不等价不可约的群表示的判断设计说明书

本科毕业设计（论文） 不等价不可约的群表示的判断 院 （系） 专 业 数学与应用数学 姓 名 学 号 指 导 教 师 完 成 时 间 2016年 2 月 25日 I 目 录 第一章 引言 . 1 题的来源与研究的目的和意义 . 1 课题的研究目的 . 3 课题的研究意义 . 5 课题研究的内容 . 6 内外研究现 状 . 8 第二章 群表示 理论基础 . 10 表示的基及群的表示 . 11 表示的定义 . 12 等价不可约群表示的分类 . 13 的等价表示 . 14 的完全可约表示 . 15 的不可约表示 . 16 的酉表示 . 18 第三章 群的不可约表示 . 19 第四章 群的不等 价不可约的判断条件 . 21 第五章 判断条件的证明 . 22 结 论 . 24 致 谢 . 25 参考文献 . 26 1 第一章 引 言 题的来源与研究的目的和意义 本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证， 从代数观点 来对不等价不可约的群表示的判断，从而来 了解群的不等价不可约表示， 并且 找出不等价不可约的群表示的判 定并 并证 明所找方法 的正确性 ，最后再应用到不等价不可约的表示中。 课题的研究目的 本论文通过对不等价不可约的群表示的判断进行阐述和论证， 从代数观点 来对不等价不可约的群表示的判断，从而来 了解群的不等价不可约表示， 并且 找出不等价不可约的群表示的判 定并 并证明所找方法 的正确性 ，最后再应用到不等价不可约的表示中。 课题的研究意义 群表示论是研究群的最有力的工具之一，也是代数学中具有根本性的问题 ，是当前国际上数学研究的前沿重点课题， 通过对不等价不可约群表示进行判断，从而来得出正确的结论 ，对于不等价不可约群的这种判断过程，会对后续的应用数学学科在不等价不可约群表示的判断方法上面有着一定的参考作用和借鉴意义。在某种程度上面，能够对应用数学领域起到一定的推动作用。 课题研究的内容 本次毕业论文的题目是不等价不可约的群表示的判断，根据任务书要求，查阅相关资料，了解不等价不可约的群表示的判断方法法，根据查找到的相关资料和数据，阐述不等价不可约群表示的判断形势及通过理论公式来证明这个观点，并且在原有的基础上面对不等价不可约的群表示的判断方法进行推广，并对其中的某种重要的判断方法进行 推广和论证，最后编写毕业设计说明书。具体步骤如下： 1）查找资料了解 什么是群； 2） 掌握有关群表示的基本理论； 2 3） 有关群的不等价、不可约表示； 4） 找出不等价不可约表示的判断条件； 5）对其中的一种判断条件进行证明； 6）编写设计说明书； 内外研究现状 众所周知 ,不等价不可约群 理论是高等代数的重要组成部分 , 而不可约 不等价不可约群 是 不等价不可约群 中的重 要概念 等价不可约群 部分只讲述了有理数域上存在任意次不可约 不等价不可约群 这样 一个事实 ,并介绍了艾森斯坦判别法 森斯坦判别法只是一个充分条件 ,还存在着大量 的不可约 不等价不可约群 不能用艾森斯坦判别法判别 等价不可约群 判定方法的基础之 上做了一些探讨 ,给出了一些其它的判别方法使得有理数域上 不等价不可约群 不可约的判定方法更 加地完善 包含了许多分支，其中近年来在无限维表示理论中也崭露头角，并且在组合数学、概率统计、纠错编码和密码学中也 越来越多的被运用起来。 李力、梁永昌 等人在 不等价不可约群表示判断方法的研讨 中简要概述 不等价不可约群表示的判断 方法的分类和方法，并且很详实地讲述了其 理论研究领域的发展历史和最 最 新研究进展。 德国数学家 艾森斯坦 成功对不等价不可约的群表示的判断进行了 推广 ，通过运用数学理论知识论证了这一课题。 英国数学家 艾森斯坦判别法的基础上将其推广 ,并补充了其它的判别方法 ,使得不等价不可约群表示的判定方法更为系统化和成熟化，而且在这一基础上，对不等价不可约群表示的判断方法进行了推广。 第二章 群表示 理论基础 表示的基及群的表示 表示的定义 3 基 :群元素作用的对象称为与它相应的，群表示的基。基可以有各种类型 ,如矢量 (x,y,z) ,波函数 ( 波函数 (px,py, 数域 K（实数域 ）上的线性空间 ；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合 法运算下构成交换群，满足： ，唯一逆元）（）（唯一单位元，有,)()(,数乘运算 1)()()()(,线性无关和维数 线性空间 V 中，任意 n 个向量 , 21，其线性组合02211 当且仅当 021 时成立，则称此 n 个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数 m，称为空间为 m。 基矢 设 V是 为空间 为 ),(21 。空间中任意矢量均可表示为 ni 。