硕士论文范文——两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性

硕士学位论文两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性STABILITY OF EXPONENTIAL RUNGE-KUTTA METHODS FOR TWO TYPES OF DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS 哈尔滨工业大学 年 月理学硕士学位论文两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性硕士研究生：导 师：教授申请学位：理学硕士学科：计算数学所 在 单 位：理学院数学系答 辩 日 期：年 月授予学位单位：哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘 要事物的变化是多样的，有时事物的变化和当前状态有关，而有些时候事物的变化还和过去的状态密切相关，为了很好地描述这一问题，在数学上建立起了延迟微分方程模型。虽然延迟微分方程能够较好地刻画上面提到的问题，但是延迟微分方程的精确解一般不太容易求出，因此在数学上求解延迟微分方程数值解的意义就变得十分重要。本文应用指数Runge-Kutta方法来求解两类延迟微分方程，并分析数值解的稳定性。在第2章分析了矩阵系数的延迟微分方程数值解的稳定性。应用指数方法求解该问题，并对延迟项采用插值方法进行表示。讨论了矩阵系数延迟微分方程数值解的渐近稳定性，并给出数值解要保持精确解的稳定性，带有插值的指数方法应该要满足的充分条件。在第3章分析了多延迟微分方程数值解的稳定性。应用指数方法求解多延迟微分方程，并对每一个延迟项都采用插值方法。同样也讨论了多延迟微分方程数值解的渐近稳定性，给出了数值解要保持数值解的渐近稳定性，带有插值的指数方法应该要满足的充分条件。对于这两类问题所得到的结论均用数值算例进行了检验。关键词：延迟微分方程；指数Runge-Kutta方法；插值；渐近稳定性-I-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文AbstractWe know everything is changing. Sometimes this change is related to current status, otherwise, it may relates to past conditions. For a better description of this phenomenon, mathematicians built up delay differential equations. This kind of model can present this problem very well, but the exact solution of the delay differential equations cannot be gotten easily. So it becomes significant to solve the delay differential equations numerically.This paper adopts exponential Runge-Kutta methods to solve two types of delay differential equations. Then the numerical stability is analyzed.In chapter 2, we analyze the delay differential equation which its coefficients are matrixes. We apply the exponential Runge-Kutta methods to solve this equation, and use polynomial interpolation to express the delay term. Asymptotic stability of the numerical solutions for this type of equation is discussed. As a result, sufficient conditions are proposed which should be satisfied of the exponential Runge-Kutta methods to preserve the asymptotic stability of this type of equation. In chapter 3, we analyze the delay differential equation with several delay terms. Exponential Runge-Kutta methods are applied to solve this equation, and polynomial interpolations are used to express all the delay terms. We discuss the asymptotic stability of this type of