初中、小学数列找规律方法与题解.doc

初中、小学数列找规律方法与题解江苏省泗阳县李口中学 沈正中 拟编解答在初中、小学数学的一些赛题中，经常会出现数列找规律的问题，数列的题型多种多样，遵循的规律也各不相同，寻找规律的方法也非常灵活，下面举几例常见的题型探索一下，方法和解题思路。1、等差数列（1）、等差数列：相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。在等差数列中，第n个数可以表示为：a na1(n1) d，其中a1为数列的第一个数，d为后一个数与前一个数的差。【例1】在括号内填上所缺的数：4、10、16、22、28、34、（）、。【解析】：因相邻两数的后一个数与前一个数差为6，所以第n个数是：a na1(n1) d，故a 74(71)640，即括号内应为40。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等差数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n1个到第n个的增加（或减少）值 (a 2a 1)(n2) d，则第n个数是a na n1(a 2a 1)(n2) d。【例2】在括号内填上所缺的数：3、7、15、27、（）、。【解析】：因数列的增加值分别为：4、8、12、16、，增加值为等差数列。所以第n个数是：a na n1(a 2a 1)(n2) d，故a527(73)(52)443，即括号内应为43。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。2、等比数列（1）、等比数列：相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等的数列叫等比数列。在等比数列中，第n个数可以表示为：a na1q n1，其中a1为数列的第一个数，q为后一个数与前一个数的比值。【例3】在括号内填上所缺的数：2、6、18、54、162、（）、。【解析】：因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3，所以第n个数是：a na1q n1，故a523 61486，即括号内应为486。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等比数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n1个到第n个的增加（或减少）值 (a 2a 1) q n2，则第n个数是a na n1(a 2a 1) q n2。【例4】在括号内填上所缺的数：3、5、9、17、33、（）、。【解析】：因数列的增加值分别为：2、4、8、16、32、，增加值为等比数列。所以第n个数是：a na n1(a 2a 1) q n2，故a633(53)26265，即括号内应为65。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。3、其它的数列（非等差、等比数列）只有用分析、观察和一些技巧的方法。【例5】在括号内填上所缺的数：2、2、4、4、6、8、8、16、（）、。【解析】：这个数列由等差数列2、4、6、8、 在前，等比数列2、4、8、16、 在后组成的交错数列，所以括号内应为10。【例6】在括号内填上所缺的数：1、3、2、5、3、7、4、9、（）、。【解析】：这个数列由自然数列1、2、3、4、 ，在相邻两数之间插入这两个数的和组成的，所以括号内应为5。【例7】在括号内填上所缺的数：0、0、1、2、6、3、4、（）、5、。【解析】：这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、 ，从0开始向右依次两两一组，在每组中间插入这两个数的积组成的，所以括号内应为20。【例8】在括号内填上所缺的数：0、3、8、15、24、（）、。【解析】：容易发现，已知数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。因此，第n个数是：a nn21，故a662135，即括号内应为35。类似题有：a nn21、a nn22等。【例9】在括号内填上所缺的数：1、9、25、49、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于1、3、5、7、 的平方，即第n个数是：a n（2n1）2，故a5（251）281，即括号内应为81。类似题有：a n（2n1）2、a n（2n1）2 等。【例10】在括号内填上所缺的数：2、9、28、65、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于项数的三次方加1，即第n个数是：a nn31，故a5531126，即括号内应为126。类似题有：a nn31、a nn32 等。【例11】在括号内填上所缺的数：4、16、36、64、100、（）、。【解析】：观察发现，已知数列的每一项，都等于它的项数2倍的平方。所以第n个数是：a n（2n）2，故a6（26）2144，即括号内应为144。类似题有：a n（3n）2 等。【例12】在括号内填上所缺的数：0、6、16、30、48、（）、。【解析】：观察发现，各项除以2，得0、3、8、15、24、，而这个数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。所以原数列的第n个数是：a n2（n21），故a62（621）70，即括号内应为70。类似题有：a n2（n21）、a n3（n21）等。【例13】在括号内填上所缺的数：5，7，11，19，35，67、（）、。【解析】：观察发现，后一项减前一项，得4、4、8、16、32、，由此可看出原数列从第二项起，后一项等于前一项加2的（n1）次方。所以原数列的第n个数是：a na n12 n1，故a7672 6199，即括号内应为99。类似题有：a na n12 n1。【例14】在括号内填上所缺的数：1、2、4、7、11、16、22、29、（）、。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：1、2、3、4、5、6，、，所以第n个数是：a na n1n1，故a929837，即括号内应为37。类似题有：a na n1n1等。【例14】在括号内填上所缺的数：2、5、10、17、26、37、50、（）、。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：3、5、7、9、，所以第n个数是：a na n12n1，故a8501565，即括号内应为65。类似题有：a na n12n1等。【例15】在括号内填上所缺的数：8、12、16、20、24、（）、。【解析】：仔细观察发现，依次是项数加1后乘以4所得数列，或原数列是数列9、16、25、36、49、 减去数列1、4、9、16、25、对应项所得差组成，这两种说法实质上是一样的。所以第n个数是：a n4（n1）（n2）2n2，故a64（61）28，即括号内应为28。常见的还有以下规律： a nn(3n2)a n2 n11a nn（n1）a n2 n1a nn(n+1)(n+2)/3 a nn(n+1)/2；项数依次3、1循环: 1、4、3、6、5、8、7、 后一项等于前两项和：1、 1、 2、3、5、 8、 奇数项1、2、3、4、5、 与偶数项2、4、8、16、 交错组合：1、2、2、4、3、8、4、16、5、奇数项：2、4、6、8、 与偶数项：1、3、9、27、交错组合：2、1、4、3、6、9、 8、 27、 10、分组数列n、3n、5n：1、3、5、2、6、10、3、9、15、。总之