2018_2019高中数学第二章数列2.3.3第1课时等比数列前n项和公式的推导及简单应用学案.docx

第1课时等比数列前n项和公式的推导及简单应用学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式思考对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?答案比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S642641.梳理等比数列的前n项和公式：已知量首项a1，项数n与公比q首项a1，末项an与公比q公式SnSn特别提醒：在应用公式求和时，应注意到Sn的使用条件为q1，而当q1时应按常数列求和，即Snna1.知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9，q的值用哪个公式比较合适？答案(1)用Sn.(2)用Sn.梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用.(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个1在等比数列an中，a1b，公比为q，则前3项和为.()2等比数列an的公比q1，则前n项和Sn.()3首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna.()类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和解(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q，所以S8.反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和答案22n12解析设等比数列的公比为q，a2a420，a3a540，20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.因此Sn2n12.命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题解由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.反思与感悟(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn比较方便跟踪训练2在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和解方法一由题意知解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN*.方法二若q1，则S3S232，而事实上，S3S2316，故q1.所以两式作比，得，解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN*.类型二等比数列前n项和的实际应用例3小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A25000(10.008)2x50001.0082x，A4A2(10.008)2x50001.00841.0082xx，A1250001.00812(1.008101.00881.00821)x0，解得x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2x；A4A2(10.008)2xx(11.0082)；A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)；A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810)年底付清欠款，A1250001.00812，即50001.00812x(11.00821.00841.00810)，x880.8.故小华每期付款金额约为880.8元反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125m吗？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an1250，q，S5211.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题答案11a(1.151)解析去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a，1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和一、填空题1设数列(1)n的前n项和为Sn，则Sn_.考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和答案解析Sn.2在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前3项和为21，则a3a4a5_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案84解析由S3a1(1qq2)21且a13，得q2q60.q0，q2，a3a4a5q2(a1a2a3)q2S3222184.3设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案11解析由8a2a50得8a1qa1q40，q2，则11.4等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案解析设等比数列an的公比为q，由S3a210a1，得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.5设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1_.答案1解析由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍去)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11.6已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和为_考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和答案3(1310)解析由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以S103(1310)7一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是_米(结果保留到个位)考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题答案300解析小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)8设等比数列an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案3解析S64S3，q1，q33，a4a1q3133.9数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案2n1解析anan1a1qn12n1，即各式相加得ana12222n12n2，故ana12n22n1.10等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则an的公比为_考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案解析由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)a23a3，an的公比q.11设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，则数列的公比q_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案解析当q1时，Snna1，S3S63a16a19a1S92S9，不合题意；当q1时，2，得2q3q622q9，2q9q6q30，解得q3或q31(舍去)或q30(舍去)，q.二、解答题12求和：121222323n2n，nN*.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解设Sn121222323n2n，则2Sn122223(n1)2nn2n1，Sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12.13已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列记bn的前n项和为Sn，则Sn.三、探究与拓展14在等比数列an中，对任意nN*，a1a2an2n1，则aaa_.考点等比数列前n项和题点求等比数列的前n项和答案解析a1a2an2n1，a12111.a1a21a22213，a22，an的公比为2.a的公比为4，首项为a1.aaa.15已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S26，S430，nN*，数列bn满足bnbn1an，b11.(1)求an，bn；(2)求数列bn的前n项和T