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第九章 扭 转,9-1 扭矩和扭矩图,杆件在两端受一对大小相等，方向相反、作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶作用，杆的各横截面绕轴线作相对转动，而杆的纵向线变成螺旋线的变形形式称为扭转。,力偶矩使杆发生扭转的外力偶产生的力矩，相当于拉压变形中的外力。 扭矩杆扭转时，作用在杆横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩即扭矩，相当于拉压变形中的轴力（内力）。,扭转角任意两横截面绕轴线转动而发生的相对角位移.,非圆截面杆扭转时横截面会发生翘曲，不再是平面，故无法用材料力学方法求解。因此，本节只讨论圆截面等直杆的扭转，它的工程背景是常用的传动轴。,扭转问题一般不会单纯，现略去其它的变形来单独讨论。,外力偶矩计算 已知：传动轴转速n（单位：转/分钟 即r/min） 传动功率nk（单位：千瓦，即kw） 则外力偶矩为：,外力偶矩转向 主动轮上外力偶矩转向与轴的转向相同。 从动轮上外力偶矩转向与轴的转向相反。,由图示任意横截面m m左边一段杆的平衡条件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号mt表示。,由,mx（f）= 0,t mt = 0,即,mt = t,扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：,使卷曲右手的四指其转向与扭矩mt的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。,例：,扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。,一般不必将轴假想地截开，可以直接从横截面左側或右側轴上的外力耦矩来求得横截面上的扭矩： 横截面上的扭矩在数值上等于该截面左側或右側轴上的外力耦矩的代数和。 规定外力耦矩的正负为: 以右手的四指表示外力耦矩的转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截面为负。,例9-1 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：ta=2 kn.m , tb=3.5kn.m , tc =1 kn.m , td = 0.5 kn.m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。,解：只要求出ab、bc、cd段任意截面上的扭矩，即可作出扭矩图。,1-1截面：,得,mt1= -ta = -2 kn.m,分别作截面1-1、2-2、3-3，如右图所示。,考虑1-1截面,2-2截面：,得,mt2= tb - ta = 3.5 - 2 = 1.5 kn.m,同理得,mt3 = 0.5 kn.m,由此,可作扭矩图如下：,该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？,思考题9-1,作杆的扭矩图。,思考题9-2,参考答案：,思考题9-2,受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力还是切应力？为什么？,答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。,9-2 薄壁圆筒扭转时的应力与应变,平均半径为 r。厚度为 且 r。,取一薄壁圆筒，在其表面用等间距的圆周线和纵向平行线画出矩形网格，然后在其两端施加一外力偶，其矩为t，从其变形情况可见：,（1）两相邻圆周线间距不变； （2）各圆周线的形状、大小未改变；各圆周线绕轴线作相对转动；各纵向线仍然平行、但均倾斜了同一个角度。从而所有矩形都变成了平行四边形。,从（1）可知圆筒上无拉压变形。说明筒上无轴向外力，横截面上无正应力。 从（2）可知圆筒相邻的两横截面发生了相对错动。这种变形叫剪切变形。,由于各纵线都倾斜了同一角度 ，说明圆周上各点横截面上的切应力相同。又由于筒壁 很小，所以可以近似认为横截面上切应力沿 方向分布也是均匀的，因此，横截面上任一点处切应力相等，而且其方向与圆周相切。,因错动而倾斜的角度，即直角的改变量 称为切应变。而有切应变则圆筒横截面上必有平行于横截面的应力切应力作用。,（1）薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；,（2）薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；,这个扭转模型与实验结果基本一致。,（3）薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。,知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系,从而有,则,因为 与 r 无关，所以 r 可以用平均半径 r0 代替,(8-1),上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。,当d /r0=10 ，其误差为4.5。,上式称之为材料的剪切胡克定律。 ( 拉压胡克定律 ),式中 g材料剪切弹性模量，量纲为mpa。 各种钢的剪切弹性模量均约为8.0104 mpa，至于剪切比例极限，则随钢种而异；对q235钢，tp =120 mpa。,通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加力偶矩在某一范围内时，切应力 与切应变 之间成正比。即有,理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数e和v 之间存在下列关系：,实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。,9-3 圆杆扭转时的应力与变形,1 横截面上的切应力,因此首先要确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径 的一点处切应力 tr 与 r 的关系。