[初三数学]新课标同步单元练习华东师大版数学九年级上册.doc

第22章二次根式21.1二次根式在学习“数的开方”时,我们已经学习过“a(a0)”这个符号,并且了解它表示非负数a的算术平方根.在这个式子中,有一个大前提:a0.我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式.显然,a(a0)有两条性质:(1)当a0时,a0;(2)当a0时,(a)2=a.一、填空题1.若2x+1是二次根式,则x的取值范围是;若a-1不是二次根式,则a的取值范围是.2.如果(x-4)2=x-4,则x的取值范围是,这时,x-16-8x+x2=.二、选择题1.下列各式:a2+1,b-2(b0B.a0C.a0D.a03.式子-xx+1有意义,则x的取值范围是().A.x0B.x-1C.x”“1D.x-13.如果x0,y0).2.(1)已知ba0,B0,则由A2B2,可得AB.3.在如图22-1的空白处填数,使每一行、每一列、每一条对角线上的三个数的乘积都是1.123图22-1(二)一、填空题1.若(a-1)(a+1)=a+1a-1,则a的取值范围是.2.若x0,y0,则代数式-12(x+y)3=.3.若b0,则代数式75a3b化简后的结果是.二、选择题1.当m0时,若把根式mn中的m移进根号内,则结果应为().A.m2nB.无意义C.-m2nD.-m2n2.如果a3+a2=-aa+1,那么实数a的取值范围是().A.a0C.0b0).3.已知三角形的一条边长为5321,这条边上的高为215,求这个三角形的面积.4.已知x+y=19,x-y=3,求(x+1)2+(y-2)2的值.1.如果(1-x)2+(1+x)2=2,那么x的取值范围是().A.-1x1B.x-1C.x1D.x=02.设a,b,c为ABC三边的长,化简:(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b-c)2-(c-a-b)2.3.不求值,比较4-2与32的大小.(提示:比较它们的平方的大小)4.你能运用上题采用的方法证明2-3=6-22吗?(三)一、填空题1.4823=,315135=.2.若x0,y0,则2y3x3y8x=,4y2x2x1036y6=.3.把下列各式的分母有理化,得x2yxy=,x2-1x+1=.二、选择题1.等式x+1x-2=x+1x-2成立的条件是().A.x-1B.x2C.x2D.x-1且x22.若a0,则化简ab1a3+1a4的结果是().A.baa+1B.aba+1C.bab+1D.abb+1三、解答题1.计算:(1)24(612);(2)123213125;(3)a3xx6a;(4)1x+y1x-y1x2-y2(xy);(5)y2x-x2y2;(6)5xxy3yx13xy(x0,y0).2.化简下列各式:(1)(x-5)2-(x+3)2(-3x5);(2)x+1x2-4(0x1).3.如果150x是一个整数,其中0x23B.y12.3.设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c.(1)已知c=n,b=12n,求a;(2)已知a=m,b=23m,求c与c上的高h.1.从学习根式中悟出一种方法数学中蕴涵着丰富的思想方法.华罗庚先生曾经指出:善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.这就是说,有些复杂的问题,如果我们能够“退”到最简单的情况去进行研究,往往能够轻松地找到解决问题的正确途径.这样的例子在数学中比比皆是,现在举一个关于根式的例子.问题:当n是正整数时,你知道n2+n的整数部分是多少吗?我们先把问题退到最简单的情况.于是得到,112+12,222+23,332+34,这样,你马上就会发现:nn2+nn+1.这个发现正确吗?当然还需要进行证明:n2n2+nn2+2n+1,nn2+nn+1.所以,当n为正整数时,n2+n的整数部分是n.2.出人意料的等式在上学期,学习“数的开方”时,同步练习中有这样一道题:“观察下列各式的变化过程及结论:223=2223=23-2+222-1=2(22-1)+222-1=2+23=223;338=3238=33-3+332-1=3(32-1)+332-1=3+38=338.按照上述两个等式及其变形过程,猜想4415的变形结果,并写出变形过程.”当然,按和提供的方法,可以得到4415=4415.那么,是不是所有的整数部分都能像这样“搬家”呢?当然不是,例如323323,不能“搬家”.那么,能“搬家”的例子仅仅是巧合吗?也不是.这时,就会想到观察、研究那些能“搬家”的式子的特点:(1)整数部分与分数部分的分子相等,即2=2,3=3,4=4.(2)分数部分的分母与整数部分有下列关系,即3=22-1,8=32-1,15=42-1.也就是说,如果a是一个大于1的整数,是不是就能得到aaa2-1=a+aa2-1?对此,同学们用关于二次根式的知识能够证明aaa2-1确实可以变形为a+aa2-1.