高中数学第二章随机变量及其分布2.3第2课时离散型随机变量的方差学案新人教A版.docx

2.3 第二课时 离散型随机变量的方差一、课前准备1课时目标(1) 理解离散型随机变量的方差的定义；(2) 能熟练应用离散型随机变量的方差公式求方差；(3) 能熟练应用二项分布、两点分布、超几何分布的方差公式求方差.2基础预探1设离散型随机变量X的分布列为XP则描述了相对于均值EX的偏离程度，而_。为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差.其算术平方根为随机变量X的标准差，记作_.2.两点分布：若X服从两点分布，则_.3.二项分布：若，则_.二、学习引领1.随机变量方差的意义随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量取值相对于它的均值EX的稳定与波动、集中与离散的程度. DX越小，稳定性越高，波动越小. 显然DX0，且标准差与随机变量本身有相同单位. 由方差的定义可知，计算方差DX必须先求均值E(X)，并且由此定义进一步可得到公式.2.随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.3.求随机变量的方差的步骤分析试验的特点，若为两点分布、二项分布，则直接套用公式；否则，根据题意设出随机变量，分析随机变量的取值；列出分布列；利用离散型随机变量的均值公式求得均值；利用离散型随机变量的方差公式求得方差。三、典例导析题型一 一般离散型随机变量方差的计算 例1 两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1510P0.80.2 X22812P0.20.50.3 在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差，.思路导析：根据分布列先求出两个随机变量的均值，在此基础上再求得其方差。解：由题设可知和的分布列分别为 Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3，方法规律：求一般的离散型随机变量的方差，需先列出分布列，求出期望，然后才能利用定义求方差变式训练：已知随机变量X的分布列为下表所示：X135P0.40.1则X的标准差为（）.A.3.56B.C.3.2D. 题型二 二项分布的方差例2 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，若经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的期望与方差思路导析：本题中合格工艺品的个数为X显然服从二项分布，因此，可套用相关公式求解。解：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故方法规律：若给出的问题为二项分布、二点分布的期望、方差的计算问题，可直接套用公式求解，从而回避复杂的运算变式训练：甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用X表示甲队的总得分求随机变量X的 数学期望和方差 题型三 方差的实际应用问题例3 甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查，得到它们的抗拉强度指数如下：X1101201251301350.10.20.40.10.2Y1001151251301450.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，问甲、乙两厂的材料哪一种稳定性较好？思路导析：通过分布列分别求出两个随机变量的期望和方差，从而可以比较他们的平均水平及材料关于平均水平的稳定性。解：首先看两厂材料的抗拉强度的期望，然后再比较它们的方差 因为， 又因为， 由可知，甲、乙两厂材料的平均抗拉强度是相等的，且不低于120，但，即乙厂材料的抗拉强度指标与其均值偏差较大故甲厂的材料稳定性好方法规律：方差反映了离散型随机变量取值的集中与离散、波动与稳定的程度，在实际问题中有非常重要的比较价值，若两个随机变量的期望相同，难以判断产品质量或技术水平的高低等问题时，可考虑再用方差值来进一步判断变式训练：甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X、Y，X和Y的分布列如下：X012PY012P比较两名工人的技术水平的高低. 四、随堂练习1. 任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于（ ） ABCD2设一随机试验的结果只有两种：发生和不发生，其发生的概率为，令随机变量，则的方差等于（ ）A B2(1-) C (-1) D （1-）3已知的分布列为-101P则在下列式子中：，正确的有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个4设随机变量服从二项分布，即 ；= 5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，如果和为偶数得2分，和为奇数得1分，若表示取出后的得分，则 6编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，求，五、课后作业1. 已知，且，则等于（ ） A3 B10 C D202甲、乙两名作者，在同样的条件下向某报社投稿，假设他们每周投稿的数目相等，稿件被采用的篇数X、Y及其概率P的分布列如下：甲X012P0.60.10.3乙Y012P0.50.30.2则下列关于两人写作水平稳定性的判断正确的是( ).A甲较稳定 B乙较稳定 C甲、乙稳定性相同 D无法判定3.已知随机变量的分布列为01Pa则 4为了检验某一种新合成物体的强度，需要进行多次试验，设进行一次试验成功的概率为p，若某科研机构进行了100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5. 某校组织科普知识竞赛已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响 （I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（）记为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求的期望与方差 6. 某选手进行n次射击训练，每次击中目标的概率都为P，且每次击中目标与否是相互独立的，X记为击中目标的次数，若随机变量X的数学期望EX=3，方差 （I）求n，P的值； （II）若这n次射击有3次或3次以上未击中目标，则需继续训练，求该选手需要继续训练的概率参考答案2.3 第二课时 离散型随机变量的方差2基础预探1. 2. 3.三、典例导析例1 变式训练答案：解析：由题意，根据随机变量分布列的性质知：0.40.11，所以0.5.，所以标准差.例2变式训练解：根据题设可知，所以例3 变式训练解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为： ，；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：， 由EX=EY知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DXDY，可见乙的技术比较稳定.四、随堂练习1.答案：B解析：因为，所以 2答案：D解析： 根据题意，随机变量服从两点分布，所以=(1-）3答案：C 解析：，故是正确的4答案：21； 解析：，所以；5. 答案：解析：和所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，其中和为5，6，7时都有两种情况所以6解析：所以的分布列为013P所以五、课后作业1. 答案： C 解析： 因为，所以，则，所以，故2答案： B解析：因为，；.由，可知乙的写作水平比较稳定故选B