六年级第一册一单元.doc

雅博培训学校暑假五进六数学讲义 第一单元 分数的计算及应用第一讲 分数的意义和性质一、知识要点： 【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。 【分数单位】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。整数的分数单位是1，零没有分数单位，最大的分数单位是1，没有最小的分数单位。【分数各部分名称】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。和除法相对应，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，因此0不能作为分母。例如：3分子（在除法中相当于被除数）分数线（在除法中相当于除号）5分母（在除法中相当于除数）【真分数】分子比分母小的分数，或者说分数值小于1的分数，如、【假分数】分子不小于分母的分数，或说分数值不小于1的分数，如、【带分数】由整数和真分数合成的数叫带分数，如，【分数的性质】分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数（不为0），分数值保持不变。将一个分数的分子、分母缩小相同倍数的过程叫约分（缩倍）；将两个或几个分数的分母化为相同的数的过程叫通分（扩倍）二、分数的表达及应用：例1 （1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？ 分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子，则每个孩子应该分得块，能不能分，怎么分？要求每块巧克力最多只能切成两部分。方法一：把每一块都分成和两个部分，则其中一个人分得9个块，另外三人都分得3个块。方法二：从每一个人出发，一块一块的考虑巧克力的分法，则有如下的分法：（2）如果把上面（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？ 分析：要把9块完全相同的巧克力平均分给7个孩子，则每个孩子应该分得块，根据上面的方法二，有如下分法：，三、通分与约分：利用分数的性质进行等值变换。例2 分数的分子加上6，要使分数值不变，则分母应扩大几倍？分析：分子加上6，则由2增加到了2+6=8，扩大了4倍，要使分数值不变，根据分数的性质，分母也应该扩大4倍。同步练习：分数的分母加上14，要使分数值不变，则分子应扩大几倍？的分子加上8，要使分数值不变，则分母应加上多少？四、分数大小比较：1、通分母。变异分母分数为同分母分数例3 比较和的大小。分析：根据分数的基本性质，因为，所以。2、通分子。分子相同，分母大的分数反而小例4 把下列各数用“”连接起来。，。分析：由于这六个分数的分母都不同，且大多互质，要化成同分母分数来比较相当困难，这六个分数的分子虽然也不同，但把它们变成相同的数就容易多了。2，5，15，10，12，60=60，统一作分子。由于，根据分子相同，分母越大分数值就越小，可得： 3、与整数1比较。例5 比较与的大小。分析：这两个分数用计算器都无法通分或化成小数来进行比较。仔细观察，不难发现两个分数的分子与分母的差都很小，可将这两个分数分别拆成整数1与一个分数的差，然后比较。显然因为被减数都是1（一定），减数越小，差越大，所以4、倒数比较。倒数大的分数反而小、例6 比较分数和的大小。分析：观察两个分数的分子与分母，我们会发现分母都是分子的10倍多1。的倒数是的倒数是显然，一个数倒数越大，这个数越小，所以第二讲 分数的乘除计算一、分数乘整数1、含义： 2、计算方法：例1： 同步练习： 小结： 整数乘分子作分子 能约分的要约分 结果是假分数的要化带分数二、分数乘分数1、含义： 2、计算方法：例2： 同步练习： =小结： 分子乘分子作分子，分母乘分母作分母 能约分的要约分 带分数要化成假分数后再相乘 三、分数除法1、含义： 小明和小华分桔子，一人一半，小明分得2斤，求原来一共有多少斤？ 2=224（斤） 张一张二张三分一堆桔子，每人分得堆，结果每人分得2斤。一堆桔子共有几斤？ 2236（斤）小红小美分一堆桔子，小红分得其中的，小美分得。这样小红分得4斤，这一堆共有几斤？ 446（斤）2、计算方法： 例3 ： 2 同步练习： 小结：除以一个数等于乘以这个数的倒数颠倒相乘。四、简单应用例4：小明有一袋糖，他自己留下，剩下的给弟弟小华，结果小华有22颗糖。这袋糖一共有多少颗？ 22=2233（颗） 答：这袋糖一共有33颗。例5：解方程 解： 解： 同步练习： 小明分一桶水，他自己分得升，他分了这桶水的。这桶水共有多少升？ 解方程：第三讲 分数的速算一、知识要点：分数的巧算主要是应用各种定律和运算性质，利用数与数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整进行简捷、快速的运算。主要公式有：在等差数列中，求和公式： 通项公式： 求项公式：平方差公式：分拆公式：，二、分数求和通分求和，同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。分数分拆求和，利用分拆公式将每一个分数拆开，然后相互抵消，得到简化。错位相减求和，把整个式子看作一个整体，扩大适当的倍数后与原来的式子相减。例1 计算：分析：是等差数列，利用等差数列求和公式得：492 里有两组和一个。 解：原式=21 =50例2 计算：分析：这里显然不能采用通分求和，联想到分拆公式，把所有的分数都拆成两个分数之差，中间的分数全部消去，原题可解。解：原式=例3 计算：根据分拆公式，可将算式化简。解：原式=同步练习： 三、分数的乘除法分数与分数相乘，分子乘以分子，分母乘以分母，分子与分母有相同的因数可以约分化简。除以一个数，等于乘以这个数的倒数。例4 计算：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式= = = =例5 计算：（1）（2）解：（1）原式=（2）原式= = = =第四讲循环小数与分数一、知识要点：循环小数的定义：从小数点后某一位开始，一个数字或几个数字不断重复出现的小数，叫做循环小数。