equation. Similarly, sufficient conditions are proposed which should be satisfied for the exponential Runge-Kutta methods to preserve the asymptotic stability of the exact solutions of several delay differential equation. The conclusions are demonstrated by numerical examples.Keywords: delay differential equations, exponential Runge-Kutta methods, Interpolation, asymptotic stability-44-目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 课题背景及研究的目的和意义11.2 国内外在该方向的研究现状及分析21.2.1 延迟微分方程精确解的稳定性研究21.2.2 延迟微分方程数值解的稳定性研究31.3 主要研究内容5第2章 矩阵系数延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性72.1 引言72.2 指数Runge-Kutta方法72.3 延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的数值稳定性92.4 数值算例132.5 本章小结28第3章 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性293.1 引言293.2 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法293.3 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的数值稳定性303.4 数值算例353.5 本章小结41结 论42参考文献43致 谢46哈尔滨工业大学理学硕士学位论文第1章 绪 论1.1 课题背景及研究的目的和意义数学家们对微分方程的科学研究已有很长的历史了。早在牛顿和莱布尼兹创造微积分时，就指出微分和积分在本质上是互逆的。20世纪以来，新型的微分方程随着大量的边缘科学如流体力学、生命科学、工程应用的发展而涌现出来。我们知道世界万事万物变化总是多端的，有时候，事物的当前状态和变化有关，我们建立起常微分方程模型和偏微分方程模型来描述这一现象。但随着科学技术研究水平的不断发展进步，在分析问题的时候可能需要考虑已经发生过的因素。为了能在数学上更好地描述这种现象，我们引入了延迟项，从而获得了新的模型。对于这种类型的问题，常称之为延迟微分方程（DDEs）模型问题。早在上个世纪早期就有学者研究了捕食模型，并粗略地提出了和过去相关的微分方程。1942年Minorsky明确地提出了在反馈系统中添加延迟项是很有意义的。而近些年来，对于延迟微分方程的研究，学者们已经建立起了一些很好的模型。下面，我们就列出几个实际的例子来说明延迟微分方程在各学科中的应用。例1 在物理学中的电流配置模型1 (1-1)例2 在控制系统中的信号脉冲的传递模型2 (1-2)例3 在生物学中的疾病传播扩散模型3 (1-3)对延迟微分方程研究的一个重点就是对它的稳定性做出分析。稳定性包括系统稳定性和数值稳定性两个方面。而这两种稳定性中，系统稳定性的研究是研究者们最关心的问题，因为一个系统总是或多或少的会受到干扰，而我们又总是希望是稳定的。在延迟微分方程发展早期，学者们认为延迟微分方程和常微分方程类似，对它们采用无差异化的数值处理方式，并没有对延迟微分方程过多的考虑它的专有解法。但事实并没有如此的乐观，就分析稳定性来说，用通常的方法求解时，发现它们并没有这么容易。对于延迟微分方程，它的精确解表达式一般是很难给出的。所以我们用数值方法来求解问题的数值解来近似精确解，而数值方法求解数值解就会遇到一个问题：数值解是否能够保持精确解的稳定状态。1.2 国内外在该方向的研究现状及分析我们将从精确解和数值解这两个部分来分别阐述延迟微分方程稳定性理论的发展现状。1.2.1 延迟微分方程精确解的稳定性研究在1963年，R.Bellman和K.l.Cooke4表明，问题 （1-4）若满足条件，就有当时，。随后A.N.Al-Mutib在文献5中证明了只要，问题 （1-5）其中，它的所有解当的时候都以0为极限。在1983年，T.Mori，E.Noldus和M.Kuwahara6将上述问题中的复数换成阶的实矩阵，即 （1-6）并指出了(1-6)若满足，则是渐近稳定的，这里，是矩阵的欧氏范数。而对于中立型的延迟微分方程 （1-7）R.K.Brayton 7，J.X.Kuang 8分别做出了解的渐近稳定性分析。在1995年，J.X.Kuang和H.J.Tian9就非线性多时滞项的微分方程的理论解和数值解的渐近性态做了分析，问题形式如下 （1-8）其中()是常数矩阵，且表明在适当条件下，非线性多滞时微分系统的理论解是渐近稳定的，且隐式欧拉公式得到的数值解具有相同性态。2008年7月，牛原玲和张诚坚在文献10中讨论了维多时滞项的延迟微分方程系统 （1-9）并证明了系统是指数稳定的充分条件。