矩阵形式： 0000 121 4 0100,0100),( 21 2121211,),( 线性变换 线性变换 映入 足： )()()(,)(,:,线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法 12111111212121),(),()()(),()(,)(故有矩阵形式： 111111, 若 0A ，则称线性变换 A 线性变换群 定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则 上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为 n 维复一般线性群，记为 , C)，其子群 L(V, C)称为 5 群表示 设有群 G，如果存在一个从 G 到 n 维线性空间 V 上的线性变换群 L 的同态映射 A，则同态映射 的一个线性表示， )()()()( , )(,: 其中 的单位元， 中的恒等变换。 系 1 在表示空间 性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间 可定义为 。 系 2 若群 G G，则 的表示。 系 3 一个群 忠实表示 如果群 的映射 该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。取表示空间为 矢： , 。 , k 为对 群 ,身是定义在 间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，选择一个具体基矢 , 可以将其矩阵化： )1(00)(,100)(010)(,010)(001)(,001)( 故表示矩阵为：100 010001)(,100 010001)( ),(),(:)( ) ,(, ，表示矩阵为： 100010001)(,100010001)( 6 ),(, , ）为空间反演：（ ，其表示为： 100 010001)(,100 010001)( 以上三个群均是 其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如： 100 010001)(,100 010001)( 它实际上是三个一维表示的合成： 个非恒等表示个恒等表示1,1)(,1)(2,1)(,1)(或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。 , ),( , , , ，均是互相同构的二阶循环群 2Z ，具有相同的群表示。他们两个最基本的表示为： 1 )(,1)( ;1)()( ,(, 。 1)()()()()()( 2同态： 1,1 23 ,1, 1, 故 1)()()(1)()()( 3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。 表示空间 V 为 基 , ： )32( ,100 010001)( ,100)(0)21(23)(02321)(10002/12/302/32/1)( 7 同理，可得表示矩阵 )( ),( ),( ),( x , y, z 的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：. , , , , , 654232221 任何 二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换 ，同时将对定义在该空间中的标量函数 )(r 作变换，即 )()( 。由 )()( 容易发现，)()()( 1 g 。可以验证变换群 g 与算符做 成的函数变换群 构。对于 21 , ，有： )()()()( 21121111212121 故, 故 g 的一个表示。 上的表示：，在 6543213 D 10002/12/302/32/1 , ),32( 1 k 6543212213654321222212654321222211000100)(02304143234143)2123()(00)23(04341234341)2321()( 8 65432111665432111565432122114)21()23(000)2123()2321()()()23()21(0002321)2123()()(002104343)4143(4343)2123)(2321()()(故可得 2/12/300002/32/10000002/102/32/3000100004/304143004/304341 变换 H 的本征值为 ，对应本征数为 ),(u 为简并度指标，简并度为有： ,1 ),()()( 。 这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，)(rP 也是 )()()()()()()()()()(111故 变的线性空间。在简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。 9 记(体形式由下式确定： )()()()(11 一个群的表示原则上可以 有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。 