[理学]周世勋量子力学教案.doc

中国易考网（）-优秀的考试资源整合服务商！724全天候客服热线：86-22-89761734，89761570，网址：第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用 表示一算符。 二力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身： 2.动量算符： , , 3.动能算符 4.哈密顿算符： 5.角动量算符： 如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式 中将 换成算符得出 算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一 线性算符 满足运算规则 的算符 称为线性算符。二 单位算符 保持波函数不改变的算符 三 算符之和 加法交换律 加法结合律 两个线性算符之和仍为线性算符。四 算符之积 定义: 算符 与 的积 为 注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。五 逆算符设 能唯一解出 ，则定义的逆算符 为： 注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。 ， 六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1 两个任意波函数 与 的标积 2 复共轭算符算符 的复共轭算符 为：把 的表示式中所有复量换成其共轭复量 3 转置算符 定义: 算符 的转置算符 满足： 即： 4 厄密共轭算符算符 的厄密共轭算符 定义为 即 算符 的厄密共轭算符即是 的转置复共轭算符 5. 厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符 注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明 是厄密算符 证： 为厄密算符， 为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为 如 为厄密算符， 也是厄密算符 存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。即 . 这种状态称为力学量 的本征态。在这种状态下 称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。二 力学量算符的性质1. 力学量算符是厄密算符 量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符 的本征值。 厄密算符的本征值必为实数证： 设 为厄密算符 取 是实数表示力学量的算符为厄密算符2力学量算符为线性算符 态叠加原理决定了力学量算符为线性算符 【证】： 设 也应是体系的态 即 为线性算符三 厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果两函数 和 满足 积分是对变量变化的全部区域进行,则称 与 相互正交。 证: 已知 为实数 由厄密算符性质 这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的 对归一化的本征函数 分离谱 连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2. 完备性设 为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为 ,对应的本征值为 则任一函数 可按 展开 本征函数的这种性质称为完备性与x无关,利用 的正交归一性,将 等式两边，对x在整个区域积分 即: 如 总归一化 讨论:当 是算符 的一本征函数时,即 即 其它系数为零,这时测量力学量的测量值必是 当 不是 的本征函数时, 可按本征函数展开 , 测量力学量的结果是本征值之一,测量结果为 的几率为 波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态 量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系,当体系处于波函数 所描写的状态时,测量力学量F所得的数值必定是算符 的本征值之一,测得 的几率是 四 力学量算符的平均值.对于一态 ,将其按某力学量的本征函数集 展开 是归一化的出现本征值 的几率为 ,则按由几率求平均值的法则 上式可改写为 是归一化的证明 如未归一化： 如本征值是连续谱 定理: 在任何状态下,厄密算符的平均值都是实数证明 逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例1:设 为厄密算符, 则 证明 第四节几种典型力学量算符的本征函数一. 坐标算符 即 为坐标 算符本征值为 的本征函数。二. 动量算符 动量算符的本征值方程 ， ， 它们的解 如何确定归一化系数C 这是由于本征值 可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.对连续谱的本征函数,我们一般将函数归一化 函数 = 取 , 归一化为 函数 归一化的动量本征函数为 箱归一化:如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值 ， ， 同理： ， ， 为正负整数或零。本征值谱由分离变为连续.加进周期性边界条件后,动量本征函数可归一化为1，归一化常数为 。 归一化波函数为 三. 角动量算符 ， ， 用球坐标表示： ， ， 可以看出角动量算符只与 有关1. 的本征函数 ， 解出 应满足边界条件 exp =1 ， 归一化后， 是 的本征值为 的归一化本征函数。 2角动量 的共同本征态：球谐函数的共同本征函数为球谐函数： 轨道角量子数 磁量子数 具体表达式： 是正交归一的： 对应于 的一个本征值 有 个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。 的本征值是 度简并。第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的基本对易关系 记 1. 坐标与动量算符的对易关系 为任意波函数,所以 同理 概括起来 2. 角动量算符的对易关系式 同理可证常用的对易关系式 二.共同本征态 如两算符 , 满足 . 称 对易定理: 如果两算符 有一组共同本征函数 ，而且 组成完全系，则 对易证 设 是任一波函数 逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数上述定理可推广到两个以上情况。 它们的共同本征函数完全集是 相互对易，它们有共同本征函数 要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如 在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。三测不准原理设两算符 对易关系为令 考虑积分 是实参数 都是厄密算符 不等式成立的条件是 对坐标和动量 例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】 振子的平均能量是 和 不能同时为零 最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号 得出的最小值 ，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。