依次不断重复出现的数字叫做循环小数的循环节。纯循环小数：从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，反之则是混循环小数。二、分数化小数：分数化为小数时，要么是有限小数，要么是循环小数。最简分数化为小数有三种情况：1、若分母只含有质因数2或5，那么化为有限小数，小数部分位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，2、若分母只含有除2和5以外的质因数，那么化为纯循环小数。例如：，3、若分母既含有2和5以外的质因数，又含有质因数2或5，那么化为混循环小数，不循环部分的小数位数为质因数2和5个数最多的那个数的个数。例如：，例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析：上述分数都是最简分数，并且，根据上面的结论可求解。解：能化成五位有限小数；能化成三位有限小数；、能化成纯循环小数；能化成混循环小数，且不循环部分有一位；能化成混循环小数，且不循环部分有两位。三、循环小数化分数：去尾法化循环小数为分数（利用方程的思想）如：把化为分数。解：设，则，两者相减得化简得，因此，即化为分数是。例2 将化成分数。分析：纯循环小数循环节是1位，可将循环小数乘以10，得（1）式再减去此循环小数，可化为分数。解：（1）式（2）式得 例3 将化成分数。分析：纯循环小数循环节是3位，可将循环小数乘以1000得（1）式再减去此循环小数，可化为分数。解：（1）式（2）式得 例4 把化成分数。分析：此题为混纯循环小数，小数点后有两位，可将循环小数乘以100得（1）式再减去此混循环小数乘以10得（2）式，（1）式（2）式可解。解：将上两式相减得 例5 把化成分数。分析：此题为混纯循环小数，循环节为两位，小数点后有3位，可将循环小数乘以1000得（1）式，此混循环小数乘以10得（2）式，（1）式（2）式可解。解：将上两式相减得 同步练习：把下列循环小数化为分数。 小结：从例题2、例题3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。例如：，从例题4、例题5可以总结出将混循化小数化为分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组 成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循化节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。例如：， ， 第五讲 分数的应用一、知识要点：常见的分数应用题分为三类：（1）求一个数是另一个数的几分之几？用除法（2）求一个数的几分之几是多少？用乘法（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数。用除法（量率对应法）解答分数应用题的关键：（1）找准单位“1”；（2）找准“量”与“分率”的对应；（3）列式计算，遵循的关系式：（4）如果当单位“1”的量未知，且分率关系复杂时，上述关系式将演变为：具体数量对应分率=单位“1”的量“量率对应法”。（“对应”指同一事物，两种身份；我们常从含义、作用上寻求对应，再予以算式表达。）二、分数应用题的求解：1、求一个数是另一个数的几分之几？例1 学校阅览室有图书100本，借出一些后，还剩60本，借出的是剩下的几分之几？解：（1）借出多少本？100-60=40（本） （2）借出的是剩下的几分之几？4060=答：借出的是剩下的。例2 甲、乙、丙三个数，其中甲是乙的2倍，是丙的3倍，那么丙是乙的几分之几？解：把甲看作单位1，则乙是；丙是，因此丙是乙的答：丙是乙的。2、求一个数的几分之几是多少？例3 某种商品原价是64元，降了两次价，每次都是降价10%，现价是多少？解：第一次降价10%，商品的价格只有原来的1-10%=90%，即第一次降价后的价格是 64（1-10%）=6490%=57.6（元）第二次降价10%，商品的价格只有第一次降价后的1-10%=90%，即第二次降价后的价格是 57.6（1-10%）=57.690%=51.84（元）答：第二次降价后的价格是51.84元。3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。例4 小明看一本书，每天看15页，4天后还剩下全书的没有看，问这本书共有多少页？解：小明已看的页数是多少本？154=60（本）已看的页数是全书的几分之几？这本书一共有多少页？（一个数的是60，求这个数，用除法）（页）答：这本书一共有150页。4、求一个数比另一个数多（或）少几分之几？例5 8比7多几分之几？7比8少几分之几？分析：一个数比另一个数多（或少）几分之几，就用多（或少）的部分除以另一个数（“比”字后面的那个数）解：（1）8比7多几分之几？（2）7比8少几分之几？答：8比7多，7比8少。5、分数的综合运用。例6 小光买了一袋巧克力，第一天吃了，第二天吃了剩下的，第三天吃了第二天吃剩下的，这时还余下8块巧克力。问原来一袋共有多少块巧克力？解：把一袋巧克力看作单位1，第一天吃了总数的； 第二天吃了总数的 第三天吃了总数的 还剩下总数的 原来一袋共有巧克力：（块）答：原来一袋共有27块巧克力。同步练习：李华看一本故事书，每天看15页，6天后还剩全书的没看，这本故事书共有多少页？第六讲分数小数的综合计算一、知识导航：分数计算常常要与整数、小数的计算混合在一起，变成整数、小数、分数混合四则运算，其运算顺序与整数混合运算顺序是一样的。在运算过程中要充分利用分数与小数的互化、凑整、运算定律、设元助解、添项法等技巧使运算简化。二、计算方法与技巧：1、分数与小数互化。在有关分数的加、减、乘、除法中，根据题目特点，将小数、分数进行互化，便于计算。常见的一些小数与分数互化有：等例1 计算： 解：原式 例2 解：原式2、使用运算定律。恰当运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法分配律，也会使运算再简便。例3 解：原式=试一试计算下面这道题：例4 解：原式=8