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第十章 弯 曲,10-1 剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一直杆在通过轴线的平面内受垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶作用，杆的轴线弯曲，杆任意两横截面绕垂直于杆轴线的轴作相对转动的变形形式，称为弯曲。 在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。,弯曲问题中最简单和常见的情况是平面弯曲。 平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合的弯曲形式。,分析计算弯曲构件时，要把实际构件简化成计算模型，一般进行三个方面的简化： （1）构件几何形状简化：暂不考虑构件截面具体形状、将其简化为一直杆、并用构件的轴线来表示，如齿轮受力计算。 （2）载荷的简化：简化成三种形式 集中载荷 分布载荷 集中力偶,（3）支座的简化： 固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动也不能转动、因此它有三个约束，相应有三个支反力：水平支反力 ，铅垂支反力 和矩 m 。如跳水板支座。, 固定铰支座 限制梁端截面沿水平方向和铅垂方向移动，但不限制它绕铰中心转动，因此它有两个约束，相应有两个支反力，水平力 和铅垂力 。, 可动铰支座 限制梁端面的铅垂方向移动，但不限制它沿水平方向移动和绕铰中心转动，因此它有一个约束，相应有一个支反力 。,根据梁的支承情况，常见的梁有以下三种基本形式： （1）简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。 （2）外伸梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，梁的一端或两端伸出支座之外。 （3）悬壁梁：梁的一端固定，另一端自由。,三种梁的支反力数都等于平衡方程的数目，故可以只用平衡方程求出，这种梁称为静定梁。 若在梁上设较多支座使支反力个数多于平衡方程数目，则成超静定梁。,作用在梁上的载荷一般是作用线垂直于梁轴线的平行力系，这时，支反力 为0，于是静定梁的支反力只有2个，由 和 来确定。,梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。 例如，如图所示受集中力 f 的简支梁，梁横截面上的内力根据截面一边分离体的平衡条件有：位于横截面平面内的剪力q 和位于纵向平面内的弯矩m (两组内力)。,分析梁左段任意横截面mm上的剪力，由,fy = 0 ，fa - q = 0,q = fa,而弯矩，则由,mc(f) = 0，m - fa x =0,得,m = fa x =fbx / l,得,也可取横截面的右边一段梁作为分离体计算，结果相同，但稍复杂。,正负号,根据变形情况来确定。,剪力,以使梁的微段发生左上右下的错动者为正；反之为负。,弯矩,以使梁的微段发生上凹下凸的变形，即梁的 上部受压而下部受拉时为正；反之为负。,一般不必将梁假想地截开，可以直接从横截面左边或右边梁上的外力来求得横截面上的剪力和弯矩： （1）横截面上的剪力在数值上等于此截面一边梁上外力的代数和，左边梁上向上的外力为正，向下的外力为负。右边梁上向上的外力为负，向下的外力为正。,（2）横截面上的弯矩在数值上等于此截面一边梁上外力对该截面形心的力矩之代数和。向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩。,试求下图所示悬臂梁之任意横截面m-m上的剪力和弯矩。,思考题10-1,思考题10-1参考答案：,例10-1 试求图示截面上（1-1、2-2、3-3）的剪力和弯矩。,解：本题可从右边开始求解，也可从左边开始求解。从右边开始可不求支座a处的反力。,取右段分析，考虑1-1截面，有,q1 = 2 kn,m1 = - 2 knm,取右段分析，考虑2-2截面，有,q2 = 2 kn,m2 =- 2 - 21 = - 4 knm,取右段分析，考虑3-3截面，有,q3 = 2 kn,m3 =- 2 - 22= - 6 knm,为了验证结果的正确性，可从左边开始进行分析。,先求a处的支座约束力，有,fx=0，fax= 0,下面以左段为研究对象，分析3-3截面上的剪力和弯矩。,fy=0，,fay = 2 kn,ma（f）=0， ma = 6 knm,此结果与取右段分析的结果相同。,q3=fay = 2 kn,m3= -ma = - 6 knm,从上例看到，一般情况梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置变化的，如果坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩就可以表示为坐标x的函数。