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数学物理方程试卷A 一.填空 1二阶线性偏微分方程在某点为双曲型的 判别条件是在该点处 ( ) 一.填空 1二阶线性偏微分方程在某点为双曲型的 判别条件是在该点处 ( ) 2. 四种固有值问题（1） ，（2） ，（3） ，（4） 的 固有值都记为 ，则(1),(2),(3),(4)的 固有函数分别为 ，其中分别为 ( ),( ),( ),( ). 2. 四种固有值问题（1） ，（2） ，（3） ，（4） 的 固有值都记为 ，则(1),(2),(3),(4)的 固有函数分别为 ，其中分别为 ( ),( ),( ),( ). 3. 表达波动方程初值问题 的 解的达朗贝尔公式是（ ） 3. 表达波动方程初值问题 的 解的达朗贝尔公式是（ ） 4.由泊松公式，三维波动方程初值问题 的解可表示为（），其中 表示以 为球心，以为 半径的球面。 4.由泊松公式，三维波动方程初值问题 的解可表示为（），其中 表示以 为球心，以为 半径的球面。 5. 函数（）称为三维拉普拉斯方程 的基本解。 5. 函数（）称为三维拉普拉斯方程 的基本解。 6. 根据调和函数的性质，诺伊曼问题 有解的必要条件是（）。 6. 根据调和函数的性质，诺伊曼问题 有解的必要条件是（）。 7设函数 为区域 上的格林函数，则 上的狄利克雷 问题 的解可表示为（）。 7设函数 为区域 上的格林函数，则 上的狄利克雷 问题 的解可表示为（）。 8. 贝塞尔方程 的通解是（）。 8. 贝塞尔方程 的通解是（）。 二. 将方程 化为标准形。 二. 将方程 化为标准形。 答： 当 时，方程为双曲型，特征方程为 积分曲线为 作变换 则 于是 又 故原方程化为 即 则 于是 又 故原方程化为 即 三. 求解问题 三. 求解问题 答： (p56习题二，1（1）)：用分离变量法. 特征值和特征函数分别为 结果为 四. 用固有函数法求解 四. 用固有函数法求解 答（p58习题二10(2)）:固有函数系为 结果为 五. 用积分变换法求解问题 （已知傅氏逆变换 ）。 五. 用积分变换法求解问题 （已知傅氏逆变换 ）。 答（类似p85习题三9及p74例1）： 六. 求解泊松方程边值问题 六. 求解泊松方程边值问题 答（类似p105例5例6）:显然泊松方程有一特 解 令 则问题化为拉普拉斯方程边值 问题 由极值原理， 所以原问题的解为 七求解圆盘的热传导问题 七
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