有限元法的直接刚度法.ppt

单元分析方法： 1、直接刚度法 2、数值法：变分法；加权余量法（参照清华教 材） 第二章 有限元法的直接刚度法 【教学目的和教学要求】 掌握有限元求解问题的基本过程，掌握有限 元法的基本原理。 授课大纲 2.1直梁的有限元分析 2.2 平面刚架的有限元分析 引子 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象 。 真实系统有限元模型 2.1直梁的有限元分析 有限元法基本概念 结构（或连续体）离散（有限元建模） 1）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷 处理为节点约束和节点载荷 要求 1）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特 性 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特 性和物理特性的最小结构域。简言之，将连 续体用假想的线或面分割成有限个部分，各 部分之间用有限个点相连。本书中，两个节 点之间的杆件构成一个单元。 节点：单元与单元间的连接点。 节点位移：结构在受力变形过程中节点位置 的改变。分为线位移与角位移，单元类型不 同，节点位移不同。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用 力。 节点载荷：作用于节点上的外载。节点载荷 包括直接作用在节点上的外载荷和等效移置 到节点上的载荷。 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。 载荷 载荷 注意 1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型 中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元 边界不传递力，这是离散结构与实际结构的 重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数 学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即 “自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS 分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25 ，000，000个刚度系数。 2.1.1划分单元 单元：应该是规则形状的简单几何体，以便进行单元分析 。 常用的单元形式 线性元： 精密元： 等参元：（曲边、直线边均可） 离散化模型 弹性力学问题的位移法中，节点大都为铰接点 单元节点数：r 结构节点数：n 节点自由度：Wi - 节点上独立参变量的个数， 按位移求解时： 杆件结构的节点可按以下原则选取： 杆件的交点一定要选为节点。 阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 支承点和自由端要取为节点。 集中载荷作用处要取为节点。 欲求位移的点要取为节点。 单元长度不要相差太多。 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结 构划分的单元如图2.1(b)所示。 图2.1 直梁及其有限元模型 2.1.2 以节点位移表示单元节点力 任取一单元进行分析。根据材料力学的知识， 梁单元上每个节点的节点位移分量有2个：挠 度和转角，一般规定，向上为正，逆时针为正 。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点 位移。 （2-1） 上图所示梁单元有i、j两个节点，共有4个节点位移分量 ：fi、i、fj、j，可用一个列阵表示，称为单元的节点位 移列阵。 梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：剪 力Q、弯矩M。 所以，梁单元上每个节点的节点力有2 个，用q、m来表示，规定：q向上为正，m逆 时针为正 写成列阵形式，表示 i 节点的节点力。 上图所示梁单元共有4个节点力分量：qi、mi 、qj、mj，可用一个列阵表示，称为单元的节点 力列阵。 梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力Z 和力偶M，一般规定，Z向上为正，M 逆时针为正。 写成列阵形式，表示节点的节点载荷。 梁单元共有4个节点载荷分量：Zi、Mi、Zj、Mj ，可用一个列阵表示，称为单元的节点载荷列阵。 节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点 之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力 是内力；而节点载荷是结构在节点上所受到的外载荷 或等效移置到节点上的外载荷。 梁单元的每个节点有2个节点位移分量（挠度f 和转角），我们称每个节点有2个自由度。图2.1 所示的梁结构共有4个节点，8个位移分量，我们称 整个梁结构有8个自由度。 图2.1所示梁上全部节点的节点位移分量可用 一个列阵表示，称为结构的节点位移列阵，全部节 点的节点载荷分量可用一个列阵表示，称为结构的 节点载荷列阵。 根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的 前提下，节点力和节点位移之间是线性关系。所以， 单元的节点力和节点位移的关系可以表示为： 写成矩阵形式： 简写为 : 式中： 为单元节点力列阵 为单元节点位移列阵 为单元刚度矩阵 ，是描述单元节点力和节点 位移之间关系的矩阵 （2-11） 单元刚度矩阵中各元素的物理意义： 在j点固定，令i点有如图所示的位移，即有 图2-3（a） 代入公式中，得 a11的物理意义：单元第个节点位移分量等于1，其它节点位 移分量等于0时，对应的第1个节点力分量。a21的物理意义：单元 第个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的 第2个节点力分量。a31的物理意义：单元第个节点位移分量等于 1，其它节点位移分量等于0时，对应的第3个节点力分量。a41的物 理意义：单元第个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于 0时，对应的第4个节点力分量。 （2-12） 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义：单元第l个 节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时， 对应的第m个节点力分量。 求单元刚度矩阵的第一列元素，由叠加原理，可得 单独作用所产生的位移 单独作用所产生的位移 图2-3（b） 图2-3（b）中 图2-3（b）中 解方程得 对梁单元分析受力，列平衡方程 图2-3（c） 解方程得 单元刚度矩阵中第二列元素的物理意义是：fi=0， i=1，fj=0，j=0时，作用在单元节点上的节点力 求单元刚度矩阵 的第二列元素由叠加原 理，可得： 解方程得 图2-4 单元刚度矩阵 第二列元素的意义 （2-20） 对梁单元分析受力，列平衡方程，解得 （2-21） 同理，可求出单元刚度矩阵中的第三、