的等价表示 设群 G 在表示空间 V 取基 ),(21 下的表示为 )(另一组基),( 21 下的表示为 )( ，若 ， ： ()( 1 ， 0 则称表示 , 等价，或 A 为 系 1 两个用相似变换相联系的表示互相等价： 1 ， (0), A 和 B 等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。 可约表示 设 在表示空间 不变的非平庸子空间， )( ,)(, , ),( 是子空间 W 上的变换群。此时称 的一个可约表示。 系 1 设 ),(21 是子空间 取空间 ),( 121 ，使得 j ,.,2,1, 。在此基下表示矩阵 )( 行行)()()( )( m)( m (矩阵， )( )()( 矩阵。子空间 W 中矢量的形式： 0,.,0,.,( 21（ t 表示转置，成列矩阵）， X 经 10 过 )( 中： 0,.,0,.,( 21。 系 2 可以验证 ,.,0,.,0( 21 在 )(不具有封闭性： ,.,0,.,0( 21 。 系 3 另外， )()()()()()()()()()()()()()()()()()()( )()( 系 4 对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。 线性空间的直和 设线性空间 V 有子空间 0。对任意 ，可找到2211 , ，并唯一的将 x 表示为： 21 ，则称线性空间 V 是子空间 2的直和，记为 21 。 的完全可约表示 设群 G 的表示空间 V 可以分解为子空间 2的直和，且 2都是 A(G)不变的 (即 A(G)是 2上的变换群 )，则称 G 在 V 上的表示为完全可约表示。 系 1 22112211 A (A (x 系 2 总可以选一组基 ), ,( 11 ，使 ),( 1 和 ),( 1 nm 分别为子空间 2的基，在此基下表示矩阵 )( ( )()()()(0 0)()( 行行 系 3 若表示 系 4 对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完 11 全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽 然存在群不变非平庸 子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群 T： )()()( ,)( ， 它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示： 101)( 的不可约表示 设 群在表示空间 (G)不变的真子空间，则称的不可约表示。 系 1 系 2 一般地， G 的表示空间 V 总可以表示为不可进一步分解的 G 不变子空间的直和，而 上的表示可以写为 p pp ()( 其中整数 p )(p )(为重复度。 系 3 群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。 内积和内积空间 设 V 是数域 C 上的线性空间，将 V 中两个有序 向量 x， y 映为复数域 C 上的一个数 )( ，满足： , ，有 )()()( ； )()( ； 12 *)()( （共轭） 时等号成立0,0)( ， 则称 )( 为 和 的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。 内积空间中向 量的长度或模： )( ； 向量 , 垂直若 0)( ； 系 1 ,0)0()0( 证： 0)(1()()()0( 系 2 任何内积空间总存在正交归一基，)|( ),( 21 。 证：设 , 21是 施米特正交化方法可以构造正交归一基。 作 |,|/ 111 有 1)|( 11 又作 ,)( 12122 有： 0)|()|()|)(|()|()( 212111212121 ， ;0)|( ,1)|(|,|/ 2122222 有作 一般地，可令 |/ ,)( 11 ，可得正交归一基： （ , 321 ）。 幺正变换 设 上的线性变换，若对任意 , x和 即： )|()|( ，则称 上的幺正变换。 系 1 幺正变换将正交归一基 ),(21 变为另一组正交归一基： )|()|( ),( 21 。 系 2 记 U+为幺正变换 其逆变换 +， U+U= 13 证：内积空间上的线性变换 +， ，有： ),|()|( 故有 )|()|()|( ， 由于 x， 有 U+U=E， +。 系 3 在正交归一基下，线性 变换 +的矩阵即酉矩阵有： U+= *U的转置共轭 U*t (即 *U )。（对于幺正变换有： *1 ） 的酉表示 群 中的幺正变换群 为群 G 的酉表示。 系 1 群 是群 G 的酉表示。 