线性赋范空间泛函有界性研究论.docVIP

目 录1引言12线性赋范空间12.1预备知识12.2线性赋范空间的一些性质33线性有界泛函与共轭空间43.1线性有界泛函43.2线性有界泛函与线性连续泛函53.3共轭空间64线性有界算子104.1线性有界算子定义与举例104.2线性有界算子与线性连续的关系104.3线性算子空间114.4有界性与闭性13致 谢15线性赋范空间泛函有界性研究数学系本1104班 薛菊峰指导教师： 何瑞强 摘要：本文研究的是线性赋范空间泛函有界性。从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的知识点；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出一些相关泛函理论的推导并给出一些相关的例题便于理解和掌握；最后，将泛函有界性推广到两个线性赋范空间之间，从而引入了两个人空间之间的映射即所谓的线性有界算子。因此对线性赋范空间泛函有界性的研究是很有必要的，它有助于研究者的掌握和应用。 关键词：线性赋范空间；线性有界泛函；线性连续泛函；线性有界算子Normed linear space bounded functional studiesXue JufengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor:He Ruiqiang Abstract:This paper studies is a normed linear space functional boundedness.Carries on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge;then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master; finally,the functional boundedness is extended to two linear normed space,then the mapping between the two personal space is called bounded linear operator.So the normed linear space of bounded functional of is very necessary,it is to grasp and study help beginners. Keywords:linear normed space;bounded linear functional;continuous linear functional;bounded linear operatorI1引言 有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在线性赋范空间中几个概念的探讨证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在关于泛函分析中定理的推广对于赋范空间和，从到的全体线性有界算子关于算子范数亦成为赋范空间，且知当是完备空间时，也是完备的。在更广泛的空间类-赋准范数空间中，推广了上述的结果；李晓爱在线性赋范空间上泛函列的一致连续性定理定义了在线性赋范空间上泛函序列强一致连续，弱一致连续和一致收敛的概念，得出了泛函序列强一致连续必弱一致连续；并证明了定义在线性赋范空间X上的泛函序列弱一致连续且又是一致收敛序列时，在上必强一致连续；定义在线性赋范空间X的有界子集D上的强一致连续泛函序列，若满足，则序列是一致收敛的。但总的说来讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对线性赋范空间泛函有界性进行阐述。 本文主要探讨了线性赋范空间泛函有界性的一些性质以及泛函有界性在相关泛函理论方面的推导，全文共分为四个部分。