,首先观察受扭时，圆杆表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，然后利用应力和应变之间的物理关系，作出涉及杆件内部应力分布的分析。最后用静力平衡方程得出应力与扭矩的关系。,（1）几何关系 （2）物理关系 （3）静力学关系,（1） 几何关系：,等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴 线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。,如下图，实验表明：,扭转平面假设 等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的 轴线转动。其横截面上任一根半径的直线形状仍然保持为直 线，只是绕圆心旋转了一个角度。,取微段dx分析：得半径为r的任意圆杆面上的切应变,(1),式中： 是扭转角沿长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，r 与 gr 成线性关系。,（2） 物理关系：,由剪切胡克定律： ，在 时，可把（1）式 代入，得：,(2),上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径r的圆周上各点处大小相同，但它们随 r 作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图(b)，方向垂直于各自的半径。,思考题9-4：,下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩mt 亦如图所示，试绘出水平直经ab上各点处切应力的变化图。,思考题9-4参考答案:,一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直径的变化图，若（1）两杆材料相同，即g1=g2=g；（2）两材料不同，g1=2g2。,思考题9-5：,思考题9-5（1）答案：,思考题9-5（2）答案：,上式与 mt 没有联系起来。,若等截面圆杆在 mt 作用下扭转，t 如何求解？,（3） 静力学关系：,(2),(2),积分号内是整个横截面面积 a 范围内每个微面积 da 乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何量，称之为横截面的极惯性矩，常用 ip 来表示，即：,即等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。,又,得,若求 tmax，则令 r =r，有,故,即,上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。,思考题9-6,如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面abef取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出,（1）横截面agb上应力沿直径ab的分布；,（2）径截面abef上应力分别沿直径ab、cd、ef的 分布。,答案:,直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩mt=1.5 knm，求横截面上的最大切应力。,思考题9-7,思考题9-8,空心圆轴的直径d =100 mm，长l =1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为t=14 knm，但转向相反。材料的剪切弹性模量g=8104 mpa。,求：,（1）横截面上的切应力。,（2）图示横截面上abc三点处切应力的大小及方向。,（1） tmax=71.3 mpa （2）ta=tb=tmax= 71.3 mpa tc=35.7 mpa,思考题9-8答案,讨论实心圆截面和空心圆截面。,如图有,2 极惯性矩 和抗扭截面模量 wp,对于实心圆截面,对于空心圆截面（外径d，内径d）,式中：,3 扭转角,前面已经导出,即,则,若 l 范围内，t 是常量，gip 也为常量，则上式成为,gip 越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。,比较：,例9-2 一水轮机的功率为nk=7350 kw，其竖轴是直径为d =650 mm，而长度为l =6000 mm的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为g =0.8105 mpa。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f。,f,解：轴传递功率 ， 相当于每分钟传递功 （1）,外力偶作功 （2）,令（1）、（2）相等，得,即,因此作用在轴上的外力偶矩t为,极惯性矩,解：由截面法得，两段内扭矩分别为m t= 955 nm, m t= 637 nm 。先分别计算b ，c截面对a之扭转角 fab， fac , 则可以假想此时a不动。,上两式中的ip可以利用,由于假想截面a固定不动，故截面b、c相对于截面a的相对转动应分别与扭转力偶矩t2、t3的转向相同，从而fab和fac的转向相同。由此可见，截面c对b的相对扭转角fbc应是：,其转向与扭转力偶矩t3相同。,4 斜截面上的应力,通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线断裂； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。,研究类似铸铁试件扭转破坏的原因,需考虑斜截面上的应力。,现从受扭圆杆件的表面a取出一单元体（图(b)）,图b处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：,研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力, 如图a、b。