即,它们分别称为剪力方程和弯矩方程。,写上述方程时，一般以梁的左端为x的原点。以平行于梁轴线的直线为x坐标，表示横截面的位置，以纵坐标表示对应截面上的剪力和弯矩，画出的 和 函数曲线称为剪力图和弯矩图。,解：取轴x与梁的轴线重合，坐标原点取在梁的左端。以坐标x表示横截面的位置。只要求得x处横截面上的剪力方程和弯矩方程，即可画出其内力图。,例10-2 试作图示梁的剪力图和弯矩图。,剪力图和弯矩图可以直观地确定梁的剪力弯矩最大值及其所在截面位置，它们是梁强度和刚度计算的重要依据。,根据左段分离体的平衡条件便可列出剪力方程和弯矩方程。有,q(x)=-qx (0xl),m (x)=-q x2/2 (0xl),由此可根据方程作图，剪力为x的一次函数，即剪力图为一斜直线，而弯矩则为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。,例10-3 试作梁的剪力图和弯矩图。,解：此梁的支座约束力根据对称性可知：,fa=fb=ql/2,梁的剪力方程和弯矩方程分别为,q(x)=ql/2-qx (0xl),m(x)=qlx/2-qx2/2 (0xl),例10-4 图示为一受集中荷载f作用的简支梁。试作其剪力 图和弯矩图。,解：根据整体平衡，求得支 座约束力,fa=fb/l, fb=fa/l,梁上的集中荷载将梁分为ac和cb两段，根据每段内任意横截面左侧分离体的 受力图容易看出，两段的内力方程不会相同。,ac段：,cb段：,ac段：,cb段：,从剪力图上看到，在集中力作用处剪力发生突变，突变的值等于集中力的大小。,发生这种情况是由于把实际上分布在很短区间内的分布力，抽象成了作用于一点的集中力。,如下图所示。,若将集中力f看为x区间上均匀的分布荷载，如左图所示，则在x梁段内，剪力从fb/l沿斜直线过度到- fa/l，不存在突变现象。,例10-5 简支梁如图所示。试作该梁的剪力图和弯矩图。,解：先求支座约束力,分段列出剪力方程和弯矩方程：,ac段,cb段,ac段,cb段,由弯矩图看到，在集中力偶作用处弯矩值发生突变，突变量等于集中力偶之矩。,通过以上四个例题的分析，你能总结一些画剪力图和弯矩图的规律吗？,思考题10-2,试求图示各指定的横截面上的剪力和弯矩，并作其剪力图和弯矩图。,思考题10-3,思考题10-3 参考答案：,q1=0, m1=0,q2= - qa , m2 = -qa2/2,q3 = - qa , m3 = - qa2/2,q4 = - qa , m4 = - 3qa2/2,剪力图和弯矩图见下页,求图示折杆中各指定的横截面上的内力。,思考题10-4,思考题10-4参考答案：,1-1 截面,2-2 截面,3-3 截面,f1=10 kn,q1=0,m1= -10 kn m,q2=0 ,f3=0, q3=10kn , m3= -10 kn m,f2=10 kn ,m2= -10 kn m,作剪力图和弯矩图。,思考题10-5,思考题 10-5 参考答案：,1. 微分关系的推导,规定载荷集度q(x)向上为正， dx段载荷集度分布均匀。,讨论 m, q 和 q 之间的关系，载荷集度q(x)是x的连续函数。,10-2 剪力图和弯矩图的进一步研究,fy0 q(x) + q(x) dx - q(x) + dq(x) = 0, （1）, mc = 0 m(x) + dm(x) - m(x) - q(x) dx - q(x) dx dx / 2 = 0, （2）, （3）,略去二阶微量 ，整理后,2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律,突 变 规 律,(a) 在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。,(b) 在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。,绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。,总结,3. 应用分析,（kn m）,解：,（1）求约束反力,（2）利用微分关系作图,试判别下述剪力图和弯矩图是否正确？,思考题10-6,思考题10-6参考答案：,剪力图正确， 弯矩图错误。 弯矩图改正 如图所示。,思考题10-7,下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。,思考题10-7答案,先观察下列各组图,(a),1 横力弯曲与纯弯曲的概念,10-3 弯曲正应力,(b),整个梁内只有弯矩而无剪力,(c),(b)、(c)图中这种梁段和这种梁的弯曲(横截面上只有恒值弯矩而无剪力）称为纯弯曲。,(a)图中这种梁段和这种梁的弯曲(横截面上既有弯矩又有剪力）称为横力弯曲。