1.2.2 延迟微分方程数值解的稳定性研究由于大部分的延迟微分方程精确解都是不可求的，随着计算机技术的发展，对于延迟微分方程的数值解的解法也越来越受到人们的关注。而其中解法的稳定性又是在求解过程中最受大家关心的问题。早在1960年Zverkina和在1965年Snow等人就研究了延迟微分方程的数值理论。1986年，M.Zennaro11首次论证了Runge-Kutta应用于问题（1-5）时会保留问题的渐近性质，继而讨论了数值方法的-稳定，-稳定，并说明了任何对于常微分方程-稳定的数值方法应用于延迟微分方程时都是-稳定的。1994年，T.Koto12考虑了问题 （1-10）其中是复矩阵，讨论了一种特殊类型的Runge-Kutta方法的稳定性，并表明了-稳定的方法会保留精确解的渐近稳定性质。1995年，H.J.Tian和 J.X.Kuang 13就同样的问题(1-10)讨论了线性多步法的数值性质。给出了方法-稳定和-稳定的等价条件，并就-稳定性质做了分析。1997年，K.J.Int Hout在文献14中就问题（1-10）做了分析，用方法求解(1-10)，给出了方法是稳定的充要条件，接着又给出了相关集合的解析特征。2010年，C.J.Zhang和H.Chen15研究了问题（1-5）的块边值方法的渐近稳定性。2010年6月，王晓佳和蒋威16就多时滞延迟微分方程（1-8）讨论了它的线性多步法的数值性质，证明了该类问题的数值解是渐近稳定的等价条件为线性多步法是-稳定的。2012年H.Y.Yuan，J.J.Zhao，Y.Xu17讨论了多延迟微分方程的GDN-稳定性。2012年Y.Xu，J.J.Zhao，Z.Gao在文献18中讨论了多延迟中立型微分方程的块边值方法的稳定性。2015年J.J.Zhao，Y.Cao，Y.Xu19分析了如下非线性中立延迟微分方程 （1-11）的数值方法的收敛性和稳定性。近几年也有学者对分数阶延迟微分方程的数值性质做出了科学的分析20-23。而对于指数Runge-Kutta方法的研究始于1967年的J. D. Lawson 24,他突破性地将指数函数和显式Runge-Kutta方法结合起来，用以获得A-稳定性质。这个思想很快就被Firedli25推广了，他介绍了一系列的基于非刚性阶条件的显式指数Runge-Kutta方法。2005年M.Hochbruck，A.Ostermann在文献26中提出对于如下问题： （1-12）使用指数Runge-Kutta方法，并得到收敛性相关结果。并在同年，他们在文献27中针对半线性抛物型问题分析了显式指数Runge-Kutta方法的方法阶问题。2009年，G.Dujardin在文献28中用指数Runge-Kutta方法来解决维的圆环面上的线性和半线性薛定谔问题（线性） （1-13）（半线性） （1-14）将它在时间上认为是柯西问题，不做空间上的离散分析，其中是虚数单位，并对方法的方法阶进行了讨论。2009年，M.Calvo，J.M.Franco在文献29中讨论了针对哈密尔顿系统的三级六阶的辛指数拟合的Runge-Kutta方法。2010年，M.Hochbruck，A.Ostermann在文献30中针对抛物型问题（1-12）讨论了指数积分算子的收敛性质。2010年，G.V.Berghe和M.V.Daele31就一阶微分方程系统 （1-15）讨论和构造了它的辛指数拟合Runge-Kutta方法，并对它的收敛阶进行了证明。2010年Y.Xu，J.J.Zhao，Z.N.Sui32用指数Runge-Kutta方法求解延迟微分方程 （1-16）并对方法的数值性质做了深入的分析。2011年G.Dimarco，L.Pareschi33介绍了一系列的针对动力学方程 （1-17）的指数方法。2011年Y.Xu，J.J.Zhao，Z.N.Sui34第一次提出用指数Runge-Kutta方法求解问题（1-5），并对方法的-稳定和-稳定性做了分析，给出了数值方法要保留精确解的渐近稳定性质所需满足的充分条件。2012年，R.DAmbrosio，E.Esposito和B.Paternoster35就问题（1-15）得到了它的指数拟合的二步Runge-Kutta方法，对稳定性质做出分析。2014年，V.T.Luan，A.Ostermann36探索了对于抛物型问题 （1-18）的显式指数Runge-Kutta方法的方法阶问题。2014年，R.DAmbrosio和B.Paternoster在文献37中就问题（1-15）得到了指数拟合对角隐式Runge-Kutta法。2014年，Q.Li，L.Pareschi38应用指数Runge-Kutta方法去求解如下的方程 （1-19）并得到相关结论。2014年，Q.Li，X.Yang39应用指数Runge-Kutta方法求解问题（1-19），并对AP性质作出分析。2014年，D.Hipp,，M.Hochbruck， A.Ostermann40分析了一种新的类型的指数Runge-Kutta方法，并用其来求解非自治的抛物型问题。2014年，V.T.Luan，A.Ostermann41研究了五阶指数Runge-Kutta方法的刚性阶条件。1.3 主要研究内容结合以上文献可知，延迟微分方程的精确解一般很难求出，即使能求出，也是很特殊类型的问题，因此问题的数值解也就越来越受到大家的关注。对于延迟微分方程的数值解法，应用广泛的主要还是-方法，线性多步法，Runge-Kutta方法等，且我们知道Runge-Kutta方法是作为指数Runge-Kutta方法的特例，故研究指数Runge-Kutta方法就很有价值。