浙江高考数学第八章立体几何8.4空间向量及其运算课件.pptx

8.4 直线、平面垂直的判定与性质 -2- -3- -4- 知识梳理双击自测 1.直线与平面垂直 (1)定义:若直线l与平面内的 一条直线都垂直,则直线l 与平面垂直. (2)判定定理和性质定理: 任意 两条相交直线 ab=O 平行 -5- 知识梳理双击自测 2.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 , 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作 与棱 的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的平面角的范围:0,. 锐角 两个半平面 垂直 -6- 知识梳理双击自测 4.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 , 就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理和性质定理: 直二面角 垂线 交线 l -7- 知识梳理双击自测 1.(教材改编)下列命题中错误的是( ) A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于 平面 C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面 D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 答案解析解析 关闭 对于D,若平面平面,则平面内的直线可能不垂直于平面,即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面内,其他选项易知均是正确的. 答案解析 关闭 D -8- 知识梳理双击自测 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与平面BB1D1D所成的角的大小 是( ) A.90B.30 C.45D.60 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -9- 知识梳理双击自测 3.(2018北京高三模拟)已知正方体ABCD-ABCD,记过点A与三条 直线AB,AD,AA所成角都相等的直线条数为m,过点A与三个平面 AB,AC,AD所成角都相等的直线条数为n,则下面结论正确的是( ) A.m=1,n=1B.m=4,n=1 C.m=3,n=4D.m=4,n=4 答案解析解析 关闭 连接AC1,显然AC1与AB,AD,AA所成角都相等. 在平面ACC1A1,ABC1D1,AB1C1D中都可以过点A作一条不同于AC1的直 线与AB,AD,AA所成角都相等,所以m=4. 易知AC1与三个平面AB,AC,AD所成角都相等. 同理在平面ACC1A1,ABC1D1,AB1C1D中都可以过点A作一条不同于AC1 的直线与AB,AD,AA所成角都相等,所以n=4. 答案解析 关闭 D -10- 知识梳理双击自测 4.(教材改编)P为ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射 影. (1)若P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC的 心; (2)若PABC,PBAC,则O是ABC的 心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是ABC的 心. 答案解析解析 关闭 (1)P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,可知O到ABC三边距 离相等,即O是ABC的内心; (2)由PO平面ABC且BC平面ABC,得POBC, 又PABC,PO与PA是平面POA内两条相交直线, 所以BC平面POA,从而BCAO. 同理ACBO,所以O是ABC的垂心; (3)由PA,PB,PC与底面所成的角相等,易得 RtPOARtPOBRtPOC,从而OA=OB=OC,所以O是ABC的外 心. 答案解析 关闭 (1)内 (2)垂 (3)外 -11- 知识梳理双击自测 5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相 等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面 MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案解析解析 关闭 由定理可知,BDPC. 当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD, 而PC平面PCD,平面MBD平面PCD. 答案解析 关闭 DMPC(或BMPC等) -12- 知识梳理双击自测 自测点评 1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异 面、相交等. 2.线面垂直的关键是线线垂直,通过线线垂直证明线面垂直;反过 来也可通过线面垂直证明线线垂直. -13- 考点一考点二考点三考点四 垂直关系的相关命题的真假判断(考点难度) 【例1】 (1)设,是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题 : 若m,则m,;若m,则m.则 ( ) A.都是假命题 B.是真命题,是假命题 C.是假命题,是真命题 D.都是真命题 答案解析解析 关闭 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,所 以正确;若m,则m与不一定垂直,所以错误.故选B. 答案解析 关闭 B -14- 考点一考点二考点三考点四 (2)给出下列四个命题: 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线 与这个平面垂直; 过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直; 如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行,那么a; 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半 平面,则这两个二面角相等. 其中的真命题为( ) A.B.C.D. 