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3.3.1 拉格朗日中值定理 定理3.3 (拉格朗日中值定理) (1) 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; 使得 3.3 拉格朗日中值定理及其应用 若函数 f (x) 满足: 几何解释: 分析: 化为罗尔定理的结论形式, 在曲线弧AB上至少 有一点C, 在该点处的切 线平行于弦AB. 证 作辅助函数 拉格朗日中值公式 即 或 推论1 设 证 不妨设 例1 证明当 证 而 故 例2 证明 证 令 故 证 命题得证. 例3 证明当 例4 设 证 拉格朗日中值定理, 使得 即 例4 设 另证 证 令 罗尔定理, 整理得 使得 故 即 推论2 单调递增; 单调递减. 3.3.2 函数的单调性 在(a, b)内可导. 证 (1) 由拉格朗日定理 在a, b上 在a, b上 解 例4 讨论函数 的单调性. 定义域为 注1: 推论2对于开、闭、有限或无穷区间都正确. 注2: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 函数的单调区间求法: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 然后判定区间内导数 的符号. 的分界点 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间 解 定义域为 导数不存在. 例5 讨论函数 的单调性. 解 定义域为 例6 讨论函数 的单调性. 导数不存在; 由零点定理, 例7 讨论方程 在 内的实根. 解 原方程在 内至少有一实根. 综上所述, 原方程在 内有且仅有一个实根. 因此, 原方程在 内至多有一实根. 作业 习题
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