进一步,我们还可得到在立方根中能够这样“搬家”的分数:a3aa3-1=3a3aa3-1=3a4-a+aa3-1=3a(a3-1)+aa3-1=3a+aa3-1.所以,2327=23223-1=3227;33326=33333-1=33326;43463=43443-1=34463.而且,因为733-1,所以33373337.3.一个令人惊叹的根式印度数学家拉曼努章发现了一个十分有趣的式子:n(n+2)=n1+(n+1)(n+3)=n1+(n+1)1+(n+2)(n+4)=n1+(n+1)1+(n+2)1+(n+3)(n+5)=这个式子,不论是无限延续地写下去,还是在任何一步中止,它都是正确的.实在是令人惊叹,而且十分有意思!【单元测试与评价】A卷一、填空题1.2+8=,a34a=.2.如果m+m2=2m,那么m的取值范围是.3.若1xb)C.a2-b2=a-b(ab)D.ab=ab(a0,b0)11.下列四个式子:(1)(a+b)3=a+ba+b(a+b0);(2)(-2)63=(-2)33;(3)(3.14-)2=3.14-;(4)(1-x)2=x-1.其中,错误的式子是().A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(3)、(4)D.全错12.如果|x|1,那么x2+2x+1-4-4x+x2的值是().A.2x-1B.3C.1-2xD.-313.当-1x1时,在实数范围内有意义的式子是().A.x-12B.12-xC.(1+x)(1-x)D.1-x1+x14.把(a-b)-1a-b化成最简二次根式,结果正确的应为().A.b-AB.a-bC.-a-bD.-b-a15.如果x2,那么化简(x-2)2+|3-x|的正确结果是().A.-1B.1C.2x-5D.5-2x16.计算(2-1)(2+1)2的结果是().A.2+1B.3(2+1)C.1D.-117.若2xbD.a0的解集是().A.a-2B.a-12D.以上答案都不对三、解答题1.将下列方程化为ax2+bx+c=0(a0)的形式:(1)3x2=5x+2;(2)(2x-1)(3x+2)=3;(3)(x+1)(x-2)=2;(4)x2-2x=-2x+1.2.判断x=3,-3,1,-1是否为方程x(x+1)=3(x+1)的解.3.根据题意,列出方程(不必求解).一块长36米,宽24米的矩形草地,现在要在草地的中央修建一个矩形喷水池,周围的草地留作绿地,四周绿地的宽度相等,且喷水池的面积是原来矩形草地面积的527,求周围绿地的宽度.已知方程x2-ax-b=0的两根为x1=,x2=,设S1=+,S2=2+2,Sn=n+n(nN*),求Sn+1-aSn-bSn-1的值.与方程根有关的问题可利用根的定义,得到等式,然后根据相关的等式及其变形解题.23.2一元二次方程的解法一元二次方程有以下四种基本解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是x=-bb2-4ac2a(b2-4ac0).解一元二次方程时要根据方程特征选择恰当的方法.(一)一、填空题1.方程(x+1)(x-2)=0的解是.2.方程(x-1)2=1的解是.3.方程(x+1)(x-1)=15的解是.4.方程x2-16=0的解是.二、选择题1.方程x2=0.81的解是().A.0.9B.-0.9C.9D.0.92.下列方程中,一定能用直接开平方法解的是().A.4(x+2)2=-8B.(2x+3)2=10C.(x+5)2+0.1=0D.x2=a3.方程ax2=c有实数根的条件是().A.a0B.ac0C.ac0D.ca04.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则().A.m=2B.m=2C.m=-2D.m2三、解答题1.解下列方程:(1)3x2=27;(2)(x-2)(x+2)=12;(3)(x-1)2=5;(4)2(x+1)2=8;(5)(2x-1)2=(x-2)2.2.x取什么值时,代数式2x-1与2x+1的值互为倒数?解方程:(3x-5)2=a.(二)一、填空题1.方程3x(x-2)=2(x-2)的解是.2.方程(x+3)(x-1)=x+3的解是.3.方程(x+2)2=x+2的解是.二、选择题1.方程(x-1)2=x-1的解是().A.1B.1,2C.2D.-1,-22.方程13(x-1)2=12(x-1)的解是().A.x=1B.x=52C.x1=1,x2=52D.以上都不对3.方程x2-a2=(x-a)2(a0)的解是().A.aB.1C.0D.-1三、解答题1.解下列方程:(1)x2-3x=0;(2)5x2=-2x;(3)3x(x+2)-x=2;(4)3x(x+2)=5x+10.2.当y为何值时,代数式(y-1)2与代数式2y(1-y)2的值相等?3.当代数式x2+4x-2的值为3时,求代数式2x2+8x-5的值.试分别写出一个一元二次方程,使它的两根分别满足下列条件:(1)一根是0,一根是正数;(2)一根是负数,另一根在1与2之间.(三)一、填空题1.