Chapter2-2传递函数.ppt

CHAPTER 2CHAPTER 2 Mathematical Models of SystemsMathematical Models of Systems 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 By 柳春平 *1Chapter 2-1 Outline of this chapter Introduction Differential Equation of Physical Systems Transfer Function State Equation of Systems Analogous circuits (similar system) Block Diagram, Signal Flow Graphs Linearization The relation of various models Date2Chapter 2-1 Transfer Function 传递函数 *3Chapter 2-1 传递传递 函数 传递函数是控制理论中一个最基本、最重要的 概念，在控制理论中有非常重要的作用。 定义- 线性定常系统的传递函数，零初始条 件下， 系统的输出量的拉氏变换与输入量的拉 氏变换之比。 拉氏变换算子 S G(s) U(s)Y(s) Date4Chapter 2-1 传递函数的概念 图1所示的RC电路中电容的端 电uc(t)根据基尔霍夫定律，可列 写如下微分方程： (1) (2) 消去中间变量i(t)，得到输入ur(t)与输出uc(t) 之间的线性定常微分方程: (3) 图1 RC电路 Date5Chapter 2-1 现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的 初始电压uc(0)，得: (4) 式中: Uc(s) 输出电uc(t)的拉氏变换； Ur(s) 输入电压ur(t)的拉氏变换。 当输入为阶跃电压ur(t)= u01(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换， 即得 uc(t)的变化规律: 由上式求出Uc(s)的表达式: (5) 传递函数的概念 Date6Chapter 2-1 (6) 式中第一项称为零初始条件响应， 由ur(t)决定的分量； 第二项称为零输入响应， 由初始电压uc (0)决定的 分量。 图2表示各分量的变化曲线， 电容电压uc (t)即为两者的合成。 图2 RC网络的阶跃响应曲线 零输入状态响应 零输入响应 全响应 传递函数的概念 Date7Chapter 2-1 在式(6 )中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用， 则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur (t)和初始电压uc (0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0， 则有 : (7) 当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完 全由1/(RCs+1)所确定，式(7)亦可写为: (8) 当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的 象函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。 传递函数的概念 Date8Chapter 2-1 用式(8)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为： 式中T=RC。显然，传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。 图3 传递函数 传递函数可用图3表示。该图表明了电路中电压的传递关 系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 对传递函数作如下表述： 线性（或线性化）定常系统在零 初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称 为传递函数。 传递函数的概念 Date9Chapter 2-1 一般地，若线性定常系统由下述n阶微分方程描述： (9) 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1， an，b0，b1，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，在初始条件为零时，对 式(9)进行拉氏变换，可得到s的代数方程： ansn+an-1sn-1+a1s+a0C(s) =bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0R(s) 传递函数的概念 Date10Chapter 2-1 由传递函数的定义，由式(9)描述的线性定常系统的传递函数： 式中 N(s)= bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0为传递函数的分子多项式； D(s)= ansn+an-1sn-1+a1s+a0为传递函数的分母多项式。 (10) 传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义 的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量 及其各阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶 导数在t=0时的值也为零。 传递函数的概念 Date11Chapter 2-1 传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义式(10)可知，传递函数具 有以下性质： 1. 传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m 低于或等于分母的阶数n （mn） ，且所有系数均为实数。 2. 传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 (11) 3. 传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 将式(10)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如下 形式： Date12Chapter 2-1 w 式中k为常数，z1 , zm为传 递函数分子多项式方程的m个 根，称为传递函数的零点；p1 , pn为分母多项式方程的n个 根，称为传递函数的极点。 w 一般zi, pi可为实数，也可为 复数，且若为复数，必共轭成 对出现。将零、极点标在复平 面上，则得传递函数的零极点 分布图，如图4所示。图中零点 用“O”表示，极点用“ ”表示。 G(s)= 图图4 零极点分布图图 传递函数的性质 Date13Chapter 2-1 5. 传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输 入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。 4. 若取式(10)中s = 0，则： 或 b0 /a0恰为输出输入时静态比值。 常称为静态放大系数。