第1章介绍了线性赋范空间泛函有界性的发展概述及问题的提出，以及本论文的主要内容；第2章阐述了与线性赋范空间泛函有界性相关的的一些概念以及其它一些有界性相关的性质；第3章谈论了线性赋范空间泛函有界性与泛函连续性之间的等价关系，并给出相关的例题进行两者之间的等价变换；第4章推广泛函有界性到两个赋范空间中去，得出一些线性有界算子的结论。2线性赋范空间 在距离空间中我们引入了点列的极限，点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推广，但是只有距离结构没有代数结构的空间在应用时受到许多的限制。事实上，应用最多的空间如、 等等。这些空间中的元素不仅可以定义距离还可以定义某些代数运算，本部分主要介绍线性赋范空间，它较距离空间有明显的优越性。2.1预备知识命题2.2.1线性赋范空间：如果X是实数域（或复数域）K上的线性空间，在 X上定义映射： 如果 满足以下三条： 正定性： 正齐性： 三角不等式：则称为x的范数，称为线性赋范空间，简记为X。通常称定义中的条件（1）、（2）、（3）为范数公理。命题2.2.2巴拿赫（Banach）空间：如果X是一线性赋范空间，若X按照距离 是完备的，那么称X为巴拿赫空间。 例1 : 是线性赋范空间。分析 ： 加法： 数乘: 从而 是线性空间。定义满足范数公理。故:是线性赋范空间。例2：在通常加法，数乘意义下构成线性空间，在上定义范数可以验证其满足范数公理（1）、（2）、（3），故是线性赋范空间。例3：设为上p方L可积函数的全体，其中几乎处处相等的函数视为同一函数，几乎处处为零的函数看作零元。对通常的加法、数乘构成线性空间，在中定义范数:容易验证是范数，故是线性赋范空间。引理2.2.1线性赋范空间中的极限： 定义：依范数收敛等价于依距离收敛。如果X是线性赋范空间，是X中的点列，若 就称依范数收敛于x。（简称收敛于x），记为 或2.2线性赋范空间的一些性质引理2.2.1如果X是线性赋范空间，有界性：如果则有界。线性运算的连续性：如果 则其中为常数。范数的连续性：范数是x的连续函数。证明：因为：取由故当时有，所以：当时有取对每个n,有即有界。 因为：所以： 于是有：.从而有： 即 即 定理2.2.1：如果X是线性赋范空间，d是由范数导致的距离， 那么有平移不变性：绝对齐次性： 证明： (2)3线性有界泛函与共轭空间 线性赋范空间泛函有界性在不少问题的研究中常常起着重要的作用，又因其与连续泛函有着密切的联系，所以对其进行系统的归纳、总结十分必要。3.1线性有界泛函命题3.1.1线性泛函：如果X是实数（或复）数域K上的赋范空间，D是X上的线性子空间，若满足： 有 那么就称是D上的一个线性泛函，称D为的定义域，为的值域。若，那么称是实线性泛函；若K=C， 那么称是复线性泛函；若D=X， 那么称是X上的线性泛函。命题3.1.2线性有界：如果是线性泛函，若存在，对任 何，有，那么称是D上的线性有界泛函。例1：区别线性有界与微积分中的有界概念的不同。 解：在上是无界函数，但是作为到的线性泛函都是线性有界泛函。事实上： 那么所以是R1上的线性有界泛函。例2：求实n维欧氏空间上的线性有界泛函。解： 设是中的固定向量，令则是上的线性有界泛函。 证明： 泛函 线性泛函 （Holder不等式） 取:使线性有界泛函由、可知：是上的线性有界泛函。例3：在上定义泛函，,在上连续，证明： 和是线性有界的。 证明： 所以是线性的。 ,则,那么： .令,则从而 是有界的。 .所以是有界的。 令,则.所以 是有界的。例4：证明通过,定义上为线性泛函，问：是 有界的吗？ 证明：是泛函； 则 所以是线性的。 ,即，使 所以是有界的。命题3.1.3线性连续：如果（或复数域C）是线性泛函且在 D上连续，那么就称是D上的线性连续泛函。定理3.3.1：若D是X的线性子空间，那么：在D上连 续 在某一点处连续。 证明：必要性：在D上连续，显然有：在连续。 充分性：设则在连续.于是有那么有即在点连续，因此在D上连续。