高中数学第一章导数及其应用1.7第1课时定积分的简单应用学案新人教A版.docx

1.7 第一课时 定积分的简单应用一、课前准备1.课时目标1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单的物理问题(如变力做功、变速运动等)2.基础预探1常见图形的面积与定积分的关系(1)如图1，当f(x)0时，f(x)dx _0，所以S _；(2)如图2，当f(x)0时，f(x)dx _0，所以S|f(x)dx| _；(3)如图3，当axc时，f(x)0，f(x)dx _0，所以S|f(x)dx|f(x)dx _ _.(4)如图4，在公共积分区间a，b上，当f1(x)f2(x)时，曲边梯形的面积为S(f1(x)f2(x)dx_.2.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 _.3.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功为 _.二、学习引领1关于定积分几何意义的补充定积分f(x)dx，|f(x)|dx与|f(x)dx|的几何意义不同，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间a，b上可正可负，因而它的图象可都在x轴的上方，也可都在x轴的下方，还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示x轴、曲线yf(x)以及直线xa，xb所围成的曲边梯形的面积的代数和；而被积函数|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间a，b上以|f(x)|为曲边的曲边梯形的面积，而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值，三者的值一般是不相同的.2利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤 (1)画出图形； (2)确定被积函数； (3)确定积分的上、下限，并求出交点的坐标，直线与曲线交点的横坐标是确定积分区间的关键点； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。3. 变速运动路程、位移的积分求法路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s分别为(1)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt； sv(t)dt.(2)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt； sv(t)dt.(3)在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上v(t)0，则sv(t)dtv(t)dt； sv(t)dt.4.变力做功的积分求法(1)求变力做功，要根据物理的实际意义，求出变力F的表达式(2)由功的定义，物体在变力F(x)的作用下，沿F(x)的方向移动叫直线运动，从xa移至xb(a f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx f1(x)dxf2(x)dx 2. sv(t)dt 3.WF(x)dx三、典例导析例1 变式训练 解析：如图，y1与yx2交点A(1,1)，y1与y交点B(2,1)，由对称性可知面积S2(x2dxdxx2dx).答案： 。例2变式训练解析：(1)设A到C经过t1s，由1.2t24得t120(s)，所以AC1.2tdt0.6t2240(m)(2)设从DB经过t2s，由241.2t20得t220(s)，所以DB (241.2t)dt240(m)(3)CD720022406720(m)从C到D的时间为t3280(s)于是所求时间为2028020320(s)例3变式训练解析：WF(x)dx10dx(3x4)dx10x答案： B四、随堂练习1.解析：画出曲线y(x0)及直线x1，x2，y0，则所求面积S为如图所示阴影部分Sdxln x|ln 2ln 1ln 2.故选A.2解析：s(3t2)dt(t22t)| (5412)(6)46.5(m)故选B. 答案：B3解析：y|x21|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.答案：C4.解析：由图知，S(5x2)1dx(4x)|(8)0.答案：5解析：WF(x)dx(3x22x5)dx (x3x25x)|(100010050)(1252525)825(J)答案：825(J)6. 解析：如图，建立直角坐标系，设拋物线方程为x22py，代入(2,2)得2p2，x22y，将点(x,1.5)代入得x，S=（1.5x-）=。水的横断面的面积为2平方米五、课后作业1.解析：应是Sf(x)g(x)dx， 应是S2dx(2x8)dx，和正确故选D.答案：D2.解析：由v4010t20t24，t2.h(4010t2)dt(40tt3)| 80(m)故选A.3解析：由消去y得x2kx0，所以x0或xk，则阴影部分的面积为(kxx2)dx.即k3k3，解得k3.答案：34解析;0t1时，v(t)2t，v(1)2；又1t2时，v(t)at，v(1)a2，v(2)a2224； 又2te时，v(t)，v(2)4，b8.路程为S2tdt2tdtdt98ln2 .答案:98ln25.解析：由于F(x)与位移方向成30角如图：F在位移方向上的分力FFcos 30，W (5x2)cos 30dx (5x2)dx| (J)6解：(1)在时刻t4 s时该点的位置为(t24t3)dt(t32t23t)|(m)，即在t4 s时该点距出发点m.(2)因为v(t)t24t3(t