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文档简介

数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系例1：已知函数中，（1） 求函数的解析式；（2）各项均不为零的数列满足：，求通项？（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：由题知：，所以，所以可求得：例2：函数；（1）求的反函数；（2）数列满足：，且，求数列的通项公式；（3）在条件（2）下，令，求数列的前项和？分析：（1）由题知：；（2）（3）例3、设函数 ，(1) 证明：对一切，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记，求,并求出数列an的前n项和。解：， =2= = Sn=二、利用抽象函数的性质得递推关系：例1：是上不恒为零的函数，且对任意都有：，（1） 求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）若，求数列的前项和？简析：（1）；（2），再令，所以为奇函数；（2） 当时，令函数，所以有：，所以有：，得；又因为：，所以：，。例2：已知函数是定义在上的函数，且满足。设，且有：；（1）求证：；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围。解：（1）由于，所以有，也有：由：，得，令，也即有：，由错位相减得出：（2）由，所以：，又因为，所以是等比数列，有，又，所以有了：，设有：所以是单调递减的。也当时，取得最大值，由题有：。练习：已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，,且当x,y(-1,1)时，恒有 ,又数列an满足,设（）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；（）求f(an)的表达式；（）是否存在自然数m，使得对任意nN,都有成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由讲解（）紧扣奇函数的定义，选择特殊值令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数（），即，f(an)是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1. （）先求的表达式，得，若恒成立（nN+）,则，即
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