本文将主要研究两类延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的数值性质。在第2章中，结合一般形式的抛物型问题（1-12）的指数Runge-Kutta方法，将其应用于如下延迟微分方程问题： (1-20)其中均属于，是正常数，是已知的函数，得到它的差分格式，然后再推导出它的特征多项式，并结合相关稳定性理论，来对它的稳定性做出分析。这其中的分析具体包括：a)利用特征多项式的性质得出，指数Runge-Kutta方法是-稳定的所需满足的条件；b)指数Runge-Kutta方法是否会保持(1-20)的渐近稳定性，或者要保持(1-20)的渐近稳定性指数Runge-Kutta方法需要满足哪些条件；c)讨论-稳定和-稳定的关系等。随后会结合一些具体的数值算例来检验所得结论的正确性。在第3章中，结合指数Runge-Kutta方法，将它应用于如下的多时滞项的延迟微分方程： （1-21）其中和是复数，是正常数，且，是已知的函数。跟第一部分的分析a)、b)、c)类似，我们也将分析问题（1-21）的指数Runge-Kutta方法的相关数值稳定性质。接着，我们会用一些具体的数值算例来检验结论的正确性。第2章 矩阵系数延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性2.1 引言我们知道客观事物的变化总是多样的，有时事物的变化和当前状态有关，而有些时候事物的变化还和过去的状态密切相关，为了很好地描述这一问题，在数学上建立起了如下的延迟微分方程模型 由于引入了延迟项，这类微分方程与常微分方程相比，它的稳定性的分析要相对困难一些。对于复杂的线性延迟微分方程系统，有时可以表示成矩阵系数延迟微分方程来加以解决，本章就将应用指数Runge-Kutta方法求解延迟微分方程 （2-1）其中均属于，是正常数，是已知的函数，并应用差分方程的特征方程的性质来讨论数值稳定性，给出数值方法要保持精确解的渐近稳定性需要满足的条件。2.2 指数Runge-Kutta方法对于一般的半线性抛物型问题 （2-2）其中，其指数Runge-Kutta方法的一般形式为： （2-3）其中, ,，是非汇合的点，即时，均是上的矩阵，。应用指数Runge-Kutta方法（2-3）求解延迟微分方程(2-1)，得 （2-4）其中表示的是对于的近似。为了给出的表达式，对于给定的某个之后，令，那么可以由这些点组成的插值多项式来表示 （2-5）其中。记，则 （2-6）其中，这里为维的零向量，是行列的零矩阵，是维的单位矩阵，则，均是上的矩阵。将的表达式代入得到 （2-7）它的特征多项式为 （2-8）其中，。2.3 延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的数值稳定性首先，给出问题(2-1)的精确解的渐近稳定性相关定义和引理。定义 2.1 当时，问题(2-1)的解，这时称问题(2-1)的解是渐近稳定的。引理 13 问题的解是渐近稳定的，等价于：I) 的所有特征值都满足；II) 且，均有；III) 成立。引理 13 如果I) ，有；II) 成立，那么问题的解是渐近稳定的，引理 2.442 用、分别来表示、的任一特征值，如果都有 （2-9）成立，则问题(2-1)的解是渐近稳定的。接着，给出数值稳定性的相关结论。定义2.5 是一对给定的复矩阵，。若（2-7）的数值解满足，那么称带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）在处是-稳定的。引理2.634 成立的充分必要条件为特征多项式是Schur多项式，即根的模均小于1。引理2.78 若要使得根的模均小于1成立，只需要如下的条件满足即可：I) 当时，是可逆的；II) 。令，其中，则，。定理2.8 若，可逆，那么等价于。证明：等价于由参考文献43知，上式等价于即于是证毕。对于任意给定和任一非空集合，用表示到的距离。定理2.9 若，可逆，那么其中表示的是集合。证明：由，可逆，知是可逆的，则再根据定理2.8，有=证毕。引理 2.1043 若，则与等价；而且进一步如果成立，则与等价。定理 2.11 带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4），如果，且的特征值的模均小于1，这里，则带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）在处是-稳定的。证明：由引理2.10，若，则有，再由定理2.9，有：则根据题意满足的性质，在的情况下，是可逆的，则是可逆的，再根据引理2.7，带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）在处是-稳定的，证毕。定义2.12 对于任意给定的非负整数和，定义带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）在处是-稳定的为带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）的-稳定区域，而将定义为稳定区域。定义2.13 若，称带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）为-稳定的；若，称带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）为-稳定的，这里的，。