设 的子空间，定义 11 ,0)( ， W 为 中矢量垂直的向量的集合，则有 , W 称为 证明：设 , 21 , mi |( 作 12 令 ，可证 2x 与 任意矢量垂直： 因 mi ()()()()()( 0)()()()(1 ，对 ,2,1 成立， 0)()()()( 212121 i故有 ， 故 ，从而 121 , ； 又若 ,0 ,0, 则有： ,0)( ,0 y即 所以 若群 是 可约的，则 证明：设表示空间为 V， 示 不变的子空间 W。 14 由定理 为 对 0)(, 有； 而 不变的，故 ,)(, 1 有故： )(|( )(|()|)( 1 0 )()()(|( 11 记 即 ,)( 或 ( 故 W 也是 因此 A 是完全可约的。 适当选择正交归一基 )()(00)( 。 系 1. 若 W， W 中仍然有 G 不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去， p pp ()( 。 其中整数(),( p 在 表示中的 重复度。 有限群的每一个表示都有等价的酉表示。 证明： 设 ),( ，为群 若能找到相似变换 X，对 )(有 )()( 1 ，使 )( 酉矩阵 即 )()(则定理得证。（ + 表示矩阵的转置共轭） 构造如下矩阵 W : )()( 显然为厄密矩阵： W+ = W， 并且有如下性质： 15 )()()()()()( =)()()()( = )()( W 可以检验如上的厄密矩阵 W 可以表示为 ， 异矩阵： 首先厄密矩阵 W 总可以找到酉矩阵 U 使之完全对角化为 W ，其对角元为实数，即： ， 并且可以发现 W 为正定矩阵： )()()()( ()( ,)()( 令 g j j j |)(|)()(*)()(故正定对角矩阵 W 可以表示为 形式，其中 由 可得： )()( ， 。 可以验证 ， 化为酉表示的相似变换： 令 1)()( 则 )()()()( 11 11 )()()()( 11 )()()( 11 )( 16 11 )( ( 1 = )( 1 E 故 1)()( 为酉表示 ， 得证。 第三章 群的不可约表示 建立了二维幺正幺模矩阵 ,U a b 与欧勒角 ,r 的关系后，本节将给出 )群的不可约表示 () ,lD a b . )的群元素为二阶幺模幺正矩阵 , 221. 设二维空间的基元为 12, , ()与 U 相联系的变换算符，则 ()i i ji U 亦即 *1 1 1 2*2 2 1 2 () ()P U a b a (1) 容易证明 2 2 2 21 2 1 2+ = + (2) 为了将 )的表示空间的基矢与球谐函数 ( , )相联系，通常将其取成 1 2 1 2( , ) = , , 1 , .l m l ml m l m l l l ，(3) 选择 17 221 2 1 2( , ) ( , )m l mm l m (4) 亦即 2 2 2 2 2 21 2 1 2m l m l m l ml m l mm l m (5) 下面将证明，若取 2 1( ) ! ( ) !l m l m (6) (4)式或 (5)式成立 , 因为若将 (6)代入 (5)式得 222 122212 !l m l m l l m lN l m l m 令 l m n， 则上式变为： 2 2221202!12 ! ! 2 !l l n n l n 222121 2!二 项 式 定 理 222 2 2 21 2 1 2( 2 ) 12!ll l m l l 式 因此（ 4）或（ 5）式得以证明 . 由于 12为 )群的表示空间的基矢，所以有： 1 2 1 2 1 2 ( ) , , ,l ll m l m m m l f f D U f （ 7） 其中 U(2)群的表示矩阵。 而由 (1)与 (3)两式知： 1 2 1 2 1 2 ( ) , , l m l ml m l m l f f N 1 2 1 2( ) ( )!l m l ma b b al m l m 18 由二项式定理 0!() ! ( ) !nn n k b a bk n k 则上式变为： 12 00* * 212! ( ) , ( 1 )! ( ) ! ! ( ) !l m l k l m k l m k l k k k kl m l fk l m k k l m ka b a b . 令 m l k k ，当 0, 0时， ，当 ,k l m k l m 时， ， 则上式可变 写成对 k 与 m 的求和，得： 120*120!( ) , ( 1 )! ( ) ! ( ) ! ( ) ! ! ( ) ! ( ) !( 1 )l l m k k l m k k m m l m l ml l m l fk l m k l m k m m ka b a bl m l m l m l m * 120! ( ) ! ( ) ! ( ) !( ) ! ( ) ! ! ( ) ! ( ) !( 1 )! ( ) ! ( ) ! ( )l m l ml m k k l m k k m ml l l m k l m k m m ka b a bl m l ml m l m l m l mk l m k l m k m m k *12!( , )l m k k l m k k m b a b f 则上式与（ 7）式比较知： ()0*! ! ( ) ! ( ) !