在括号内填上适当的数,使所得的代数式成为一个完全平方式:(1)a2-12a+();(2)4x2+4x+();(3)x2+()x+9;(4)4y2-()y+25.2.当m=时,代数式x2+mx+16是一个完全平方式.3.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.二、选择题1.用配方法解下列方程时,配方有错误的是().A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为t-742=8116D.3x2-4x-2=0化为x-232=1092.把方程y2-6y+7=0的左边配成一个完全平方式,得().A.(y+3)2=2B.(y+3)2=9C.(y-3)2=2D.(y-3)2=-73.用配方法解方程x2+px+q=0(x为未知数),此方程可变形为().A.x+p22=p2-4q4B.x+p22=4q-p24C.x-p22=p2-4q4D.x-p22=4q-p244.对于任意实数x,多项式x2-5x+7的值是一个().A.负数B.非正数C.正数D.无法确定正、负的数三、解答题1.用配方法解方程:(1)2x2-3x+1=0;(2)x2+4x-2=0;(3)x2-23x+3=0;(4)x2-x-1=0.2.用配方法说明x2-4x+7的值不小于3.3.若x+1x2=254,试用配方法求x-1x2的值.试说明:不论x,y取何值,代数式4x2+y2-4x+6y+11的值总是正数.请求出当x,y分别取何值时,这个代数式的最小值.解一元二次方程时,若发现方程中二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法求解较简便.(四)一、填空题1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是.2.若代数式(x+3)(x-1)的值是5,则x=.3.当x=时,x2+3x与x+15既是最简根式又是同类根式.二、选择题1.方程2x2+1=0的解是().A.-22B.22C.22D.无实数解2.若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根,且m0,则m+n等于().A.-1B.1C.-12D.12三、解答题1.用公式法解下列一元二次方程:(1)2x2-3=4x;(2)x2=4(x-1).2.用适当的方法解下列方程:(1)3(x+2)2=27;(2)(3y-1)2=2(3y-1).3.已知a,b,c均为实数,且a-1+|b+1|+(c+3)2=0,求方程ax2+bx+c=0的根.已知a=12 004,求1+1-4a23-1+1-4a22+a1+1-4a2+4的值.(五)一、填空题1.若y=x2-2x-15中,y=0,则x的值为.2.若y1=x2-2x-3,y2=x-5,则当x的值为时,y1=y2.3.已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12,则x2+y2=.4.已知3x2-xy-4y2=0(xy),则xy=.二、选择题1.已知两个不同的方程x2+kx+1=0和x2-x-k=0有一个相同的根,则k的值是().A.-1B.0C.2D.2或-12.一元二次方程x2-3x+5=0的根的情况是().A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3.解方程2(5x-1)2=3(5x-1),最适当的方法应是().A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法4.设a是方程x2+5x=0较大的一根,b是方程x2-3x+2=0较小的一根,那么a+b的值为().A.-4B.-3C.1D.2三、解答题1.解关于x的方程:(1)mx2+(m-n)x-n=0(m0);(2)(x-a)2=2x-a22.2.已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求a2+b2的值.3.已知实数x,y满足|x2-3x+2|+y2-2y+1=0,求x+y的值.阅读材料,解答问题.材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将(x2-1)视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,x2=2,所以x=2;当y=4时,x2-1=4,x2=5,所以x=5.所以原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由原方程得到方程的过程中,利用法,达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程:x4-x2-6=0.(六)一、填空题1.某种彩电经过两次降价,价格降低了36%,平均每次降价的百分率是.2.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%,平均每年比上一年增长的百分率为.