2015届高考数学大一轮复习 双曲线及其性质精品试题 理(含2014模拟试题).doc

2015届高考数学大一轮复习 双曲线及其性质精品试题 理（含2014模拟试题）1.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )A. B. C. 2 D. 4解析 1. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.2. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） ABCD 解析 2. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.3. (2014山西太原高三模拟考试（一），9) 设P在双曲线上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且DF1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C. 4D. 5解析 3. 不妨设点P在双曲线的右支，设、，则根据双曲线的定义可得，根据题意可得、，由得，代入到中得，两边同除得，又因为e1，所以可得e=5.4. (2014福州高中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心为 ( ) A. B. C. D. 2解析 4. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得，又因为，化简得，故.5.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ） A. B. C. D. 解析 5. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.6. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为, 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度依次为( ) A. B. C. D. 解析 6.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。由双曲线的定义：,所以. 设点，则，所以，即.延长交于点C，在中，既是角平分线又是垂线，所以.所以在中，=. 选A .7. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，9) 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 解析 7. 依题意，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，所以，即.8. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，10) 双曲线左支上一点到直线=的距离为 , 则（ ）A. B. 2C. D. 4解析 8. 由已知可得 ，所以（舍）或，从而，故，选A.9. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点. 若，则双曲线的离心率是（ ）解析 9.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，故.10. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，4）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. 2 B. 4C. 1 D. 3 解析 10. 双曲线的焦点为，渐近线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.11. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B. C. D. 解析 11. 由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得12. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，11) 设、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解析 12. 根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，则，所以，所以该双曲线的离心率为.13. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 解析 13. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.14. (2014广西桂林中学高三2月月考，11) 已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 14. 依题意，双曲线的焦点为，所以，所以三角形的高为，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.15.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，6）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A B C D5解析 15. 双曲线的一条渐近线方程为y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于2，即，解得a=，所以该双曲线的离心率为.16. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，6) 过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 解析 16. 即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选D.17.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为( )(A) (B) (C) (D) 解析 17. 抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.18.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，11) 已知直线与双曲线交于，两点(，在同一支上), 为双曲线的两个焦点, 则在（ ）A以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上 B以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上C以为直径的圆上或线段的垂直平分线上D以上说法均不正确解析 18. 当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选19.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 解析 19. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.20.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )A+1 B2 C D1解析 20. 由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.21. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 6) 已知是双曲线的两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一个公共点是，若则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 解析 21. 由题意，设，.22. (2014天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）解析 22. 由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，故所求的圆的方程为.23. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 解析 23.椭圆：与双曲线有相同的焦点，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.24. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 11) 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则()A. B. C. D. 与关系不确定解析 24.设内切圆与的切点分别为, 设则，又, 所以，从而，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以是等腰三角形, 故且是中点。所以。25.(2014兰州高三第一次诊断考试, 8) 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D解析 25. 依题意，解得，双曲线方程为.26. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（ ）A. B. C. D. 解析 26.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，解得.27. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，15) 双曲线的左右焦点为，P是双曲线左支上一点，满足相切，则双曲线的离心率为_. 解析 27. 设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，从而. 在中，故，. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.28.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，12）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .解析 28. 双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂足之间的距离为a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.29.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 5) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 解析 29. 双曲线的焦点在轴上，一条渐近线为，又，.30. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_. 解析 30.由已知可得，从而. 因为，所以，从而渐近线的斜率为，故，得.31. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 9) 设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点到的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A . B. C. D. 解析 31. 由题意，直线的方程为，原点到直线的距离为，解得或.32. (2014广东广州高三调研测试，21) 如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.() 若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；() 求的最大值.解析 32.解：() 因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）() 因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则. （7分）因为点，设点，则有.解得，.因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得（10分）所以，.所以当，即时，取得最大值.故的最大值为. （14分）33. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，21）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D(0,) 为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称（）求双曲线C的方程；（）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（2，0）及AB的中点，求直线在y轴上的截距b的取值范围；（）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程解析 33.（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kxy=0，该直线与圆x2+(y) 2=1相切，有= 1 k =1.双曲线C的两条渐近线方程为, 故设双曲线C的方程为易求得双曲线C的一个焦点为 (, 0) ，双曲线C的方程为（4分）（）由得令，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根因此解得又的中点为，所以直线的方程为，令，得，因为，所以，所以. （9分）（）若点在双曲线的右支上，则延长到，使，若点在双曲线的左支上，则延长到，使，根据双曲线的定义，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，即点的轨迹是由于点是线段的中点，设，则，即，代入并整理，即得点N的轨迹方程为(x ) . （12分）(或者用几何意义得到| NO |=| F2T |=1, 得点N的轨迹方程为).34.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，20）已知双曲线C：的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E( I ) 求椭圆E的方程；() 设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点? 若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由解析 34.35. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，. （1）若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）求的最大值.解析 35. （1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）（2）因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.因为点，设点，则有.解得，. （8分）因为点在椭圆上，所以.即. 等式两边同除以得，当，即时，取最大值.故的最大值为. （14分）答案和解析理数答案 1. C解析 1. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.答案 2. A解析 2. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.答案 3. D解析 3. 不妨设点P在双曲线的右支，设、，则根据双曲线的定义可得，根据题意可得、，由得，代入到中得，两边同除得，又因为e1，所以可得e=5.答案 4. B解析 4. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得，又因为，化简得，故.答案 5. D解析 5. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.答案 6. A解析 6.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。由双曲线的定义：,所以. 设点，则，所以，即.延长交于点C，在中，既是角平分线又是垂线，所以.所以在中，=. 选A .答案 7. C解析 7. 依题意，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，所以，即.答案 8. A解析 8. 由已知可得 ，所以（舍）或，从而，故，选A.答案 9.C解析 9.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，故.答案 10.C解析 10. 双曲线的焦点为，渐近线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.答案 11.D解析 11. 由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得答案 12. A解析 12. 根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，则，所以，所以该双曲线的离心率为.答案 13.D解析 13. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.答案 14. C解析 14. 依题意，双曲线的焦点为，所以，所以三角形的高为，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.答案 15. B解析 15. 双曲线的一条渐近线方程为y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于2，即，解得a=，所以该双曲线的离心率为.答案 16. D解析 16. 即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选D.答案 17. A解析 17. 抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.答案 18. 解析 18. 当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选答案 19. D解析 19. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.答案 20. A解析 20. 由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.答案 21. B解析 21. 由题意，设，.答案 22. D解析 22. 由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，故所求的圆的方程为.答案 23. A解析 23.椭圆：与双曲线有相同的焦点，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.答案 24.C解析 24.设内切圆与的切点分别为, 设则，又, 所以，从而，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以是等腰三角形, 故且是中点。所以。答案 25. C解析 25. 依题意，解得，双曲线方程为.答案 26. C解析 26.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，解得.答案 27.解析 27. 设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，从而. 在中，故，. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.答案 28. 解析 28. 双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂足之间的距离为a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.答案 29. 解析 29