春季五年制小学奥数四年级容斥原理.doc

容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： ABABAB (其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积。1先包含AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再排除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去。A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数。用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。1先包含ABCAB、BC、CA重叠了2次，多加了1次。2再排除ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了。 3再包含ABCABBCACABC例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例250名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1、2、3、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ 求12009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？ 例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？ 例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。 例5(第六届“中环杯”五年级初赛)甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，乙浇了62盆，丙浇了56盆。已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？ 例6五年级3班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。 测试题1把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？2有种食品，其中含钙的有种，含铁的有种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？3学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？4在前个非零自然数中，能被或整除的数有多少个？5有三个面积各为平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为平方厘米、平方厘米、平方厘米，三个圆共同重叠的面积为平方厘米 （如图）。三个圆共盖住多大面积？6甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了个故事，乙读了个故事，丙读了个故事，那么甲、乙、丙人共同读过的故事最少有多少个？答案1答案：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长（厘米）。2答案：最小值种，最大值就是含铁的种数种。3答案：根据包含排除法，先把参加围棋比赛的人，参加中国象棋比赛的人与参加国际象棋比赛的人加起来，共是人。把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的人，同时参加围棋和国际象棋的人与同时参加中国象棋和国际象棋的人减去，但是，同时参加了三种棋赛的人被加了次，又被减了次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：（人）。或者根据公式：，参加棋类比赛的总人数为：（人）。4答案：如图所示，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既能被整除也能被整除的数。前个自然数中能被整除的数有：(个)。由知，前个自然数中能被整除的数有：个。由知，前个自然数中既能被整除也能被整除的数有个。所以中有个数，中有个数，中有个数。因为，都包含，根据包含排除法得到，能被或整除的数有：(个)。5答案：三个圆共盖住面积：平方厘米6答案