二、选择题1.某饲料厂今年一月份生产饲料500t,三月份生产饲料720t,若二、三月份两个月平均每月的增长率为x,则下列等式中,正确的是().A.500(1+2x)=720B.500(1+x)=720C.500(1+x)2=720D.720(1+x)2=5002.容器里装满纯酒精25L,第一次倒出若干升后用水加满,第二次又倒出相同升数的酒精溶液,这时容器里只剩下16L纯酒精,每次倒出的升数是().A.3B.4C.5D.6三、解答题1.某新华书店计划第一季度共发行图书122万册,其中一月份发行图书32万册,二、三月份平均每月发行图书的增长率相同,求二、三月份各发行图书多少万册.2.某电脑公司2006年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2008年经营总收入要达到2160万元,且计划从2006年到2008年,每年经营总收入的年增长率相同,问:2007年预计经营总收入为多少万元?3.某地旅游业三月份总收入430万元,因受非典型性肺炎疫情影响,五月份收入仅为三月份收入的5%.六月份开始有所回升,七月份的增长率又比六月份增加了1倍,总收入达到240万元,求六月、七月两个月旅游总收入的增长率.(可以用计算器进行计算,精确到1%)某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书用去100元,按该书定价2.8元销售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次高0.5元,共用去150无,所购书数量比第一次多10本,当这批书售出45时出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书.试问:该老板第二次售书是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?(七)一、填空题1.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形,则两条直角边长为.2.有一间长20m,宽为15m的会议室,在它的中间铺一块地毯,地毯的面积是会议室的12,四周未铺地毯部分留出的宽度相同,则留出的宽度为.二、选择题1.从正方形的铁片上,截去一个宽为2cm的长条,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是().A.8cm2B.32cm2C.16cm2D.64cm22.利用一堵围墙,再用长13m的铁丝网围在其他三面,围成一个面积为20m2的长方形,求这个长方形的长和宽.若设长为xm,则可得方程().A.x(13-x)=20B.x13-x2=20C.x13-x2=20D.x13-2x2=20图23-1三、解答题1.如图23-1,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条与矩形的宽边平行,一条与长边平行),把耕地分成大小不等的六块用作实验田,要使试验田面积为570m2,道路的宽应为多少?图23-22.如图23-2所示,有一面积是150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长18m,墙对面有一个2m宽的门,除门外都用竹篱笆围成,篱笆总长33m,求鸡场的长和宽各是多少米.3.矩形ABCD中,点P从点A没AB向点B以每秒2cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以每秒1cm的速度移动,AB=6cm,BC=4cm.若P,Q两点分别从A,B同时出发,问:几秒钟后P,Q两点之间的距离为22cm?ABC中,B=90,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.设P,Q分别从A,B同时生发,(1)经过几秒后,PBQ的面积等于8cm2?(2)如果点P到B点后又继续在BC边上前进,Q到C点后又继续在CA边上前进.经过几秒后,PCQ的面积等于12.6cm2?23.3实践与探索一元二次方程的根与系数之间有一定的联系,如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-ba,x1x2=ca.有些实际问题解决时需列一元二次方程,列一元二次方程解应用题的解题方法、解题步骤与列一元一次方程解应用题基本相同.(一)一、填空题1.一元二次方程x2-2x-3=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=.2.若方程x2-(m+2)x+4=0有两个相等的实数根,则m=.3.已知关于x的方程x2-2x+k=0有实数根,则k的取值范围是.4.已知和是方程2x2+3x-4=0的两个实数根,则+的值是.二、选择题1.已知x1,x2是方程x2+3x=4的两根,则().A.x1+x2=-3,x1x2=-4B.x1+x2=3,x1x2=4C.x1+x2=-3,x1x2=4D.x1+x2=3,x1x2=-42.