（特别提醒：线性泛函在=0连续，那么就有：在D上连续。）3.2线性有界泛函与线性连续泛函命题3.2.1：如果是D上的线性泛函，则在D上连续 等价于在 D上有界。 证明：必要性：用反证法，假设在D上无界，使令 那么.而这与在点连续相矛盾，所以有在D上有界。 充分性：设在D上有界，则 有从而有在点连续，由定理3.3.1可知：在D上连续。例1： 定义，则是X上的线性连续泛函，称为零泛函。例2：对令，则 有所以：是上的线性泛函。 又由于所以是上的线性有界泛函（或线性连续泛函）。例3：设,证明：如果有界，则是闭集。请问 反之如何? 证明：如果有界，那么连续，则,使,所以有：即.所以：是闭集。反之不真。例如：取,则连续，若,则,是闭集，但是无界算子。例4：设是线性赋范空间，是线性有界算子。证明： 如果,则对任何给定闭球中的一切,存在,当时有 . 证明：设M是给定的闭球并置于球之中，由于,那么对于，存在,当时有,所以有：.即命题得证。3.3共轭空间命题3.3.1泛函范数：如果定义的范数为可以验证： 满足范数的三条公理，事实上有：正定性： 有正齐性：对K，有 三角不等式性： 所以是赋范空间，这个空间称为的共轭空间。结论：当时，有：。 证明：因为：所以：是 的上界，所以 有：从而：。 如果是线性有界泛函，那么的范数有如下的等价形式：或 证明：。定理3.3.1（的完备性）：如果是线性赋范空间，那么其共轭空间是Banach 空间。 证明：设是的基本列，要证收敛于，由基本列的定义可知，当时，有，于是 有 （1）由此可知是中的基本列，由的完备性知：在中收敛，设 =, ,可以验证是线性有界泛函。取，当时，则,有，让固定，令 有，这就证明了是上的线性有界泛函即。下面证明：依范数收敛于，在（1）式中令 ，固定得： ，由范数定义可知：当时，即。命题3.3.2：几个具体空间上线性连续泛函的一般形式：实维欧式空间的共轭空间是自身。的共轭空间为（，、互为共轭指数）。（ ）的共轭空间是。 的共轭空间是。定理3.3.2Hahn-Banach（延拓定理）:如果是线性赋范空间，G是的线性子空间，是G上的任一线性有界泛函，那么可以作出 上线性有界泛函，满足： 当时， 其中表示作为上的线性泛函的范数，表示G上线性泛函的范数。 （特别指出：泛恩-巴拿赫定理既保证了最小范数延拓的存在性又指出了这个最佳延拓的范数就是f的范数）推论3.3.1：（有界线性泛函足够多定理）如果是一线性赋范空间，对任何， ，那么必存在上的线性连续泛函满足： 证明：若，则G是由张成的子空间，其中，那么在G上定义泛函如下： ， ，显然有， ，从而有：，根据Hahn-Banach（延拓定理），可以把G上的线性有界泛函延拓到上得到，且有。推论3.3.2：如果是线性赋范空间，G是上的子空间，, , 那么必存在上的有界线性泛函，满足： 证明：设，由于，故中的元素可唯一地表示为 。在上作泛函， 。因此是线性泛函且。， 。 因为，于是是有界的，且 另一方面：由的定义，则可取一列,使于是有：，当 时，有，从而有，所以，由Hahn-Banach定理，把泛函延拓到全空间得，则满足： ； 命题3.3.3延拓定理的几点应用： 定理：若那么存在唯一的使 有，且有。 如果是线性赋范空间，那么与二次共轭的某个子空间线性等距同构。推广的刘维尔定理：如果是复的巴拿赫空间，是有界整函数，那么 ：为常数。 证明：由于是有界的，那么有，所以是有界的整函数，由刘维尔定理可知： 有，即由Hahn-Banach定理可知：即。4线性算子4.1线性有界算子命题4.1.1算子：若是同一数域K上的两个线性赋范空间，为某 一子集，若存在一种对应的法则T，使对任何有唯一的与之 对应，那么就称T是X1中D到X2的算子。（或者称为映射）命题4.1.2线性算子：如果是同一数域上的两个线性赋范空间，D是 的线性子空间，设，若对于任何，有 .，那么称为上的线性算子。为上的线 性算子，记为；是的值域。 那么称为零空间（或核）。注：是的线性子空间，是的线性子空间。 