,2 纯弯曲时梁横截面上的正应力,（3）荷载作用在纵向对称平面内。,1. 分析模型：,（1）单一材料 ；,（2）等截面细长直梁（lh 10）；,各横向周线仍各在一个平面内，只是各平面绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；,(2) 纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直；,(3) 部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。,2. 实验研究,直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴中性轴作相对转动。,直梁纯弯曲时的平面假设：,梁弯曲时，梁中有一层既不伸长又不缩短的纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线即为中性轴。,纤维束假设: 构成梁的各纵向纤维间在纯弯曲状态不互相挤压，即彼此间无相互作用.,3. 弯曲正应力的计算 （动画）,(1) 几何方程:,(1),(2) 物理方程:,(2),如中性轴通过截面的形心,则,(3) 静力学方程,对,只要截面图形对称于 y, z 轴中的任一轴，其值必为0。由于现已设 y 轴是横截面的对称轴，故上式自动满足。,即等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。 m 是横截面上的弯矩，可以通过截面法由外力来确定。 是截面对中性轴z的惯性矩。y 是该点到中性轴的距离。,令,称惯性矩,则,即得,(2),代入,在运用上式时，m和y都用绝对值，而根据梁变形情况来判断 是拉应力还是压应力。以中性层为界，梁变形后凸边应力是拉应力，凹边应力是压应力。,从上面公式可知，在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大，令 表示这个距离，则横截面上最大正应力是：,令 称为抗弯截面模量(系数),则,如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？,思考题 108 ：,4. 轴惯性矩及抗弯截面模量,（1）实心矩形的惯性矩及抗弯截面模量,（2）空心矩形的惯性矩及抗弯截面模量,(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面模量,(4) 空心圆截面的惯性矩,3. 纯弯曲理论的推广,横力弯曲时，由于剪力的存在,梁的横截面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。因此，梁在纯弯时的平面假设和纵向纤维间互不挤压假设均不成立。但当梁跨度比横截面高度大五倍以上时，横力弯曲梁实际最大正应力与用纯弯曲梁公式算出的最大正应力误差小于1%，故其精度足够工程应用。,横力弯曲时，各截面上的弯矩是不同的，因此用纯弯曲公式计算横力弯曲等直梁横截面上的最大正应力，应注意用相应截面上的弯矩 m(x) 来代表该式中的 m，即,梁弯曲时在其横截面上既有拉应力，又有压应力，两者各自有其最大值。对对称截面，如矩型、圆形和工字形截面，其拉压应力最大值在数值上相等，可直接按上式求得；有一些横截面如t字形截面，其中性轴不是对称轴，其上拉应力和压应力最大值将不等，则所用的抗弯截面模量应该分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 代入公式求得：,例10-6 对于图示 t形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知:,b 截面上：,解：,c 截面上：,若例5-6中的梁截面为工字形，则横截面的最大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最大的横截面上？,思考题109：,工程实际中有许多梁的截面形状比较复杂，例如t，工，口形截面。很多时候这些梁的截面是由一些简单图形如矩形、圆形或三角形组成，称之为组合截面梁。 由惯性矩定义可知：组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。 例如 t 字型截面，可将其分成两个矩型部分i和ii，则整个截面对 z 轴的惯性矩就是这两个矩形部分对 z 轴的惯性矩之和。 但是计算时，t 截面的中性轴 z 并不通过这两个矩形的形心，这时要应用下述的平行移轴公式。,10-4 求惯性矩的平行移轴公式,同理可得：,设一任意形状的截面，面积为a， 轴通过截面形心 c，故称为形心轴。已知截面对 轴的惯性矩为 。现有一轴与 轴平行，两轴间的距离为 ，求截面对 z 轴的惯性矩 。,在工程实际计算中，还要确定组合截面的形心轴 z ，也就是要找出组合截面的形心。