定理 2.14 对于任意的非负整数和，如果，则有。证明：由文献43中引理2.1知，带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4）在处是-稳定的充要条件为：a) 当时，是可逆的；b) ；c) 当且时，有若，则，因此a)、b)、c)是和无关的，则若，对于任意给定的，则对此时的，a）、b)、c）在时是成立的，因为a）和无关，故对于，a）成立。由于及引理2.10，有，则 (2-10)当时，而由知故对于，有即b）成立。假设c）对于中的某个不成立，则当时，有由b）和（2-10）有故，且，再由引理2.10，有。因此这与时的情形矛盾，故对于任意的，c）均是成立的。在此时的下，对于任意的，a）、b）、c）均是成立的，故有，从而，又，故有，证毕。推论2.15 对于问题(2-1)，它的带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法(2-4)的-稳定和-稳定是等价的。定理 2.16 对于带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法（2-4），如果，并且当且时，的特征值的模均小于，则带有插值方法（2-5）的指数Runge-Kutta方法(2-4)是-稳定的和-稳定的。证明：均有，且时，由引理2.3，有且的特征值的模均小于1，根据定理2.11和定义2.13知，数值方法（2-4）和插值方法（2-5）是-稳定的和-稳定的，证毕。2.4 数值算例为了方便起见，我们以表2-1的形式来表示两级指数Runge-Kutta方法：表2-1 两级指数Runge-Kutta方法的系数表例2.1 考虑如下的实矩阵系数延迟微分方程系统： （2-11）这里的，计算得，的特征值分别为-2，-3，满足实部均小于0，并且满足引理2.3的条件，故问题（2-11）的精确解是渐近稳定的。取，则得到如下的两级指数Runge-Kutta方法：（2-12）而所表示的区域，如图2-1中阴影部分所示。通过Matlab计算可以得到，并且的特征值的模分别为，均小于1，满足定理2.11的条件，故问题（2-11）的两级指数Runge-Kutta方法（2-12）的数值解应该是趋于零的。从表2-2可以看出，数值解的两个分量、是以为极限的，即数值解也是以为极限的。图2-2分别是以数值解的两个分量，为纵坐标，以时间为横坐标，来画的数值解的分量的走向趋势图，从图中可以看出数值解的两个分量，是趋于零的，故数值解是趋于零的，表明两级指数Runge-Kutta方法（2-12）保留了问题（2-11）的精确解的渐近稳定性质。图2-1 问题（2-11）对应的所表示的区域表2-2 问题（2-11）的指数Runge-Kutta方法（2-12）的数值解2-2.9-0.97095817-0.239249334-2.7-0.90407214-0.427379888-2.3-0.66627602-0.7457052116-1.50.07073720-0.99749499320.10.795542720.03987960643.30.19038958-0.087550091289.7-0.00245973-0.0309067225622.5-0.00021623-0.0005937751248.1-0.00000010-0.00000022图2-2 问题（2-11）的指数Runge-Kutta方法（2-12）的数值解例2.2 考虑如下的复矩阵系数延迟微分方程系统：（2-13）这里的，而的特征值，实部为，满足实部均小于0，并且，满足引理2.3的条件，故问题（2-13）的精确解是渐近稳定的。取，则 得到如下的两级指数Runge-Kutta方法：（2-14）图2-3中的阴影是所表示的区域。通过Matlab计算可以得到，并且的特征值的模分别为，均小于1，满足定理2.11的条件，故问题（2-13）的两级指数Runge-Kutta方法（2-14）的数值解应该是趋于零的。从表2-3、2-4可以看出，数值解的第一个分量和第二个分量的实部和虚部确实趋于零，数值解的两个分量和的模也可以看出趋势，故数值解是趋于零的。图2-4分别是以数值解的分量的模，为纵坐标，以时间为横坐标，来画的数值解的分量的走向趋势图，从图2-4中可以看出数值解的两个分量的模长，是趋于零的，故数值解是趋于零的，表明两级指数Runge-Kutta方法（2-14）保留了问题（2-13）的精确解的渐近稳定性质。图2-3 问题（2-13）对应的所表示的区域表2-3 问题（2-13）的指数Runge-Kutta方法（2-14）的数值解第一分量2-2.9-0.97095817+0.00000000i0.970958174-2.7-0.90407214+0.00000000i0.904072148-2.3-0.66627602+0.00000000i0.6662760216-1.50.07073720+0.00000000i0.07073720320.10.78464899+0.06083900i0.78700408643.30.06786508+0.32237650i0.329442371289.7-0.02901927-0.01991012i0.0351928025622.5-0.00054445+0.00015878i0.0005671351248.10.00000026+0.00000004i0.00000026表2-4 