已知,满足+=5,=6,则以,为两根的一个一元二次方程是().A.x2+5x+6=0B.x2-5x+6=0C.x2-5x-6=0D.x2+5x-6=03.如果x1,x2是两个不相等的实数,且满足x12-2x1=1,x22-2x2=1,那么x1x2等于().A.2B.-2C.1D.-1三、解答题1.已知关于x的一元二次方程x2+3k+1x+2k-1=0有实数根,求k的取值范围.2.若一元二次方程kx2-x+4=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.3.已知关于x的方程x2-5x-2m2+3m-1=0的一根为6,求方程的另一根和m的值.已知,是方程x2-x-1=0的两个根,求4+3的值.(二)一、填空题1.把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子.(1)若剪去的正方形的边长为1cm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm3;(2)若剪去的正方形的边长为2cm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm3;(3)若设剪去的正方形的边长为xcm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm3,x的取值范围是.2.在一块正方形的钢板上截下宽为20cm的一个长条,剩下的长方形钢板的面积为4800cm2,则原正方形钢板的面积为cm2.二、选择题1.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为().A.37B.5C.38D.72.某村计划在农闲季节建一条截面为等腰梯形的灌溉渠道,截面面积为1.6m2,上口宽比渠道深多2m,渠道底比渠道深多0.4m,渠道的上口宽是().A.2.8mB.2.6mC.2.4mD.2.2m三、解答题图23-31.如图23-3,某海关缉私艇发现在正北方向30n mile的A处有一艘可疑船只,测得它正以60n mile/h的速度向正东方向航行,随即调整方向,以75n mile/h的速度准备在B处迎头拦截,试问:经过多少时间能截住可疑的船只?求得结果后,请检验右图是否准确,并通过画图量出缉私艇行驶的方向.图23-42.现有可建造50m围墙的材料,准备依靠原有旧墙围成如图23-4所示的仓库.试问:(1)能否围成总面积为200m2的仓库?如果能,则仓库的长、宽各为多少?(2)能否围成总面积为250m2或300m2的仓库?说说你的理由.3.已知竖直上抛物体离地高度h(m)和抛出时间t(s)的关系是h=v0t-12gt2,v0是竖直上抛时的瞬时速度,常数g取10m/s2.设v0=30m/s,问:(1)隔多少时间物体离地高度是25m?(2)多少时间以后物体回到原处?如图23-5,有一处矩形地块ABCD,要在其中央修建一矩形花圃EFGH,使其面积为ABCD地块面积的一半,且花圃四周的道路宽度相等.今无测量工具,只有无刻度的尺和一条足够长的绳子,如何量出道路的宽度?图23-5(三)一、填空题1.市场调查表明,某种商品的销售率y销售率=售出数量进货数量与价格倍数x价格倍数=售出价格进货价格的关系满足函数关系y=-16x+1715(0.8x1.8).根据有关规定,该商品售出价格不得超过进货价格的2倍,某商场希望通过该商品获取50%的利润,那么该商品的价格倍数应定为.2.某市2006年年底人口为20万,人均住房面积为9m2.计划2007年、2008年两年内平均每年增加人口为1万,为使到2008年年底人均住房面积达到10m2,则该市两年内住房平均年增长率必须达到百分之.(10=3.162,11=3.317,结果精确到1%)二、选择题1.已知:问题1,某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍,求每年平均增长的百分数;问题2,某厂的总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元,求每年平均增长的百分数;问题3,某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍,求每年平均增长的百分数.设每年平均增长的百分数为x,那么下面的三个方程:(1+x)2=b,a(1+x)2=a+b,(1+x)2=b+1按问题1,2,3的序号排列,它们分别对应的方程应是().A.B.C.D.2.某商场进一批运动服用了1000元,每件按10元卖出.假如全部卖出这批运动衣所得的钱数与买进这批运动衣所用的钱数的差就是利润,按这样计算,这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的钱数,则这批运动衣的件数为().A.10件B.90件C.110件D.150件三、解答题1.