答案解析解析 关闭 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条平行直线,那么这条直线不一定 与这个平面垂直,错;一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面 角的两个半平面,则这两个二面角可能相等也可能互补,错;真命题为 ,故选C. 答案解析 关闭 C -15- 考点一考点二考点三考点四 方法总结解决此类问题常用的方法: (1)依据定理条件才能得出结论的,可结合符合题意的图形作出判 断; (2)否定命题时只需举一个反例; (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选. -16- 考点一考点二考点三考点四 对点训练(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面( ) A.若mn,n,则m B.若m,则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -17- 考点一考点二考点三考点四 (2)在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45, BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三 棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( ) A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BCD C.平面ABC平面BCD D.平面ADC平面ABC 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -18- 考点一考点二考点三考点四 直线与平面垂直的判定与性质(考点难度) 【例2】 如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE平面 ABCD,DAB=ABC=90,AB=BC=1,AD=ED=3, EC=2. (1)证明:AB平面BCE; (2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值. -19- 考点一考点二考点三考点四 分析:(1)推导出ECCD,从而CE面ABCD,再由 CEAB,ABBC,由此能证明AB平面BCE. (2)过A作AHDC,交DC于H,则AH平面DCE,连接EH,则AEH 是直线AE与平面DCE所成的角,由此能求出直线AE与平面CDE所 成角的正弦值. (1)证明:DAB=ABC=90,四边形ABCD是直角梯形, AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2. CE2+DC2=DE2,ECCD. 平面EDC平面ABCD,平面EDC平面ABCD=DC, CE平面ABCD.CEAB. 又ABBC,BCCE=C,AB平面BCE. -20- 考点一考点二考点三考点四 (2)解:过A作AHDC,交DC于H,则AH平面DCE,连接EH, 则AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角, -21- 考点一考点二考点三考点四 方法总结1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是 利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条 垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明 线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的 高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的 圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度, 经计算满足勾股定理)、直角梯形等. 3.求线面角通常可以先找到面的垂线,垂足和线面交点的连线是 射影线,射影线和斜线所成角即为线面角. -22- 考点一考点二考点三考点四 对点训练在三棱锥A-BCD中,AB平面 BCD,DB=DC=4,BDC=90,P在线段BC上,CP=3PB,M,N分别为 AD,BD的中点. (1)求证:BC平面MNP; (2)若AB=4,求直线MC与平面ABC所成角的正弦值. -23- 考点一考点二考点三考点四 (1)证明:MN是ABD的中位线,MNAB. 又AB平面DBC,MN平面DBC.MNBC. 取BC的中点Q,连接DQ,则DQBC. 由PN是BDQ的中位线知PNDQ,PNBC. 又MNPN=N,BC平面MNP. -24- 考点一考点二考点三考点四 (2)解:AB平面PBC,ABQD. 而BCQD,QD平面ABC. 连接AQ,取AQ的中点E,连接EM,EC. 在AQD中,EM是中位线,EMQD. EM平面ABC. MCE就是直线MC与平面ABC所成角. -25- 考点一考点二考点三考点四 平面与平面垂直的判定与性质(考点难度) 【例3】 如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACFE为平行四边形, 设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE= ,EAD=EAB. (1)证明:平面ACFE平面ABCD; (2)若AE与平面ABCD所成角为60,求二面角B-EF-D的余弦值. -26- 考点一考点二考点三考点四 (1)证明:连接EG,四边形ABCD为菱形, AD=AB,BDAC,DG=GB. 在EAD和EAB中,AD=AB,AE=AE,EAD=EAB, EADEAB. ED=EB,BDEG. ACEG=G,BD平面ACFE. BD平面ABCD,平面ACFE平面ABCD. -27- 考点一考点二考点三考点四 (2)解:过点G作EF垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,易得EAC为 AE与平面ABCD所成的角,EAC=60. EFGM,EFBD, EF平面BDM. DMB为二面角B-EF-D的平面角, -28- 考点一考点二考点三考点四 方法总结1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可 转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可. 4.