问题（2-13）的指数Runge-Kutta方法（2-14）的数值解第二分量2-2.9-0.23924933+0.00000000i0.239249334-2.7-0.42737988+0.00000000i0.427379888-2.3-0.74570521+0.00000000i0.7457052116-1.5-0.99749499+0.00000000i0.99749499320.10.01458536+0.05572507i0.05760223643.3-0.00203271+0.03867133i0.038724721289.7-0.00772592-0.00384292i0.0086289025622.5-0.00017959+0.00005516i0.0001878751248.10.00000009+0.00000001i0.00000009图2-4 问题（2-13）的指数Runge-Kutta方法（2-14）的数值解例2.3 考虑如下的矩阵系数延迟微分方程系统：（2-15）这里的，计算得，的特征值分别为，实部分别为，满足实部均小于0，并且满足引理2.3的条件，故问题（2-15）的精确解是渐近稳定的。取，则得到如下的两级指数Runge-Kutta方法：（2-16）图2-5中阴影部分是所表示的区域。通过Matlab计算得，并且的特征值的分别为，模长，满足定理2.11的条件，故问题（2-15）的两级指数Runge-Kutta方法（2-16）的数值解应该是趋于零的。从表2-5、2-6可以看出，数值解的第一个分量和第二个的实部和虚部确实趋于零，数值解的两个分量和的模和也可以看出趋势，故数值解是趋于零的。图2-6是以数值解的分量的模长，为纵坐标，以时间为横坐标，来画的数值解的分量的走向趋势图，从图中可以看出数值解的两个分量的模长，趋于零，故数值解是趋于零的，表明两级指数Runge-Kutta方法（2-16）保留了问题（2-15）的精确解的渐近稳定性质。图2-5 问题（2-15）对应的所表示的区域表2-5 问题（2-15）的指数Runge-Kutta方法（2-16）的数值解第一分量2-7.9-0.04600213+0.00000000i0. 046002134-7.70.15337386+0.00000000i0.153373868-7.3-0.52607752+0.00000000i0.5260775216-6.50.97658763+0.00000000i0.9765876332-4.90.18651237+0.00000000i0.1865123764-1.7-0.12884449+0.00000000i0.128844491284.70.42118967-0.06725649i0.4265257025617.50.01306472+0.00541786i0.0141435551243.10.00004285-0.00001712i0.00004614表2-6 问题（2-15）的指数Runge-Kutta方法（2-16）的数值解第二分量2-7.9-0.99894134+0.00000000i0.998941344-7.7-0.98816823+0.00000000i0.988168238-7.3-0.85043662+0.00000000i0.8504366216-6.5-0.21511999+0.00000000i0.2151199932-4.90.98245261+0.00000000i0.9824526164-1.7-0.99166481+0.00000000i0.991664811284.70.13396587-0.01421229i0.1346182025617.50.00472270+0.00116866i0.0048651451243.10.00001417-0.00000605i0.00001541图2-6 问题（2-15）的指数Runge-Kutta方法（2-16）的数值解对于线性的延迟微分方程系统，指数Runge-Kutta方法能够很好地求解该类问题。而对于非线性的问题，指数Runge-Kutta方法也能够很好地求解，下面就以一个非线性的数值问题为例来说明问题。例2.4 考虑如下的非线性延迟微分方程系统： （2-17）其中 （2-18）此时，方程（2-17）在，上的精确解。在空间方向上，将等分为份，记节点分别为，间距记为，对（2-17）进行空间上的半离散，采用中心差分格式来离散空间上的二阶偏导数，得到如下的方程组：（2-19）记则（2-19）可化为 （2-20）其中。对（2-20）用指数Runge-Kutta方法（2-3）进行求解，得到如下的差分格式： （2-21）其中， 其他的参数如（2-3）中所述。取，则得到如下的两级指数Runge-Kutta方法：（2-22）比较方程（2-20）数值解的第一分量，第二分量，第三分量，第四分量与问题（2-17）对应的精确解，的误差，记，得到表2-7，2-8，2-9，2-10。