某商场销售部经理在销售中发现,某童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接六一国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现,如果每件童装降价4元,平均每天就可多售出8件,平均每天多售出的件数是降价的元数的2倍.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么童装应降价多少元?2.某开发区人口和人均住房面积近三年来增长情况如图23-6所示,据此回答下列问题:图23-6(1)这个区2004年和2005年中,哪一年增加的住房面积多?(2)由于开发区建设需要,预计到2007年该区人口数将比2005年增加2万.若要使到时人均住房面积达到12m2,则这两年的住房平均年增长率应达到多少?(精确到0.1%)3.某商场于第一年初投入50万元进行商业经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金,继续进行经营.(1)如果每一年的年获利率为P,那么第二年年终的总资金是多少万元?(用代数式表示)注:年获利率=年利润年初投入资金100%(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.某广告公司制作广告的收费标准是:以广告画面面积为单位,在不超过规定的面积A(m2)的范围内,每张广告收费1000元.如果超过Am2,则除了要交这1000元的基本广告费以外,超过部分还要按每平方米50A元交费.下表是该公司对两家用户制作广告的面积和收费情况的记载:单位广告面积/m2收费金额/元烟草公司61 400食品公司31 000现在,红星公司要制作一张大型公益广告.用来制作广告的材料,形状是矩形,而且在广告的四周要留出空白.经测算后知道,如果上、下各空0.25m,左右各空0.5m,则空白部分的面积为6m2.已知矩形材料的长比宽多1m,并且空白部分不收广告费,只有中间的矩形画面部分为计费面积.最后,广告公司结算时,这张广告的广告费为2600元,那么广告制成后,四周空白部分的实际面积是多少?1.韦达定理及其应用一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-ba,x1x2=ca.这个结论,揭示了一元二次方程的根与系数的关系.该结论是由法国数学家韦达发现的,被叫做韦达定理.应用韦达定理可以对一元二次方程的根作进一步的探究.问题1已知方程3x2+2x+k=0的一个根为-1,求它的另一个根及k的值.解这类问题时,可以利用方程根的定义,把x=-1代入原方程,求出k的值.然后再把k的值代入方程,通过解方程求出原方程的另一个根.利用根与系数的关系,可以比较方便地解决这个问题.解法如下:设方程的另一个根是x1,根据一元二次方程根与系数的关系,有-1+x1=-23,所以x1=13.又(-1)13=k3,所以k=-1.即方程的另一个根为13,k的值为-1.问题2已知方程2x2-4x+1=0的两个根为和,求下列各式的值:(1)(+1)(+1);(2)+;(3)(-)2.解这类问题时,若先解方程求出,再代入计算,会比较麻烦.利用根与系数关系,同时通过对原式恰当地变形,然后再计算,则很简便.解法如下:因为,是方程2x2-4x+1=0的两根,所以+=2,=12.所以(1)(+1)(+1)=+1=12+2+1=312;(2)+=2+2=(+)2-2=22-21212=6;(3)(-)2=(+)2-4=4-2=2.问题3已知一元二次方程x2+px+q=0.当p0,q0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.由x1x2=q0知,x1,x2异号;由x1+x2=-p0,q0时,两根异号且负根的绝对值较大.故选A.请尝试解答下列问题:1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.2.设方程2x2+3x+1=0的两个根为x1和x2.求:(1)x12+x22的值;(2)1x1+1x2的值.3.当k为何值时,一元二次方程kx2-6x+3=0:(1)有两个正根?(2)有一个正根、一个负根?(3)有两个负根?2.关于一元二次方程的解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解,最早出现在公元前两千年左右的巴比伦人的泥板文书中.书中说,求出一个数,使它和它的倒数的和等于一个已知数,即求出这样的一对数x和x,使xx=1且x+x=b,由此得出关于x的方程就是x2-bx+1=0.他们作出b22,再作出b22-1,于是得到解答:x=b2+b22-1或x=b2-b22-1.这实际上是巴比伦人得出的求根公式.但是,当时他们没有承认负数的存在,所以对负根问题采取回避的态度.在我国,公元前四五世纪时,也掌握了一元二次方程的求根公式.希腊的丢番图(约公元246330年)则只承认一元二次方程的一个正根,即使两个根都是正根,也只取一个.印度的婆罗摩芨多(约公元598665年)在公元628年写成的婆罗摩修正体系