设一个组合截面由 n 个简单图形构成， 代表其中第 i 个简单图形的面积； 分别代表其中第 i 个简单图形的形心在 y, z 坐标系中的位置坐标值，则组合截面形心的坐标公式是：,（1）根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下结论：图 形对于形心轴的惯性矩是图形对于与该形心轴平行的轴 之惯性矩中的最小者？ （2）求图示截面对于形心轴 z 的惯性矩(例5-6)。,思考题 10-10,解：以t型上顶边为参考轴，则 z 轴的 y 座标为,10-5 弯曲切应力,弯曲正应力是支配梁强度的主要因素，但在以下情况下还要进行弯曲切应力的计算： （1）跨长很短的梁：这时 很小，但 较大； （2）截面窄而高的梁； （3）抗剪差的梁，如木梁。,设 平行于剪力 ，则,式中： ：横截面上的剪力 ：整个横截面对中性轴z的惯性矩 b ：横截面宽度 ：横截面上求切应力的点所在的横线至边缘 部分的面积对中性轴的面积矩。,矩形截面梁,计算式：,(例9-4),沿截面高度方向按二次抛物线规律变化,工字形截面梁 由腹板与翼缘组成，横截面上的切应力主要分布于腹板，平行于竖边，沿宽度方向均匀分布，沿高度方向也呈二次抛物线分布， 在中性轴上。其,式中 d 为腹板厚， 可由型钢 规格表 值查得。,腹板高度 腹板截面积 腹板主要抗剪，承受切应力；翼缘主要抗弯，承受正应力。,也可按下式近似估算腹板上的,t 形截面梁,圆形截面梁,圆环形截面梁,10-6 梁的强度条件,(1) 等截面直梁，中性轴为横截面对称轴,max ,1. 纯弯曲梁正应力强度条件：,故,（2）中性轴不是横截面对称轴，且材料拉压强度不相等,则,（3）利用正应力强度条件可以对梁进行三种不同 形式的强度计算：,（a）校核强度,（b）选择截面尺寸或型钢号,（c）确定许可荷载,还要满足,max ,对于等截面直梁，则有：,2. 横力弯曲梁强度条件,max ,除了满足,注意：,（1）一般的梁，其强度主要受正应力的强度条件控 制，所以在选择梁的截面尺寸或确定许可荷载时， 先按正应力强度条件进行计算，然后按切应力强 度条件校核。,在弯矩为最大的横截面上距中性轴最远点处有最大正应力；在剪力为最大的横截面的中性轴上各点处 有最大切应力。,例10-7 如图，已知q=3.6kn/m，梁的跨长l=3m，梁的横截面为bh=120mm180mm的矩形，梁的材料为松木。容许弯曲正应力=7 mpa,容许切应力=0.9mpa。校核此梁的强度。,此梁之最大弯矩发生在跨中的横截面上,抗弯截面模量为,则,此梁的最大剪力出现在梁的支座处横截面上,其值为,又,以上两方面强度条件均能满足,故此木梁是安全的。,例 10-8 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 mpa，许用压应力 sc =90 mpa。试求梁的许可荷载f 。,解：1、梁的支反力为,据此作出梁的弯矩图如下,发生在截面c,发生在截面b,2、计算最大拉、压正应力,注意到,因此压应力强度条件由b截面控制，拉应力强度条件则b、c截面都要考虑。,而,考虑截面b ：,考虑截面c：,因此梁的强度由截面b上的最大拉应力控制,例10-9 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中间区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料均为q235钢，其 =170mpa， =100mpa。试校核该梁的强度。,解 计算反力得,最大弯矩为,e,c截面弯矩为,但未超过s的5%，还是允许的。,4-6 梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制条件：,10-7 提高梁抗弯能力的措施,目的：节省材料，减轻梁自重,二、合理选取截面形状,1、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值w/a增大。,例如： 一根钢梁，其 ，材料 。则要求的,如果采用圆形，矩形和工字形三种不同截面，所需截面尺寸如下：,2、 对于由拉伸和压缩强度相等的材料制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc 。,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。,工程中的弯曲构件不但要保证强度，还要保证刚度。 例如起重机大臂梁刚度小，振动就大;钢板轧辊刚度小，轧板厚薄就不匀；反之跳水板则是利用小刚度大变形的例子。 为研究梁的变形，首先要度量和描述弯曲位移。 由于工程中的梁变形量远小于跨长，故变形后梁轴线是一条平滑曲线，所以对轴线上每一点都可以忽略其沿轴线方向的位移，而只考虑其沿垂直于轴线方向的位移。此外梁的任一横截面还将绕其中性轴转动一个角度。,10-8 梁的位移,1. 