表2-7 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解第一分量120.10.009820090.015973340.00615325200.90.118818000.125332300.00651431281.70.160762600.158666370.00209623362.50.104687330.095755540.00893179443.3-0.01584264-0.025239310.00939666524.1-0.12558982-0.130924340.00533452604.9-0.15753828-0.157192420.00034587685.7-0.09446877-0.088109690.00635909表2-8 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解第二分量120.10.015604210.023960020.00835581200.90.178471820.187998450.00952664281.70.241403520.237999550.00340397362.50.157018800.143633310.01338549443.3-0.02425871-0.037858970.01360026524.1-0.18875422-0.196386510.00763228604.9-0.23594915-0.235788620.00016052685.7-0.14098726-0.132164530.00882273表2-9 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解第三分量120.10.015604210.023960020.00835581200.90.178471820.187998450.00952664281.70.241403520.237999550.00340397362.50.157018800.143633310.01338549443.3-0.02425871-0.037858970.01360026524.1-0.18875422-0.196386510.00763228604.9-0.23594915-0.235788620.00016052685.7-0.14098726-0.132164530.00882273表2-10 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解第四分量120.10.009820090.015973340.00615325200.90.118818000.125332300.00651431281.70.160762600.158666370.00209623362.50.104687330.095755540.00893179443.3-0.01584264-0.025239310.00939666524.1-0.12558982-0.130924340.00533452604.9-0.15753828-0.157192420.00034587685.7-0.09446877-0.088109690.00635909通过比较上面的四个表格，发现数值解基本和精确解保持一致，误差保持在相对较小的范围内，说明指数Runge-Kutta方法表现很好。图2-6，2-7，2-8，2-9分别是以时间为横坐标，以数值解的四个分量为纵坐标，通过描绘数值解的四个分量与对应的精确解的图像，可以看出数值解很好地和精确解保持一致，说明指数Runge-Kutta方法（2-22）能够很好地求解非线性延迟微分方程系统（2-17）。图2-6 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解的第一个分量和对应的精确解图2-7 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解的第二个分量和对应的精确解图2-8 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解的第三个分量和对应的精确解图2-9 问题（2-17）的指数Runge-Kutta方法（2-22）的数值解的第四个分量和对应的精确解2.5 本章小结本章讨论了用指数Runge-Kutta方法(2-3)求解矩阵系数延迟微分方程(2-1)的数值解的稳定性问题。首先，用指数Runge-Kutta方法(2-3)离散矩阵系数延迟微分方程(2-1)，并对延迟项采用插值方法(2-5)。根据差分方程推得数值方法的特征多项式，得到了带有插值的指数Runge-Kutta方法(2-4)要保持数值解是-稳定的所应满足的充分条件。接着，得到了带有插值的指数Runge-Kutta方法(2-4)要保持矩阵系数延迟微分方程(2-1)的渐近稳定性所应满足的条件。最后，我们用四个例子来佐证了理论结果的。第3章 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法的稳定性3.1 引言上一章我们讨论的是延迟项是单延迟的微分方程问题，而在现实的生活中，事物可能和好几个已经发生的信息都有关，因此需要引入多个延迟项才能更好的解释这一现象，本章将应用指数Runge-Kutta方法求解如下的多延迟微分方程问题： （3-1）其中和是复数，是正常数，且，是已知的函数，和第二章讨论稳定性的过程一致，我们将利用差分方程的特征方程的性质来讨论数值稳定性，给出数值方法要保持精确解的渐近稳定性所需要满足的条件。3.2 多延迟微分方程指数Runge-Kutta方法将第二章中的指数Runge-Kutta方法（2-3）应用于问题（3-1），得到它的指数Runge-Kutta方法的一般形式为： （3-2）其中, , 是对于的近似，其他参数如（2-3）中所述。记，且，则（3-2）式可化为 （3-3）其中，