de 斜面上作用着正应力 和切应力 。,设de的面积为da，则,简化后：,同理,得：,由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45方向拉伸引起的断裂。 也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力 总是等于横截面上相应的应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的 作为依据。如下图所示。,薄壁圆筒扭转时的应力和变形,材料的剪切胡克定律,、v三者之间的关系,(2) 极惯性矩和抗扭截面模量,实心圆截面,2. 圆杆扭转时的应力和变形,(1) 横截面上的应力,空心圆截面,扭转角,斜截面上的应力,思考题9-9,直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力60 kn作用时，在标距为200 mm的长度内伸长了0.113 mm；当它受一对矩为0.2 knm的外力偶作用而扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性常数e、g和n。,思考题9-9答案,实心或空心圆截面轴受扭时,轴内所有的点均处于纯剪应力状态,而整根轴的危险点在其横截面的边缘处。,9-4 强度条件及刚度条件,受扭圆杆的强度条件：,对于等截面轴：,根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆件进行, 校核强度, 选择截面尺寸, 计算容许荷载,2. 刚度条件,满足了强度条件，但若扭杆变形过大，必将对正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角沿杆长的变化率q 的最大值 不超过某一规定的容许值 来表达，即,式中 为单位长度杆的容许扭转角，单位,对于等直的圆杆，其 按式：,来计算。化为角度每米则为,（8-17）,容许扭转角 ，对于精密仪器的轴 ，常常取 0.150.30 /m。至于一般的轴则取 2 /m。,例9-4 阶梯形圆柱直径分别为d1= 4 cm ,d2=7 cm,轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮3输入的功率为t3=30 kw轮1输出的功率为t1=13 kw , 轴作匀速转动,转速n = 200转/分,材料的剪切许用应力t =60 mpa,g = 80 mpa,许用扭转角q = 2 /m。试校核轴的强度和刚度。,计算扭矩：,强度校核：,刚度校核：,ac段：,db段：,例9-5 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n=100 转/分，传输功率n =7.5 kw,材料的容许切应力 试选择实心轴直径d1和内外径比值为0.5的空心轴的外径d。,解:,扭矩计算：,计算实心轴直径,由强度条件,计算空心轴直径,由强度条件:,空心轴面积与实心轴面积之比为,讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？,如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，f 与me成线性关系。,9-5 等直圆杆在扭转时的应变能,又,则,或,例如：,对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，要分段进行分析。,左段杆内的应变能：,右段杆内：,整个杆内积蓄的应变能为：,思考题9-10,（1）求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。此杆 在线弹性范围内工作，且变形微小。,（2）杆在第三种受力情况下的应力和变形是否分别等于前两 种情况下的叠加？应变能呢？,思考题9-10答案,（1）,(2),思考题9-11,有一壁厚25 mm、内直径为250 mm的空心圆管,其长度为 1 m；作用在两个端面上的反向外力偶之矩均为180 knm。试确定管壁中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的剪切弹性模量g=8104 mpa。,d =250+225=300 mm,me= t = 180 knm,思考题9-11参考答案,思考题9-12,求下列各图杆的应变能。,(a),思考题9-12答案,思考题9-12答案,(c),其中,(d),取微段分析,思考题9-12答案,例9-6 上图所示的扭转超静定问题，若假想地解除b端的约束，而利用b截面的扭转角为零作为位移条件求解，试列出其求解过程。,扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。,9-6 扭转超静定,f b = 0,解:,先考虑 t 作用，则,只考虑tb的作用，则,相容条件：,则,ta=t b/l,得,图示ac杆为等截面圆轴，在b截面处受外矩t=7 knm作用。该圆轴a端固定，c端在上、下两点处分别与直径均为d2的两圆杆相连。已知圆轴和圆杆的材料相同，且材料的两个弹性常数e与g之间有如下关系：g=0.4e。试求圆轴ac中的最大切应力。,例97,解：联立三式求出 ,即可得结果：,例4 - 7答案,fn= 10000 n,则,tc=1000 nm,ac中的最大切应力在ab段内的横截面上,9-7 矩形截面的扭转,非圆截面杆受扭时,横截面会发生扭曲。因此其变形、应力不能用由平面假设所得的圆杆扭转时的应力变形的计算公式。,(1) 约束扭转,杆的横截面上除了有切应力，还有正应力,这种扭转称为约束扭转。,(2) 自由扭转,杆的横截面上只有切应力, 没有正应力, 这种扭转称为自由扭转。,要使非圆截面杆受扭时横截面上只有切应力而无正应力，从而翘曲不受牵制, 则杆件必须是等截面的，而且只在两端受外力偶作用，同时端面还能自由翘曲。,本节主要介绍矩形截面杆自由扭转的情况。,横截面上的最大切应力发生在长边中点。而在短边中点处的切应力则为该边上各点处切应力中的最大值。,矩形截面周边上各点处的切应力方向与周边相切; 矩形截面顶点处的切应力必等于零。,2. 矩形截面杆的扭转,根