挠度和转角 挠度：梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的位移， 用 表示。 转角：梁任一横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示。 挠曲线：梁弯曲后的轴线。 由于梁是平面弯曲，其挠曲线在原外力与轴线构成的平面上。,取一直角坐标系，以梁左端为原点，令 x 轴与梁变形前的轴线重合，方向向右，y 轴方向向下，于是可将梁在变形后的轴线表示成,称为挠曲线方程。,由几何关系可知：任一横截面的转角 等于截面形心处挠曲线的切线与 x 轴的夹角。而过挠曲线上任意点的切线与 x 轴夹角的正切值就是挠曲线上该点的斜率，即,由于工程中常见梁的 很小，故 , 从而有,称为转角方程。,若考虑上图坐标，则正值的m所对应的挠曲线其曲率1/r为负，即,在如图坐标系中：正值的挠度向下，负值的向上；正值的转角为顺时针转向，负值的为逆时针转向。,在纯弯曲情况下：,当 时，剪力 对w 的影响可不考虑，只需考虑弯矩m 对w 的关系。这时m 是x 的函数，从而 也是x 的函数。因而有,另一方面，在高等数学里已导出平面曲线的曲率可以写成,对于右图横力弯曲的梁,从而有,称为挠曲线微分方程。,这是一个二阶非线性常微分方程，求解较难。但在工程实践中，梁的变形一般很小，挠曲线很平缓， 是一个 很小的量（例如0.01rad），这样 与1相比可以忽略不计。所以挠曲线微分方程可以近似地写成：,上式称为挠曲线近似微分方程。 这是因为（1）忽略了剪力 的影响。 （2）在 中略去了 项。实践表明，这一公式在工程中是足够精确的。 对等截面直梁， 为常数，挠曲线近似微分方程可改写为,将上式积分一次，得：,再积分一次，得：,式中的积分常数利用梁的位移条件确定。,例10-10 求图示悬臂梁的转角方程q =q (x)和挠度方程w=w(x) ，并求最大转角qmax及最大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度ei为已知。,解：（1）列弯矩方程：,（2）建挠曲线方程,积分：,（3）由边界条件确定积分常数,将,代入上式，得,（4）得 和 方程：,（5）根据常识，可知 和 都在 x = l 处，则,是正值，说明横截面b作顺时针方向转动。 是正值，说明横截面b向下移动。,例10-11 求简支梁 和 w 方程及 和 。已知抗弯刚度为ei。 解：（1）列弯矩方程 由,得,则分别得到ac，cb两段的弯矩方程：,ac段：,cb段：,（2）分段列挠曲线近似方程并积分,ac段：,cb段：,（3）定积分常数：,四个独立条件,可求得 4个未知数。,由,（4）确定 和 方程,ac段：,cb段：,（ 5）求 和 由挠曲线大致形状可见，梁a或b端截面的转角可能最大，以 x = 0 和 x = l 分别代入 和 式得,当a b时,点在ac段内靠近c点处。,2. 按叠加法计算梁的位移,在工程实际中，梁往往同时承受几项荷载，这时直接计算梁的挠度和转角较复杂。如果已知梁在单项荷载作用下的挠度和转角（如p.374 附录2），则可以将它们迭加起来求得挠度和转角，这将较为简便。,采用迭加原理的条件是梁的位移很小，且工作在线弹性阶段。,例10-12 求 fc 和 qb。,解：将荷载分成两部份,由叠加原理得,查表可知：,求下图b处的挠度和转角。,思考题5-11,如下图所示梁，已知：e，i。求 。,思考题10-12,解：,思考题 10-12参考答案,例10-13：利用叠加原理求图示弯曲刚度为ei的悬臂梁自由端b截面的挠度和转角。,解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应的变形和相关量如图所示。,对图a，可得c截面的挠度和转角为：,由位移关系可得此时b截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,对图b，可得d截面的挠度和转角为：,同理可得此时b截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,例10-14：由叠加原理求图示弯曲刚度为ei的外伸梁c截面 的挠度和转角以及d截面的挠度。,解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂梁的叠加,（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。,+,图c中d截面的挠度和b截面的转角为：,图d中d截面的挠度和b截面的转角为：,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,（2）对图b，c截面的挠度和转角分别为：,所以：,原外伸梁c端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：,（向下）,（顺时针）,3.