(5):539-541, May 1996。此时的敲击是基于经典的随机的海浪波动场。在Casimir发表文章9年之后，1958年Sparnaay M.J. Sparnaay, Physica, Vol. 24, 751 (1958)。也见C. 依捷克森， J-B. 祖柏尔，量子场论(上)，第185页，科学出版社，1986年。 观测了这个力的大小以及它和板间距离的关系。但可惜误差太大而难以判断效应的存在。关于Casimir效应的最近测量见文献 H.B.Chan,et.al., Science, 291, 1941-1944, March, 9, 2001。关于Casimir效应的详细文献目录见文献 S.K.Lamoreaux, Resource letter cf-1: Casimir force, American Journal of Physics, 67(10):850-861,Oct. 1999。Casimir效应的最新进展总结见文献 M.Bordag, et.al., New developments in the Casimir effect, Physics Reports, 353, 1-205, 2001。最近两本关于腔QED的书 S.M.Dutra, Cavity Quantum Electrodynamics, John Wiley & Sons,Inc., 2005。P.47; P.R.Berman, Cavity Quantum Electrodynamics, Academic Press,Inc., 1994。中也谈到了这个效应。9.7氢原子谱线的Lamb移动1，Lamb移动的物理根源由氢原子方程解可知，主量子数的三个能级、和都是简并的。即使考虑相对论效应，采用氢原子的相对论Dirac方程，其中的和两个能级依然简并着。但是，1947年Lamb和Retherford用射频波谱方法测得氢原子的能级比高出1058兆赫（4.375ev） W. E. Lamb, R. C. Retherford, Phys. Rev., Vol.72, 241(1947)；Phys. Rev., Vol.79, 49(1950).， 这便是著名的氢原子谱线的Lamb移动。有关它的详细准确计算通常在量子场论框架内进行，过程较为琐碎冗长。现按量子力学一阶微扰论和经典理