如果 ，那么dimR(T) dimD(T)命题4.1.3算子有界：如果是线性算子，那么称在上有界 是指，使得对任何有，。命题4.1.4算子连续：如果，若对任意，存在， 使得当时，有，那么称在点连续；若在的 每一点都连续，那么称在上连续。4.2线性有界算子与线性连续的关系命题4.2.1如果是线性算子，那么在上连续等价于在某一 点上连续。定理4.2.1：（线性有界与线性连续）如果是同一数域上的线性赋范空间， 是线性子空间，的线性算子，那么在上连续等价于在 上有界。（这就是说在研究线性赋范空间有界性时可以研究其上的连续性）例1：如果是线性赋范空间， 是某一常数， ，令，证明： 是的线性有界算子。 证明: ，有=。即为线性算子，又因为：，所以：是线性有界算子。例2：，定义为： ， 证明：是线性有界算子。 证明：， 为实数，那么有 . =。 由、可知：是线性有界算子。例3：证明矩阵是线性有界算子。 证明：设，定义：的算子，那么是线性有界算子。易证明是线性算子，下面证明是有界的。取中的范数为，用分量表示为，应用柯西不等式：. 。让，可知：是线性有界算子。例4：用表示上的连续可微函数的全体，那么是的线性 子空间定义如下：，证明：是 线性无界算子。 证明：取，那么，但是，所以是线性无界算子。例5：证明：通过定义的算子 是线性有界的，并求. 证明：显然是线性的。下证是有界的。因为：,所以是线性有界算子。且, 特别地取：,则,从而有: 由、可知：4.3线性算子空间命题4.3.1线性算子空间：如果是同一数域上的线性赋范空间，那么把 的一切线性算子构成的集合称为的线性算子空间，记为 即：。命题4.3.2线性有界算子空间：如果是数域上的赋范线性空间，那么到 中的有界线性算子的全体记作：。命题4.3.3算子范数：如果是线性赋范空间到线性赋范空间的有界线性算 子，那么称为算子的范数。 算子范数：如果是线性赋范空间到线性赋范空间的有界线性算 子，能够使：对一切都成立的正数的下确界，称为算子的范数，记为，即。例1：. 证明：对 ,因为:,所以： 从而有：,而所以;,又因为：,所以：. 因为：,记,明显地有及,而为的上确界，即是上界中的最小者，所以，因此：. 由可得：.例2：设，证明：对，存在使得。 证明：对，由，可取，使得， 令，从而有: 。例3：线性积分算子的范数：如果在矩形上连续，那么： ，定义了上的线性有界算子，那么有： 。定理4.3.1算子图像：如果是线性赋范空间，是线性算 子，如果的图像是乘积空间中的闭集， 那么称是闭线性算子（简称为闭算子）。引理4.3.1(闭算子的等价条件)：如果是线性赋范空间， 是线性算子，那么是闭算子等价于，当时必有 而且。 证明：必要性： 当时，明显的有：，由条件知且，那么有：，即中每一收敛点敛的极限均存在中，从而有是闭集即是闭算子。 充分性：如果是闭算子，那么当，时，明显的有)，而且在乘积空间中有，又因为是中的闭集，所以即时有。4.4有界性与闭性 对于线性算子已有三个重要的概念：连续性、有界性、闭性，我们已经知道对于线性算子的连续性和有界性是等价的，因此对于线性算子实际上只有两个不同的概念即有界性与闭性。下面我们来研究有界性与闭性的关系即有界线性算子在什么条件下是闭线性算子？闭线性算子在什么条件下是有界线性算子？定理4.4.1：如果是线性有界算子，若是的闭线性子空 间，那么为闭线性算子。特别地：当时，是闭线性算子。 证明：，当时，要证明：因为：等价于，又因为：是闭集，所以。由于：是有界的，则。从而有。由引理4.3.1知：是闭线性算子。例1：令，定义 如下： ，证明：是无界的，但是闭线性算子。 证明：显然知：是无界算子。 下面证明：是闭算子，设且，由于中的收敛是函数列的一致收敛，由即在中是一致收敛于的，因此有：，即，从而有且，由引理4.3.1知：是闭线性算子。参考文献1 胡适耕. 泛函分析M. 北京：高等教育出版社，2001.2 夏道行等. 实变函数论与泛函分析M. 北京：人民教育出版社，1979.3 张恭庆等. 泛函分析讲义（上册）M. 北京：北京大