数学物理方法1-1复变函数与解析函数.ppt

数学物理方法 王丽艳 Email: nj_ 答疑地点：数学系 (图书馆507) 概述 主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业 课做准备承上启下。 课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述 物理问题的能力、综合应用数学知识的能力， 提高运算能力。 课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及 应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近 似解法. 教材及指导书 一、教材： 管平等编.数学物理方法，第二版，高等教育出版社，2010年4月 二、主要的参考书： 梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月 。 胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社 郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。 陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。 要求和考核 基本要求： 1、课前预习 2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席 3、上课认真听讲，做好笔记 4、课后复习，整理笔记，独立完成作业 成绩组成和考试方式： 1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占20%， 考试占80% 2、考试方式：闭卷笔试 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变函数 主要内容: 1.1复变函数和解析函数 1.2复变函数的积分 1.3复变函数的级数 1.4留数及其应用 1.5分式线性变换。 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 1.1复变函数和解析函数 1.1.1 复变函数 z=x+iy x=Re z，y=Im z i为虚数单位，i2=-1 复数的几何意义 一、复数的概念 复平面 复数z=x+iy 虚轴 实轴 模 幅角 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 注： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 复数的表示 代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cos+isin ) 指数表示： z=r exp(i ) 复数的运算 z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1 注： 复数不能比较大小 复数相等 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 零点与无穷远点 复平面上特殊的点:零点和无穷远点. (1)复数零的幅角没有定义,模为0. (2)无穷远点的模为,幅角不确定. 包含“无穷远点”的复平面称为扩充复平面， 该无穷远点借助测地投影法来定义。 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 测地投影法定义无穷远点 A A A 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 二、复数的运算 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 三、 复变函数 区域的基本概念 邻域 平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 -邻域 |z-z0| 0|z-z0| z0 z0 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 开集如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集 。 G z0 内点 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的 一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G 的内点。 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 区域 平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件 ：1. D是开集；2. D是连通的。 边界点设D为复平面上的一个区 域，如果点 p不属于D， 但是在 p的任何邻域内都 包含有D中的点，这样的 点 p称为D的边界点。 闭区域区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为 D z1 z2 p 边界D的边界点之全体称为D 的边界。 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 x y O R x y O R x y R O r x y R-ROxO y 1 x O y 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 单连通域与多连通域 设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。 B B 单连通域多连通域 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 复变函数的定义 设D是复平面上的一个区域。如果有一个确定的法则f 存在，使得对于D内的的每一个复数z，有一个或多个 复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函 数，或复变函数，记为w=f(z)。 说明1 如果z的一个值对应着唯一一个w值，那么我们称 f(z)是单值函数； 如果z的一个值对应着多个w值，那么我们称f(z)是 多值函数。 值域：M=w| w=f(z),zD 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 说明2 复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面 上的一个映射。 复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iy w=f(z) z平面w平面 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 举例 求0, 0r1经w=iz变换后在w平面上 的图形。 z平面w平面 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 复变函数举例基本初等函数 指数函数 z平面w平面 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 双曲函数 三角函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 对数函数 幂函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 复变函数的极限和连续性 设 A= u0+iv0 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 1.1.2 解析函数 一、 复变变函数可微与导导数的概念 定义1 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 设设复变变函数 f 在 内有定义义,如果极限 存在,则则称函数 f 在 处处可导导,并称此极限值为值为 f 在点 处处的导导数,记为记为 ,即 或记为记为 定义义 结论结论 ：可微等价于可导导，且 若函数 在区域 D 内的每一点都可导导，则则称 在 D 内可导导. 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 例1. 求 ( 为为正整数 ) 的导导数. 解： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 1.从定义形式上看，复变函数与一元实变函 数 是完全一样的，所以实变函数论中的相 关规则往往可以适用于复变函数。 2.复变函数的可导有更严格的要求 实变函数x只能沿实轴逼近0， 而复变函数z则可以沿任何曲线逼近于0 。 例如： 注意： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 首先看z则沿实轴逼近于0的情形： 再看z沿虚轴逼近于0的情形： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 定理1.1.1(可导的必要条件) Cauchy-Riemann条件 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 例5 证证明： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 定理1.1.2 （可微的充要条件） 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 导数f (z0)的幅角Argf (z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0 处的转动角. w=f(z) Argf (z0) 导数f ( z0)的模|f ( z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何 曲线在z0的伸缩率。 Z 平面 w 平面 复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角 ） 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 二、解析函数的定义 设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数 f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析 ，则称f(z)在区域D内是解析函数 说明 2. 称函数的不解析点为奇点 1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 由定理9.2即得： 定理9.3 （判断解析的充要条件） 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解： 例7. 下列函数在何处可导，何处解析 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解: 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解: 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 证明: 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 三、初等函数及性质质 1. 指数函数 性质质： 注意： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 2.三角函数 性质质： ， ， 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 3. 对数函数 说说明： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 性质质： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解: 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 4.幂幂函数 性质质： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 解： 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 作 业 习 题 （P） 1（1）（3）（5）； 2 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 第一章 复变变函数 第一节节 复变变函数与解析函数 .以z轴作实部,颜色作虚部 在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们