第六节电子在库仑场中的运动氢原子一 电子在库仑场中的运动核（Ze）， 核外电子(-e)氢原子 Z=1类氢原子 Z1势能 薛定谔方程 分离变量法 径向方程的解 与角度部分有关的解 n主量子数 轨道角动量量子数 m磁量子数 可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量 有 个波函数电子第个能级是 度简并的。二氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谔方程 相对坐标 质心坐标 约化质量分离变量 带入方程用 除方程两边 与坐标无关 式描述质心运动，这是能量为 的自由粒子的定态薛定谔方程。式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为 的粒子在势能为 的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中Z的取为1，把电子质量换成约化质量即可氢原子能级 能级随n增大而增大 电子电离电离能 =13.60 =13.597 ( 取约化质量)电子由能级 跃迁到 时辐射出光的频率 里德伯常数 R=10973731.1/mR=10967758/m （约化质量） 电子按半径r的分布几率 玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。第七节力学量随时间变化与守恒定律一 力学量平均值随时间的变化，守恒量 在量子力学中，处于一定状态 下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布 有薛定谔方程 若力学量 不是含t 则 ， 。如 又和 对易 即 ， 则： 满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。证：设 为守恒量,则 ，取 的一组共同本征态 对任一态 按 展开 总结：如果 是与 对易的不含t的力学量（守恒量）则在体系的任何态下， 平均值不随时间改变在体系的任何态下， 的几率分布不随时间改变。（3）若初始时刻，体系处于守恒量 的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于 本征态，则以后状态也不是 本征态。例：（1）自由粒子的动量动量守恒 动量 守恒（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒 只与 有关 角动量平方及角动量分量都是守恒量。(3)哈密顿不现含时间的体系能量守恒 能量守恒（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒 空间反演 宇称算符 的本征值是1， 的本征值是 （偶宇称）（奇宇称）设体系的哈密顿算符 在空间反演后不变则 和 可以有共同本征函数。宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。守恒量与定态的区分：1. 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与 对易的力学量2. 在定态下，不显含t的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变，而力学量只要是守恒量，则在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。 第三章小结一.力学量用算符表示 , 1. 力学量与力学量算符的关系 全部本征值是且仅是相应力学量F的所有可能取值。2 表示力学量的算符须具有的基本性质 (1). 线性算符,即满足条件: 叠加原理要求 薛定谔方程必须是线性的,要求 是线性的,而 又是由诸力学量算符构成.(2). 厄密算符 ， ， 。 物理要求力学量所有可能值 (观测值) 均为实数,即力学量的本征值为实数,只有厄密算符的本征值全是实数。 3力学量算符本征函数具有的基本性质(1). 正交归一性，这是由算符的厄密性决定的. 分离谱 连续谱(2).算符的本征函数集具有完备性 （a）分离值 , . 取值为 的几率 （b） 连续谱： 完备性的另一描述： 分离谱 连续谱证： , 若上式= , 则要求 4 力学量算符的平均值 一般表示， 分离谱 连续谱 上述波函数是归一化的。二.几种基本的力学量算符及本征函数1. 坐标算符 本征值谱为连续谱 ,所有实数本征值为 的本征函数 正交归一性: 完备性: 2. 动量算符 本征值为连续谱,区间 内所有实数值,本征值为的归一化本征函数正交归一化条件: 完备性: 2. 轨道角动量算符 常用球坐标表示与 有共同的本征函数 角量子数 磁量子数的本征函数 正交归一性: 完备性: 3. 一维无限深势阱的能量本征函数（宽度a） 4. 一维线性谐振子的能量本征函数 厄米多项式 逆推关系:三.算符的对易关系 测不准关系1. 常见对易关系(1) (2) (3) (4) 2. 测不准关系. 四.氢原子 (电子在库仑场中运动)哈密顿量: 能量本征值: 能量本征函数: , 能级 度简并.第三章 例题 主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1. 证明如下对易关系(1.) (1) (2) (3) (4) (5) 证 (1) (2) (3) 一般地,若算符 是任一标量算符,有 (4) 一般地,若算符 是任一矢量算符,可证明有 (5) =0同理： 。2. 证明哈密顿算符为厄密算符解考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实数 为厄密算符 为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 , 取: 试证明: 也是 和 共同本征函数, 对应本征值 分别为: 。 证 。 是 的对应本征值为 的本征函数 是 的对应本征值为 的本征函数又: 可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明 是 的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值解 即 是 的本征函数。本征值 2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数 描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】 宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数 注意:是否归一化波函数 能量本征值 出现 的几率 , 出现 的几率 能量平均值 另一做法 3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为 所描写的态中式中，式中 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；（4） 时能量的可能值相应的概率及平均值 解(1) , 归一化， ， （2） ， ， ； ， ；， ； （3） 时， 所以： 时，能量的可能值、相应的概率、平