从微分方程式(9) 看，s=0相当于 所有导数项为零，方程蜕变为静态方程 传递函数的性质 Date14Chapter 2-1 传递函数表示成典型环节表达形式： 系统的稳态增益； 特点：s幂次方为零项的系数为1 ； ； Date15Chapter 2-1 系统的零点； 零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。 系统的极点， 个零极点。 其中有 增益因子。 传递函数表示成零、极点表达形式： 和有如下关系 Date16Chapter 2-1 控制系统的频域数学模型频率特性 只要将系统传递函数中的用便可获得系统代替, 的频率特性。 传递函数: 频率特性: Date17Chapter 2-1 N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。 特征方程 Date18Chapter 2-1 典型环节及其传递函数 控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基 本环节，也就是典型环节。 图 5(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图 5(b)所示 。 图图5 比例环节环节 图图5(a) 图图5(b) 比例环节的传递函数为： G(s)= K (12) 输出量与输入量成正比，比例环 节又称为无惯性环节或放大环节。 （一）比例环节（又叫放大环节 ） Date19Chapter 2-1 电位器： 输入：(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压 运动方程： u(t)=K(t) 传递函数： K比例系数，量纲为伏/弧度。 频率特性： G（j）=K Date20Chapter 2-1 齿轮系：输入：n1(t)转速 Z1主动轮的齿数 输出：n2(t)转速 Z2从动轮的齿数 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date21Chapter 2-1 其它一些比例环节 Date22Chapter 2-1 （二）惯性环节(又叫非周期环节) 传递函数为如下形式的环节为惯性环节： 当环节的输入量为单位阶跃 函数时，环节的输出量将按指 数曲线上升，具有惯性，如图 6(a)所示。 图6 惯性环节 式中 K环节的比例系数； T环节的时间常数。 （13 ） Date23Chapter 2-1 （二）惯性环节 特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date24Chapter 2-1 单容水槽 设单容水槽如图所示，水 流入量Qi由调节阀开度u加 以控制，流出量Qo,则由用 户根据需要通过负载阀来 改变。被调量为水位h，它 反应水的流入与流出之间 的平衡关系。A为液槽横截 面积，R为流出端负载阀门 的阻力即液阻，u表示调节 阀的开度。 Date25Chapter 2-1 在平衡点(h0,Q0)附近进行线性化，得到液阻表达式 流入量与流出量之差为 Ku为阀门流量系数 流出量与液位高度的关系为 可得 Date26Chapter 2-1 u为电热丝两端电压，T1为炉 内温度。设电热丝质量为M，比 热为C，传热系数为H，传热面积 为A，未加温前炉内温度为T0， 加热后的温度T1，单位时间内电 热丝产生的热量为Qi，则根据热 力学知识，有 电加热炉 Date27Chapter 2-1 由于Qi与外加电压u的平方成比例，故Qi与u呈非线性关 系，可在平衡点 (Q0,u0)附近进行线性化，得 于是可得电加热炉的增量微分方程 为温度差 加热炉时间常数 加热炉传递系数 Date28Chapter 2-1 其他一些惯性环节例子 Date29Chapter 2-1 （三）积分环节 它的传递函数为: (14) 当积分环节的输入为单位阶 跃函数时，则输出为t/T，它随 着时间直线增长。T称为积分时 间常数。T很大时惯性环节的作 用就近似一个积分环节。 图 7(b)为积分调节器。积分 时间常数为RC。 图7 积分环节 Date30Chapter 2-1 （三）积分环节 特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date31Chapter 2-1 其它积分环节举例 Date32Chapter 2-1 （四）微分环节 理想微分环节传递函数为: G(s) = T s (16) 输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为 c(t)=T(t)，是个脉冲函数。 理想微分环节的实例示于图 8(a)、(b)。其中(a)为测速发 电机。图中(b)为微分运算放大器。 在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为： (17) Date33Chapter 2-1 它由理想微分环节和惯性环节组成，如图8(c)、(d)所 示。在低频时近似为理想微分环节，否则就有式(16)的传 递函数。 图8 微分环节 （四）微分环节 Date34Chapter 2-1 特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 （四）微分环节 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date35Chapter 2-1 其他微分环节举例 Date36Chapter 2-1 （五）振荡环节 振荡环节的传递函数为： (18) 式中: wn -无阻尼自然振荡频率，wn=1/T； 阻尼比，0 1。 图9所示为单位阶跃函 数作用下的响应曲线。 图9 振荡环节的单位阶跃响应曲线 Date37Chapter 2-1 特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 （五）振荡环节 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date38Chapter 2-1 RLC电路 运动方程： 传递函数： 频率特性： Date39Chapter 2-1 无源网络 无源网络通常由电阻、电容和电感组成，可以用两种 方法求取无源网络的传递函数，一种方法是先列写网络的 微分方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，从而得到 输出变量与输入变量之间的传递函数；另一种方法是引用 复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。 由图可直接写出电路的传递函数为 Date40Chapter 2-1 两个RC网络不相连接时，可视为空载，其传递函数分别 是 ： 负载效应 Date41Chapter 2-1 若将两个RC网络直接连接，则由电路微分方程可求得连 接后电路的传递函数为 负载效应 中增加的项是由 负载效应产生的。 隔离放大器 这时，要求后段网络的输入阻抗足够大， 或要求前级网络的输出阻抗趋于零，或在两级网络之 间介入隔离放大器。 Date42Chapter 2-1 （六）延滞(delay,纯滞后)环节 延滞环节是线性环节， t 称为延滞时间（又称死时 deadtime）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。 如图10所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间t 后才出现阶跃信号，在01t 内，输出为零。 图10 延滞环节 Date43Chapter 2-1 延滞环节的传递函数可求之如下： c(t)= r(tt) 其拉氏变换为: 式中x = t-t，所以延滞环节的传递函数为: 系统具有延滞环节对系统的