线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂 足,要把线面角转化到一个三角形中求解. -29- 考点一考点二考点三考点四 对点训练 如图(1)所示,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿 BE折起到A1BE的位置,如图(2)所示. (1)证明:CD平面A1OC; (2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD所成锐二 面角的余弦值. -30- 考点一考点二考点三考点四 (1)证明:在图(1)中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD= , 所以BEAC,BECD.在图(2)中,BEOA1,BEOC,又 OA1OC=O,OA1平面A1OC,OC平面A1OC,从而BE平面A1OC. 又CDBE,所以CD平面A1OC. -31- 考点一考点二考点三考点四 -32- 考点一考点二考点三考点四 -33- 考点一考点二考点三考点四 平行与垂直的综合问题(考点难度) 考情分析从近几年的高考来看,空间线、面的平行与垂直的综合 考查一直是高考必考的热点,归纳起来常见的命题角度有:(1)以多 面体为载体综合考查平行与垂直的证明;(2)探索性问题中的平行 与垂直问题;(3)折叠问题中的平行与垂直问题. -34- 考点一考点二考点三考点四 类型一 平行与垂直关系的证明 【例4】 在正三角形ABC中,点E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点, 且满足AEEB=CFFA=CPPB=12(如图1),将AEF折起到 A1EF的位置上,连接A1B,A1C(如图2). (1)求证:FP面A1EB; (2)求证:EFA1B. -35- 考点一考点二考点三考点四 证明:(1)CPPB=CFFA,FPBE. 又BE平面A1EB,FP平面A1EB,FP平面A1EB. (2)不妨设正三角形ABC的边长为3,则AE=1,AF=2,又 EAF=60,EF2=AE2+AF2-2AEAFcosEAF=12+22- 212cos 60=3.EF= 在AEF中,AF2=AE2+EF2,EFAE,即EFAB. 则在图中,有EFA1E,EFBE,A1EBE=E,A1E平面 A1EB,BE平面A1EB,EF平面A1EB. 又A1B平面A1EB,EFA1B. -36- 考点一考点二考点三考点四 类型二 探索性问题中的平行与垂直关系 【例5】 如图,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中 点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使 A1FCD,如图. 图 图 -37- 考点一考点二考点三考点四 (1)求证:DE平面A1CB; (2)求证:A1FBE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由. (1)证明:由题意可知DEBC,DE平面A1CB,BC平面A1CB,所以 DE平面A1CB; (2)证明:由已知,得ACBC,且DEBC. 所以DEAC,则DEDC,DEDA1, 因为DCDA1=D,所以DE平面A1DC. 由于A1F平面A1DC,所以DEA1F. 又因为A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 又BE平面BCDE,所以A1FBE. -38- 考点一考点二考点三考点四 (3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ. 理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQBC. 又因为DEBC,则DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知,DE平面A1DC, 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1CDP. 又DPDE=D,所以A1C平面DEQP. 从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ. -39- 考点一考点二考点三考点四 方法总结平行与垂直的综合应用问题的处理策略 (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索 点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相 似知识设点. (2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折 叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系. -40- 答题规范立体几何解答题答题策略 通过近两年的高考试题看,线线、线面、面面垂直的判定与性质 的应用是考查的重点和热点,主要考查空间想象能力和推理论证能 力,线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面 面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理. 线面角问题主要考查“作、证、算”三部曲.新高考改革背景下主要 以考查线面角为主. -41- 【典例】 (本题15分)(2017浙江湖州高三期末)在三棱柱ABC- A1B1C1中,ABC是正三角形,且A1A=AB,顶点A1在底面ABC上的射 影是ABC的中心. (1)求证:AA1BC; (2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小. -42- 分析:(1)由A1O底面ABC,得A1OBC,再由O是ABC的中心,连 接AO交BC于D,则ADBC,由线面垂直的判定可得BC平面A1AD, 进一步得到AA1BC; (2)取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,由(1)知,BC平面ADD1A1,由 线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角.求解直 角三角形得答案. -43- (1