2018_2019高中数学第3章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切学案苏教版.docx

3.1.3两角和与差的正切学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案tan()，分子分母同除以coscos，便可得到思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用替换tan()中的即可得到梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()，均不等于k(kZ)两角差的正切T()tan()，均不等于k(kZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形1T()的变形tantantan()(1tantan)tantantantantan()tan()tantan1.2T()的变形tantantan()(1tantan)tantantantantan()tan()tantan1.1对于任意角，总有tan().()提示公式成立需，k，kZ.2使公式tan()有意义，只需，k(kZ)即可()提示还应使k，kZ.3若，k，kZ，则tan()tantantantantan()恒成立()4k，且k，kZ时，tan.()类型一正切公式的正用例1(1)已知tan2，tan()，则tan的值为答案3解析tantan()3.(2)已知，均为锐角，tan，tan，则.答案解析因为tan ，tan ，所以tan()1.因为，均为锐角，所以(0，)，所以.反思与感悟(1)注意用已知角来表示未知角(2)利用公式T()求角的步骤：计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练1已知是第四象限角，且sin，则tan.答案解析由题意，得cos，tan.tantan.类型二正切公式的逆用例2(1)；(2).答案(1)(2)1解析(1)原式tan(4515)tan60.(2)原式tan(3075)tan451.反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示跟踪训练2求下列各式的值：(1)；(2).解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式.类型三正切公式的变形使用例3(1)化简：tan23tan37tan23tan37；(2)若锐角，满足(1tan)(1tan)4，求的值解(1)方法一tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.方法二tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.(2)(1tan )(1tan )1(tan tan )3tan tan 4，tan tan (1tan tan )，tan().又，均为锐角，0180，60.反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果跟踪训练3在ABC中，AB，且tanAtanBtanAtanB，则角C的值为答案解析tan Atan Btan AtanBtan(AB)(1tan AtanB)(tan AtanB1)(*)若1tan AtanB0，则cosAcosBsin AsinB0，即cos(AB)0.0AB，AB，与题设矛盾由(*)得tan(AB)，即tan C.又0C，C.1若tan3，tan，则tan().答案解析tan().2已知cos，且，则tan.答案7解析由cos，且，得sin ，所以tan ，所以tan7.3已知tan，则.答案解析方法一因为tan，所以tan3，所以.方法二tantan.4已知A，B都是锐角，且tanA，sinB，则AB.答案解析B为锐角，sinB，cosB，tanB，tan(AB)1.又0AB，AB.5已知3，tan()2，则tan(2).答案解析由条件知3，则tan 2.tan()2，tan()2，故tan(2)tan().1公式T()的结构特征和符号规律(1)公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan与tan的和或差，分母为1与tantan的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”2应用公式T()时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ)(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan1，tan，tan等特别要注意tan，tan.(3)公式的变形用只要用到tantan，tantan时，有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路特别提醒：tantan，tantan，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型一、填空题1若tan，tan()，则tan.答案解析tantan().2.答案解析原式tan(7515)tan60.3若tan28tan32a，则tan28tan32.答案(1a)解析tan(2832)，tan28tan32(1a)4已知tan()，tan，则tan的值为答案解析因为()，所以tan.5.答案解析原式.6已知tantan2，tan()4，则tantan.答案解析因为tan()，所以1tantan，所以tantan1.7设向量a(cos，1)，b(2，sin)，若ab，则tan.答案解析由ab2cossin0，得tan2.tan.8已知，均为锐角，且tan，则tan().答案1解析tan，tantantan1tan，tantantantan1，tantan1tantan，又，均为锐角，tantan1tantan0，1，tan()1.9若(tan1)(tan1)2，则的最小正值为答案解析(tan 1)(tan 1)2，tan tan tan tan1，tan()1.k，kZ.的最小正值为.10在ABC中，tanAtanBtanC3，tan2BtanAtanC，则B.答案60解析由公式变形得tanAtanBtan(AB)(1tanAtanB)tan(180C)(1tanAtanB)tanC(1tanAtanB)tanCtanAtanBtanC.tanAtanBtanCtanCtanAtanBtanCtanCtanAtanBtanC3.又tan2BtanAtanC，tan3B3，tanB，又B是三角形的内角，B60.11.如图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD236，则tanBAC.答案解析ADBC且BDCDAD236，tanBAD，tanCAD，tanBACtan(CADBAD).12若，均为锐角，tan(1m)，(tantanm)tan0，则.答案解析由已知得tanm，tantantanm，得tantan(1tantan)，tan()，0，0，0，.二、解答题13已知tan，tan2，求：(1)tan的值；(2)tan()的值解(1)tantan.(2)tan()tan23.三、探究与拓展14如果tan，tan是方程x23x30两根，则.答案解析由题意得tantan3，tantan3