( ) ( 1 )! ( ) ! ( ) ! ( ) !m k k l m k k m ml m l m l m l l m k l m k m m ka b a b （ 8） 下面来讨论一下，表示 (1) 由于 , , 1 , ,m m l l l 共 21l 个取值，所以 1l 维的 . (2) 表示 由 (4)与 (7)得： 19 2 2 21 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( , )l l ll m l m l mm l m l m U f f 亦即 2( ) ( ) * *1 2 1 2 1 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )l l l m l i j m l j l mm l i l j l m f D U f f 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) l l li m j m i m m jm l m D U i j D U D U i j 或或 1 D U ， 故 1 D U （ 9） 所以表示 (3) 由舒尔引理 1 知，如果矩阵 M 与所有的 当 为此我们求出两种特殊情况下的 取 e x p ( )2， 0b ，则由（ 8）式知，只有当 0k且 时 不等于零，因此得 ： 2( , 0 )il m m mD e e （ 10） 其次在 (8)式中，令 ，则只有当 0k ， 不为零，所以 122!,! ( ) !l l m l a b a bl m l m （ 11） 如果 M 与 (10)式所示的 2( , 0) 对易， 则由于 (10)式的 2( , 0) 是一非常数对角矩阵，所以 M 也应是一对角矩阵，即： ik i （ 12） 20 进一步，若 M 还与 (11)式形式的矩阵 ,lD a b 对易，即： , a b D a b M ，或写成矩阵元的形式 ( , ) ( , )i i m k i i a b D a b M由 (12)式 ，上式变为： ( , ) ( , )k m k m a b D a b M 由于矩阵元 ( , )a 以即 M 为一常数矩阵，所以 ik （ 13） 因此 (4) 21 D U （ 14） 在 (8)式中作代换 ,a a b b ，上式就可以得到证明 . 前面已经谈到， )与 )同态，即对 )群的每一元素 R，都有 )中的两个元素 U 与之对应 . 反过来， )中的每一个元素 U ，亦与 )群的每一元素相对应 . 这样 )群的每一个表示亦是 )群的表示 . 当 l 取整数时，由 (14)式知， D U ，这时将给出 )群的单值表示，而这时 )群将只有 或 当 l 取半奇数时，由于 D U ，所以这时将给出 )群的双值表示，即这时 )群将有 两个表示 。 第四章 群的不等 价不可约的判断条件 艾森斯坦（ 判别法 的主要内容为：艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数不等价不可约群 f(x)= +果存在素数 p，使得 p 不整除 但整除其他 i=0,1,.,； p 不整除 21 那么 f(x) 在有理数域上是不可约的。 第五章 判断条件的证明 对 不等价不可约群 f(x)取模 p，也就是把它的系数映射到整 数模 样它便化为 f（ x） cp,c 为非零常数。因为在域上的 不等价不可约群 有唯一分解， f 在模 p 上会分解为单项式。如果f 是在有理数上可约的，那么会有 不等价不可约群 g, h 使得 f = g h。从上可知 g 和 h 取模 p 分别为 足 c = d e。因为 g和 h 模 p 的常数项为零，这表示 g 和 h 的常数项均可被 p 整除，所以f 的常数项 以被 除，与 f 系数的假设矛盾。因此得证。依据牛顿图的理论在其 p 进制数域，我们考虑一系列点的下凸集。 (0,1), (1, (2, ., (n 1, (n,0), 其中 于 p 的最高次幂。对于一个艾森斯坦 不等价不可约群， 对 0 i n, 1， 1 0, 固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从 (0,1)到 (n,0)的线段，其斜率为 22 结 论 本次毕业设计的题目是不等价不可约的群表示的判断，直到今天，毕业设计总算接近尾声了，通过这次对于不等价不可约的群表示的判断， 使我们充分 把握的设计方法和步骤，不仅复习所学的知识，而且还获得新的经验与启示，在各种软件的使用找到的资料或 数据 ，会遇到不清楚的作业，老师和学生都能给予及时的指导，确保设计进度，本文所设计的是 不等价不可约的群表示的判断 ，通过初期的 思路的确定 ，查资料和开始正式做毕设，让我系统地了解到了所学知识的重要性，从而让我更加深刻地体会到做一门学问不易，需要不断钻研，不断进取才可要做的好，总之，本设计完成了老师和同学的帮