2012北京各城区解答题创新综合题理科.docx

东城一模20若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设 （）求,的值；（）求，的值；（）求数列的通项公式解：（）， 2分（）； ；()由（）（）不难发现对，有 8分 所以当时， 11分于是，所以 ， 又，满足上式，所以对， 14分东城二模20对于数列，令为，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，的创新数列为，.定义数列：是自然数，的一个排列.（）当时，写出创新数列为， ，的所有数列；（）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由.解：（）由题意，创新数列为， ，的所有数列有两个，即数列，； 数列，. 4分（）存在数列，使它的创新数列为等差数列. 数列的创新数列为， 因为是中的最大值， 所以.由题意知，为中最大值，为中的最大值，所以，且. 若为等差数列，设其公差为， 则且， 当时，为常数列，又， 所以数列为，.此时数列是首项为的任意一个符合条件的数列； 8分 当时，因为，所以数列为，. 此时数列为，； 10分 当时，因为 ， 又， ，所以，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为公差的等差数列. 13分 综上，当数列为以为首项的任意一个符合条件的数列或为数列，时，它的创新数列为等差数列. 14分西城一模20对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束（）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； （）证明：一定能经过有限次“变换”后结束（）解：数列不能结束，各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 2分数列能结束，各数列依次为；3分（）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束 5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”当时，数列由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列其它情形同理，得证数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列 8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是（）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”证明：记数列中最大项为，则令，其中因为， 所以，故，证毕9分现将数列分为两类第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知， 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列不妨令数列的第一项为，第二项最大()（其它情形同理） 当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；，此数列各项均不为，为第一类数列 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列 当数列中有三项为时，只能是，则，此数列各项均不为，为第一类数列总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束 西城二模20若或，则称为和的一个位排列对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作例如，则， 若，则称为最佳排列（）写出所有的最佳排列；（）证明：不存在最佳排列；（）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数（）解：最佳排列为， 3分（）证明：设，则，因为 ，所以，之中有个，个按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变但是经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得，从而不存在最佳排列 7分（）解：由或，得，因为 ，所以 与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，因此有，以上各式求和得， 10分另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则 11分所以 解得或 所以排列中的个数是或 13分海淀一模20对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，.（）写出和的值，并用列举法写出集合；（）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；（）有多少个集合对（P，Q），满足，且？解：（），. 3分（）根据题意可知：对于集合，若且，则；若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时，取到最小值4. 8分（）因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素， .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.14分海淀二模20将一个正整数表示为的形式，其中，且，记所有这样的表示法的种数为（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故）.（）写出的值，并说明理由；（）对任意正整数，比较与的大小，并给出证明；（）当正整数时，求证：（）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以 3分（）结论是.证明如下：由结论知，只需证因为，把的一个表示法中的去掉，就可得到一个的表示法；反之，在的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个的表示法，即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数，所以表示的是的表示法中的表示法数，是的表示法中的表示法数同样，把一个的的表示法中的加上1， 就可得到一个的的表示法，这样就构造了从的的表示法到的的表示法的一个对应.所以有9分（）由第（）问可知：当正整数时，.又 所以 . *对于*式，分别取为，将所得等式相加得.即 13分朝阳一模20已知各项均为非负整数的数列 ，满足，若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列设， （）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （）若数列，经过有限次变换，可变为数列设，求证，其中表示不超过的最大整数解：（）若，则； ； ； 若，则 ； ； ； 4分（）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：易知和是互逆变换 5分对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ，则必有（若，则还可作变换）反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，若，则由变换的定义，不能变为；若，则，经过一次变换，有由于，可知（至少3个1）不可能变为所以，同理令，则，所以，因为，故由归纳假设，有，再由与互逆，有，所以，从而唯一性得证 9分（）显然，这是由于若对某个，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，所以为整数，于是，所以为除以后所得的余数，即13分朝阳二模20解:（）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：（1）此时；（2）此时；（3）此时；（4）此时；（5）此时；（6）此时； 所以，的所有可能的值为：， 4分（）由， 可设，则或（，），因为，所以 因为，所以